高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角精练

课时作业(八)　直线与平面的夹角

一、选择题

1．如图，在三棱锥D－ABC中，DC⊥平面ABC，DC＝1，且△ABC为边长等于2的正三角形，则DA与平面DBC所成角的正弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：B

2．正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长为2，侧棱长为2，则B1C与平面AA1B1B所成的角为(　　)

A．30°  B．60°  C．45°  D．90°

答案：A

3．(2022四川阆中中学月考)如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为矩形，且AF＝AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案：C

4．(多选题)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的是(　　)

A．AC⊥BD

B．AB，CD所成角为

C．△ADC为等边三角形

D．AB与平面BCD所成角为60°

答案：ABC

解析：如图，取BD的中点O，连接AO，CO，易知BD⊥平面AOC，故BD⊥AC.如图，建立空间直角坐标系．

设正方形边长为a，则A，B，C，D.

故＝，＝.

由两向量夹角公式得cos〈，〉＝－，

故两异面直线所成的角为.

在Rt△AOC中，由AO＝CO＝a，AO⊥CO，

所以AC＝AO＝a，故△ADC为等边三角形．

易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角，

可求得∠ABO＝45°，故D错．

5．(多选题)(2022黑龙江鹤岗第一中学月考)正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB，则(　　)

A．AC1与底面ABC所成的角的正弦值为

B．AC1与底面ABC所成的角的正弦值为

C．AC1与侧面AA1B1B所成的角的正弦值为

D．AC1与侧面AA1B1B所成的角的正弦值为

答案：BC

解析：如图，取A1C1中点E，AC中点F，并连接EF，则EB1，EC1，EF三条直线两两垂直，则分别以这三条直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2，则AA1＝2.

∴A1(0，－1,0)，C1(0,1,0)，A(0，－1,2)，C(0,1，2)，B1(，0,0)，＝(0,2，－2)．底面ABC的一个法向量为m＝(0,0,2)，

∴AC1与底面 ABC所成的角的正弦值为

|cos〈m，〉|＝＝＝，

∴A错，B对．

∵A1B1的中点K的坐标为，

∴侧面AA1B1B的其中一个法向量为＝，

∴AC1与侧面AA1B1B所成的角的正弦值为

|cos〈，〉|＝＝＝，故C对，D错．

故选BC.

二、填空题

6．已知直线a在平面α上的射影为a′，a与a′所成的角为，直线b⊂α，则a与b所成角θ的范围是________．

答案：

7．(2022北京首都师范大学附属中学月考)已知平面α的一个法向量n＝，A∈α，P∉α，且＝，则直线PA与平面α所成的角为________．

答案：

8．(2022浙江宁波市鄞州中学模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，则EF与直线AC1所成角的大小为______ ；EF与对角面BDD1B1所成角的正弦值是 ________.

答案：　

解析：如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则E(2,0,1)，F(2,1,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，故＝(0,1，－1)，＝(－2,2,2)．故·＝0，故EF与直线AC1所成角的大小为.易知对角面BDD1B1的一个法向量为n＝(1，－1,0)，设EF与对角面BDD1B1所成角为θ，

故sin θ＝＝＝.

三、解答题

9．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，在侧棱CC1上求一点P，使得直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3.

解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

设CP＝m(m>0)，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，

所以＝(－1，－1,0)，＝(0,0,1)，＝(－1,1，m)，＝(－1,1,0)．

因为·＝0，·＝0，

所以为平面BDD1B1的一个法向量．

设AP与平面BDD1B1所成的角为θ，

则sin θ＝cos＝＝，

所以cos θ＝＝.

因为tan θ＝＝＝3，

所以m＝.

故当＝时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3.