高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程巩固练习

【优编】2.7.1 抛物线的标准方程优质练习

一．填空题

1．若抛物线上的点到焦点的距离为3，则________.

2．

已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于？两点，若，则直线的斜率为___________.

3．已知抛物线方程为，则抛物线焦点坐标为________．

4．

在平面直角坐标系中，设抛物线与在第一象限的交点为A，若的斜率为2，则________.

5．

已知抛物线经过点，直线经过点且与抛物线交于，两点．若线段的中点为，为抛物线的焦点，则的周长为______．

6．抛物线的准线方程是，则的值为_________.

7．

抛物线的准线被圆截得的弦长为，则___________.

8．抛物线的焦点坐标为_____________．

9．已知平面向量，且．若对任意的，均有的最小值为，则的最小值为________．

10．设抛物线的焦点为F，第一象限内的A，B两点都在C上，O为坐标原点，若，且的面积为，则点A的坐标为__________.

11．已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，若，点P到y轴的距离等于3，则点F的坐标为______________.

12．已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线交抛物线与．两点，若线段中点的纵坐标为，则抛物线的方程是________.

13．

已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点．若，则______．

14．

设P是抛物线y2=4x上的一个动点，若B(3，2)，则|PB|+|PF|的最小值为________.

15．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离，得到方程，解得即可；

详解：解：抛物线，即，准线方程为，点到焦点的距离为3，所以，解得

故答案为：

2．【答案】

【解析】

由直线过，所以，

设，，

由，可得，

直线与抛物线联立得，，

所以，可得，

所以.

故答案为：

3．【答案】

【解析】分析：根据抛物线方程，直接求抛物线的焦点坐标.

详解：因为抛物线方程为，焦点在轴，开口向下，焦点坐标为.

故答案为：

4．【答案】

【解析】

设，

由，

则，故得

代入抛物线得.

故答案为：

5．【答案】

【解析】

把点代入中得，故抛物线的方程为．

设，，由题意可知直线的斜率存在且不为0，故．

则，，两式相减得，

又因为的中点为，

所以，将代入上式得直线的斜率，

于是直线的方程为，即．

联立消去得，，

由根与系数的关系得，，

由抛物线的定义得，

而，

因此的周长为．

故答案为：

6．【答案】

【解析】分析：把抛物线的方程化成标准形式，结合准线方程求出字母的值.

详解：由得，其准线方程为，

因为抛物线的准线方程是，

所以，解得.

故答案为：

7．【答案】

【解析】

由题意，圆的圆心坐标为，半径为，

又由抛物线的准线方程为，

因为抛物线的准线被圆截得的弦长为，

可得圆心到准线的距离为，解得.

故答案为：

8．【答案】

【解析】分析：将抛物线的方程变为标准形式，由抛物线的几何性质可求得答案．

详解：将抛物线的方程整理为标准形式，得，

则该抛物线的焦点在y轴正半轴，坐标为．

故答案为：．

9．【答案】6

【解析】分析：由已知垂直且模均为2，因此把它们放到平面直角坐标系中，不妨设，，设，已知向量模的最小值说明对应动点的轨迹是抛物线，所求问题转化为求抛物线上点到定点和抛物线焦点距离之和的最小值，由抛物线的性质可得．

详解：因为，且，不妨设，，设，，，

由的最小值是，即动点到轴上点的距离的最小值等于到定点的距离，所以到轴的距离等于到定点的距离，

所以点轨迹是以为焦点，轴为准线的抛物线，

，记，过作轴，垂足为，则

，易知当三点共线时，取得最小值，此时最小值为到轴距离6.

故答案为：6.

【点睛】

关键点点睛：本题考查向量语言的直观表达，借助对称性，将距离进行有效转化，从而求得最小值．解题关键是引入平面直角坐标系，把向量用坐标表示，得出动点轨迹，然后利用抛物线的性质得出最小值．

10．【答案】

【解析】分析：设，根据可得关于的方程，解方程后可求两点的横坐标，利用焦半径公式可求，求出后可得点A的坐标.

详解：设，则，整理得到，

解得或（舍），故，同理，

故，，

所以，解得，故.

故答案为：

11．【答案】

【解析】分析：利用抛物线方程及定义进行求解.

详解：由题意可得，

所以，

所以F点坐标为．

故答案为：．

【点晴】

结合抛物线定义是解题关键点.

12．【答案】

【解析】分析：本题首先可设．，则．，然后两式相减，可得，再然后根据．两点在斜率为的直线上得出，最后根据线段中点的纵坐标为即可求出结果.

详解：设，，则，，

两式相减得，即，

因为．两点在斜率为的直线上，

所以，即，

因为线段中点的纵坐标为，所以，

则，，抛物线的方程是，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题考查抛物线方程的求法，考查直线与抛物线相交的相关问题的求解，考查中点坐标的相关性质，考查直线斜率的应用，考查计算能力，是中档题.

13．【答案】

【解析】

设，．因为，所以，．

由，得，则，

根据抛物线的定义得：．

故答案为：．

14．【答案】4

【解析】

解析：如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|=|P1F|，所以有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4，即|PB|+|PF|的最小值为4.

故答案为：4

15．【答案】

【解析】分析：设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，进而把问题转化为求的最小值，进而可推断出当．．三点共线时最小，则答案可得.

详解：设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，

所以，要求取得最小值，即求取得最小，

当．．三点共线时最小为．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查抛物线的定义．标准方程，以及简单性质的应用，判断当．．三点共线时最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用.