数学人教B版 (2019)2.6.1 双曲线的标准方程同步测试题

这是一份数学人教B版 (2019)2.6.1 双曲线的标准方程同步测试题，共15页。试卷主要包含了已知，分别是双曲线，已知双曲线C，定义，已知双曲线的左等内容，欢迎下载使用。
【精挑】2.6.1 双曲线的标准方程优选练习一．填空题1．过点与双曲线有公共渐近线的双曲线方程是______.2．双曲线的渐近线方程是__________．3．设是双曲线的右焦点，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于点，若，则双曲线的渐近线方程是______.4．已知，分别是双曲线：的左？右焦点.若双曲线与圆：的一个交点为，且双曲线的渐近线为，则______.5．过点作一条直线与椭圆交于M，N两点，且P恰为线段的中点，则该直线的方程为___________.6．已知双曲线C：的左焦点为F，过F且与C的一条渐近线垂直的直线l与C的右支交于点P，若A为PF的中点，且为坐标原点，则C的离心率为________.7．定义：以一双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线：的右焦点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若（为坐标原点）．则的共轭双曲线的离心率为______．8．双曲线的一条渐近线与垂直，右焦点为，则以原点为圆心，为半径的圆的面积为______.9．已知双曲线的左．右焦点分别为，点在双曲线上，且轴．若点使得其中c为双曲线的半焦距，则双曲线的离心率为        ．10．已知双曲线的方程为，则焦点到渐近线的距离为_________.11．设直线与双曲线的右支交于两点，是坐标原点，是等腰直角三角形，若这样的直线恰有两条，则双曲线离心率的取值范围是___________.12．已知点F为双曲线的右焦点，过F作一条渐近线的垂线，垂足为A，若（点O为坐标原点）的面积为2，双曲线的离心率，则a的取值范围为__________．13．已知，分别为双曲线（，）的左．右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为．连接，设直线，的斜率分别为，，若，则双曲线的离心率为________．14．已知焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是，焦距为，则双曲线的标准方程为_____．15．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解法，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间距离的几何问题．结合上述观点，可得方程|－|＝4的解为________．
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：利用待定系数法设出所求双曲线标准方程，再将点代入可解得结果.详解：设与双曲线有公共渐近线的双曲线标准方程是，因为双曲线过，所以，即，所以所求双曲线的标准方程为.故答案为：.2．【答案】y=±【解析】分析：由双曲线的方程求得，再根据双曲线的几何性质，即可求解渐近线的方程，得到答案．详解：由双曲线的方程，可得，又由焦点在轴上，故渐近线方程为，故答案为．【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质，合理计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．【答案】【解析】分析：由题意可得，则，设渐近线为的倾斜角为，则可得，，根据二倍角公式可求解.详解：双曲线C：的渐近线为，由题意，得，则在中，，则.设渐近线为的倾斜角为，即，则，则在中，，在中， ，则，即，即，所以，故双曲线的渐近线方程为：故答案为：【点睛】本题考查求双曲线的渐近线的方程，考查双曲线的几何性质，考查三角函数的二倍角公式的应用，属于中档题.4．【答案】【解析】分析：由题知为圆的直径，故，又，所以，设，则，代入求解，计算即可得结果.详解：因为，所以圆：，所以为圆的直径，故，又双曲线的渐近线为，则，所以，设，则，代入得：，解得：，所以.故答案为：5．【答案】【解析】分析：设，，可得，，利用点差法求出直线的斜率，再由点斜式即可得直线的方程.详解：设，，则，，两式相减可得，整理可得，因为点是线段的中点，所以，，所以，可得，所以该直线的方程为：，即故答案为：【点睛】结论点睛：对于中点弦问题可采用点差法求出直线的斜率，设，为弦端点坐标，为的中点，直线的斜率为，若椭圆方程为，则，若椭圆方程为，则，若双曲线方程为，则，若双曲线方程为，则.6．【答案】【解析】分析：设双曲线的右焦点为，设直线l与渐近线交于，可求出，，，由椭圆定义可得，，在直角三角形中，，即可求出，得出离心率.详解：如图所示，设双曲线的右焦点为，不妨设直线l与渐近线交于，在直角三角形中，由点到直线的距离可得，，，为的中位线，，，，，，则在直角三角形中，，化简得，.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解题的关键是正确利用直角三角形的性质和椭圆的定义表示出各线段长度，得到.7．【答案】3【解析】分析：由题意先求出，再根据互为共轭双曲线的方程间的关系求出答案.详解：双曲线：的渐进线方程为：所以对于双曲线，，，由题意得，由共轭双曲线的定义可知，双曲线：,与：互为共轭双曲线，所以的共轭双曲线的离心率为．故答案为：3【点睛】本题考查互为共轭双曲线的定义，考查双曲线的基本几何性质，属于基础题.8．【答案】  【解析】双曲线的渐近线方程为，故，故，所求圆的面积为.9．【答案】【解析】由题意得，点在双曲线上，且轴， 解得 （舍去），的离心率为 ．10．【答案】【解析】分析：求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，即可得答案；详解：焦点坐标，渐近线方程，则点到直线距离.故答案为：1.11．【答案】【解析】分析：利用题设条件并借助几何图形探求出双曲线的渐近线的倾斜角的范围，得范围，结合离心率的定义，即可求解.详解：由题意，直线与双曲线的右支交于两点，是坐标原点，如图：其中是等腰直角三角形，且这样的直线有两条，由对称性知，直线l不能垂直于x轴，否则这样的直线是奇数条，l不垂直于x轴，即点O不能为直角顶点，则双曲线两条渐近线所成的含x轴的对顶角不大于，则只能是以点P或Q为直角顶点的两种情况，且点P，Q分别在x轴的上方和下方，不妨以Q为直角顶点，则有，而，，所以双曲线的渐近线的倾斜角有，，而，，，则，离心率.故答案为：【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；(2)齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；(3)特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.12．【答案】【解析】由题意可知：点F到渐近线的距离等于，从而即，又，所以，则，又，所以，解得.故答案为：.13．【答案】【解析】已知焦点，的坐标分别为，，其中．根据对称性，不妨设点在渐近线上，则直线的方程为，与联立，得，所以，由，得，化简得，故．故答案为：．14．【答案】【解析】当双曲线的焦点在y轴上时，由且，两式联立解得，，所以所求双曲线的标准方程为．综上，所求双曲线的标准方程为．故答案为：．15．【答案】±【解析】分析：将，变形为，得到其几何意义，再根据双曲线的定义得到平面内动点 与两定点(－3，0)，(3，0)距离差的绝对值为4的点的轨迹方程，与联立求解.详解：由，得，其几何意义为平面内动点(x，2)与两定点(－3，0)，(3，0)距离差的绝对值为4.又因为平面内动点 与两定点(－3，0)，(3，0)距离差的绝对值为4的点的轨迹方程为，联立， 解得，故答案为：±