高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列第2课时课时练习

第四章　4.3　4.3.1　第2课时

A级——基础过关练

1．(多选)设数列{an}为等比数列，则下面四个数列中，是等比数列的是(　　)

A．{a}　　　 B．{pan}(p为非零常数)

C．{an·an＋1}　　　 D．{an＋an＋1}

【答案】ABCD　【解析】A中，∵＝2＝q2，∴{a}是等比数列；B中，∵＝＝q，∴{pan}是等比数列；C中，∵＝＝q2，∴{an·an＋1}是等比数列；D中，∵＝＝q，∴{an＋an＋1}是等比数列．

2．已知等比数列{an}中，公比q＝，a3a5a7＝64，则a4＝(　　)

A．1　　 B．2　　　

C．4　 D．8

【答案】D　【解析】a3a5a7＝a＝64，得a5＝4．又q＝，∴a4＝＝8．

3．(2021年广西模拟)在等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2…a8＝16，则＋＋…＋的值为(　　)

A．2　　 B．4　

C．8　 D．16

【答案】A　【解析】由分数的性质得＋＋…＋＝＋＋…＋．因为a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝＝．又a1a2…a8＝16＝(a4a5)4，an>0，∴a4a5＝2，∴＋＋…＋＝2．

4．(2020年驻马店期末)若数列{an}满足－＝0(n∈N*)，则称{an}为“梦想数列”，已知数列为“梦想数列”，且b1＋b2＋b3＝2，则b3＋b4＋b5＝(　　)

A．18　 B．16　

C．32　 D．36

【答案】A　【解析】由－＝0，得an＝3an＋1，即“梦想数列”为公比为的等比数列．若数列为“梦想数列”，则＝·，即bn＋1＝3bn，即数列{bn}为公比为3的等比数列．若b1＋b2＋b3＝2，则b3＋b4＋b5＝9(b1＋b2＋b3)＝18．

5．正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则＝(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D　【解析】因为正项等比数列{an}中，an＋1＜an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，所以a4·a6＝6，a4＋a6＝5，解得a4＝3，a6＝2．所以＝＝．

6．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为(　　)

A．4　　 B．6　　

C．8　　 D．－9

【答案】A　【解析】a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a＋a6a10＝a＋2a4a8＋a＝(a4＋a8)2．∵a4＋a8＝－2，∴a6(a2＋2a6＋a10)＝4．

7．在等比数列{an}中，an＞0且a1a5＋2a3a5＋a3a7＝25，则a3＋a5＝________．

【答案】5　【解析】在等比数列{an}中，an＞0且a1a5＋2a3a5＋a3a7＝25，即a＋2a3a5＋a＝25，∴(a3＋a5)2＝25，解得a3＋a5＝5．

8．设等比数列{an}的各项均为正数且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________．

【答案】10　【解析】由题意可得a5a6＋a4a7＝2a5a6＝18，解得a5a6＝9，∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝log395＝log3310＝10．

9．有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数．

解：设这四个数为，a，aq,2aq－a，

则

由①，得a3＝216，a＝6③，

将②变形得3aq＝36，将③代入此式得q＝2．

∴这四个数为3,6,12,18．

10．已知数列{an}为等比数列．

(1)若a1＋a2＋a3＝21，a1a2a3＝216，求an；

(2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求公比q．

解：(1)∵a1a2a3＝a＝216，∴a2＝6．

∴a1a3＝36且a1＋a3＝21－a2＝15．

∴a1，a3是方程x2－15x＋36＝0的两根，

解方程可得两根为3和12．

当a1＝3时，q＝＝2，∴an＝3×2n－1；

当a1＝12时，q＝，an＝12×n－1＝3×23－n．

(2)由题意可得a4a8＝a3q·a5q3＝a3a5q4＝18q4＝72，

∴q4＝4，∴q＝±．

B级——能力提升练

11．(2021年张家口二模)已知正项等比数列{an}的公比为q，若a1＝q≠1，且am＝a1a2a3…a10，则m＝(　　)

A．19　 B．45　

C．55　 D．100

【答案】C　【解析】正项等比数列{an}的公比为q，a1＝q≠1，

∴an＝q·qn－1＝qn，∵am＝a1a2a3…a10，∴qm＝q×q2×q3×…×q10＝q1＋2＋3＋…＋10＝q55．∴m＝55．

12．已知各项不为0的等差数列{an}，满足a－a3－a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝(　　)

A．2　 B．4　

C．8　　 D．16

【答案】B　【解析】根据等差数列的性质得a3＋a11＝2a7，a－a3－a11＝0变为a＝2a7，解得a7＝2或a7＝0(舍去)，所以b7＝a7＝2．因为数列{bn}是等比数列，所以b6b8＝b＝4．

13．已知等比数列{an}的公比q＞0且q≠1，又a6＜0，则(　　)

A．a5＋a7＞a4＋a8 B．a5＋a7＜a4＋a8

C．a5＋a7＝a4＋a8 D．|a5＋a7|＞|a4＋a8|

【答案】A　【解析】∵a6＜0，q＞0，∴a5，a7，a8，a4都是负数．∴a5＋a7－a4－a8＝a4(q－1)＋a7(1－q)＝(q－1)·(a4－a7)．若0＜q＜1，则q－1＜0，a4－a7＜0，则有a5＋a7－a4－a8＞0；若q＞1，则q－1＞0，a4－a7＞0，则有a5＋a7－a4－a8＞0．∴a5＋a7＞a4＋a8．

14．(2021年焦作四模)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a11＋2a5a9＋a3a13＝25，则a1a13的最大值是(　　)

A．25　 B．　

C．5　 D．

【答案】B　【解析】由题意利用等比数列的性质知，a1a11＋2a5a9＋a3a13＝a＋2a6a8＋a＝(a6＋a8)2＝25，又因为an＞0，所以a6＋a8＝5，所以a1a13＝a6a8≤2＝，当且仅当a6＝a8＝时取等号．

15．(2021年赤峰模拟)设数列{an}中a1＝2，若等比数列{bn}满足an＋1＝anbn，且b1 010＝1，则a2 020＝________．

【答案】2　【解析】根据题意，若数列{bn}满足an＋1＝anbn，即＝bn，则有＝×××…×＝b2 019×b2018×b2 017×…×b1，而数列{bn}为等比数列，则b2 019×b2 018×b2 017×…×b1＝b＝12 019＝1，则有＝1，又由a1＝2，则a2 020＝2．

16．从盛满a(a>1)升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇匀，再倒出1升混合溶液后又用水添满摇匀，如此继续下去，问：第n次操作后溶液的浓度是多少？当a＝2时，至少应倒几次后才能使酒精的浓度低于10%?

解：设开始时溶液的浓度为1，操作一次后溶液浓度a1＝1－．

设操作n次后溶液的浓度为an，则操作(n＋1)次后溶液的浓度为an＋1＝an．

∴{an}是以a1＝1－为首项，q＝1－为公比的等比数列．

∴an＝a1qn－1＝n，

即第n次操作后酒精的浓度是n．

当a＝2时，由an＝n<(n∈N*)，解得n≥4．

故至少应操作4次后才能使酒精的浓度小于10%．

C级——探究创新练

17．(2021年安徽模拟)设{an}为等差数列，{bn}为等比数列，且a1＝b1＞0，a9＝b9，则下列关系正确的是(　　)

A．a5＞b5　 B．a5＜b5

C．a5≥b5　 D．a5≤b5

【答案】C　【解析】设等差数列{an}公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则b9＝b1q8＞0，∴a9＝b9＞0．又a5＝，b5＝＝，由基本不等式的性质可得≥，∴a5≥b5．

18．(2020年上海期末)定义为数列{xn}的几何平均数，设{an}是等比数列，且a1＝2－5，它的前11项的几何平均数为25．若在{an}的前11项中抽去一项，剩下10项的几何平均数为24，则被抽去的项是第________项．

【答案】11　【解析】设等比数列{an}的公比为q，被抽去项为am．由等比数列{an}的前11项的几何平均数为25，则有＝25，所以a1a2a3…a11＝255．又由a1＝2－5，得a1a2a3…a11＝a＝(a1q5)11＝(2－5q5)11＝55＝255，解得q＝4，故an＝2－5×4n－1＝22n－7．若在前11项中抽去一项，剩下10项的几何平均数为24，则剩下10项的积为(24)10＝240，所以am＝＝215，所以22m－7＝215，解得m＝11，故被抽去的项是第11项．