高中数学1.2.2 空间中的平面与空间向量当堂检测题

课时作业(七)　空间中的平面与空间向量

一、选择题

1．(2022广东南海石门中学模拟)已知n为平面α的一个法向量，l为一条直线，则“l⊥n”是“l∥α”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：B

2．(2022四川泸县五中月考)如图，在单位正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的法向量是(　　)

A．(1,1,1)   B．(－1,1,1)

C．(1，－1,1)   D．(1,1，－1)

答案：A

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)

A．相交   B．平行　 

C．垂直   D．不能确定

答案：B

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，由图可知平面BB1C1C的法向量n＝(0,1,0)．

∵A1M＝AN＝，∴M，N，∴＝.∵·n＝0，∴MN∥平面BB1C1C．

4．已知平面α的一个法向量为(1，－2,2)，平面β的一个法向量为(－2,4，k)，若α∥β，则实数k的值为(　　)

A．5   B．4 

C．－4   D．－5

答案：C

5．(多选题)(2022安徽蚌埠田家炳中学月考)下列命题是真命题的有(　　)

A．直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量为b＝，则l与m垂直

B．直线l的方向向量为a＝(0,1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α

C．平面α，β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，则α∥β

D．平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1

答案：AD

解析：∵a＝(1，－1,2)，b＝，

∴a·b＝1×2－1×1＋2×＝0，则a⊥b，

∴直线l与m垂直，故A正确；

∵a＝(0,1，－1)，n＝(1，－1，－1)，

∴a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，

则a⊥n，∴l∥α或l⊂α，故B错误；

∵n1＝(0,1,3)，n2＝(1,0,2)，

∴n1与n2不共线，

∴α∥β不成立，故C错误；

∵A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，

∴＝(－1,1,1)，＝(－1,1,0)．

∵向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，

∴即

解得u＋t＝1，故D正确，

故选AD．

6．(多选题)(2022湖南长郡中学模拟)在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，则下列结论中正确的是(　　)

A．直线DD1 的一个方向向量为(0,0,1)

B．直线BC1的一个方向向量为(0,1,1)

C．平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)

D．平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)

答案：ABC

解析：∵ DD1∥AA1，＝(0,0,1)，故A正确；BC1∥AD1，＝(0,1,1), 故B正确；直线AD⊥平面ABB1A1，＝(0,1,0). 故C正确；点C1的坐标为(1,1,1)，与平面B1CD不垂直，故D错．

二、填空题

7．(2022湖北宜昌市二中模拟)已知直线l的一个方向向量d＝(2,3,5)，平面α的一个法向量u＝(－4，m，n)，若l⊥α，则m＝________ ，n＝________.

答案：－6　－10

解析：∵l⊥α，∴d//u，且d＝(2,3,5)，u＝(－4，m，n)，∴＝＝，解得m＝－6，n＝－10.

8．(2022广东深圳中学模拟)已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是__________.

答案：－3

解析：∵直线l∥平面ABC，∴存在实数x，y，使a＝x＋y，＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，

∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)＝(x，y，－x－y)，∴∴m＝－3.

三、解答题

9．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，

求证：平面ADE∥平面B1C1F.

证明：以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)．

所以＝(2,0,0)，＝(0,2,1)，

设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，

则n1⊥，n1⊥，即

得

令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．

因为＝(2,0,0)，＝(0,2,1)，

设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量．

由n2⊥，n2⊥，

得得

令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)．

因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.

10．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．

解：以A为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz，由题意易得AB＝AP＝1，

∴P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0)．

设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)．

∵∥，∴(－1)×y－2(z－1)＝0，①

∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，

又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB，

∴⊥，∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝0，

∴y＝1，代入①得z＝，∴E是PD的中点．

∴存在E点，当点E为PD的中点时，CE∥平面PAB．

11．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1 ，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC，A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC的中点．证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.

证明：方法一：如图，以点A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0，)，C1(0,1，)．

∵D为BC的中点，∴D点坐标为(1,1,0)，

∴＝(1,1,0)，＝(0,0，)，＝(－2,2,0)，

∴·＝1×(－2)＋1×2＋0×0＝0，·＝0×(－2)＋0×2＋×0＝0，

∴⊥，⊥，

∴BC⊥AD，BC⊥AA1.

又A1A∩AD＝A，A1A，AD⊂平面A1AD，

∴BC⊥平面A1AD．

又BC⊂平面BCC1B1，∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.

方法二：同方法一建系后，得＝(0,0，)，＝(1,1,0)，＝(－2,2,0)，＝(0，－1，)．

设平面A1AD的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．

由得

令y1＝－1，则x1＝1，z1＝0，

∴n1＝(1，－1,0)．

由得

令y2＝1，则x2＝1，z2＝，∴n2＝.

∵n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2，

∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.