数学选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质复习练习题

【优质】2.7.2 抛物线的几何性质优质练习

一．填空题

1．若抛物线经过点，，则该抛物线的标准方程为___________.

2．已知点P(1，2)在抛物线C上，则抛物线C的准线方程为___.

3．若抛物线与椭圆有一个相同的焦点，则正数a的值为________.

4．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________．

5．已知点在抛物线上，则该抛物线的焦点坐标为______．

6．若抛物线上一点到焦点的距离为4，则点的纵坐标的值为___________

7．在平面直角坐标系中，若双曲线：的一条准线与抛物线：的准线重合，则正数的值是___.

8．若抛物线上的点到其焦点的距离是A到y轴距离的2倍，则等于___________.

9．已知抛物线，点为抛物线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，则线段长度的取值范围为__________.

10．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为线段的中点，则__________.

11．已知抛物线的焦点为，若抛物线上的点满足（为坐标原点），则______.

12．已知圆的方程为，若抛物线过点，，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________.

13．若，则的最小值是_______．

14．以抛物线焦点为端点的一条射线交抛物线于点，交轴于点，若，，则________.

15．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到准线的距离为__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由所过两点坐标即可设出抛物线方程，待定系数即可求得结果.

详解：因为抛物线经过点，，即抛物线经过第一．二象限，

故设抛物线方程为，代入点，可得，即，

则抛物线方程为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查由抛物线上一点求抛物线方程，属基础题.

2．【答案】

【解析】分析：代入抛物线方程，求出，可求准线方程.

详解：在抛物线上，，

准线方程为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查抛物线的性质.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点．对称轴．开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．

3．【答案】4

【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标，再根据椭圆性质计算．

详解：抛物线的焦点坐标为，有，得.

故答案为：4.

4．【答案】8

【解析】分析：先确定抛物线中，焦点F(1，0)，再利用定义计算，即得结果.

详解：抛物线y2＝4x中，，焦点F(1，0)，而直线AB过焦点F(1，0)，

故根据抛物线定义可知.

故答案为：8.

5．【答案】

【解析】分析：由在抛物线上，代入抛物线方程可求出，进而可求出焦点的坐标.

详解：解：由题意可得，解得，故该抛物线的焦点坐标为．

故答案为: .

【点睛】

本题考查了抛物线方程的求解，考查了抛物线焦点坐标的求解.

6．【答案】3

【解析】分析：根据抛物线方程求出焦点．准线方程，利用抛物线定义求解.

详解：由可得，

所以该抛物线的焦点为，准线方程为，

设，由抛物线的定义可得，

所以．

故答案为：3

7．【答案】3

【解析】分析：由已知可得双曲线的准线方程及其抛物线的准线方程，即可得出正数．

详解：抛物线：的准线方程为，双曲线：的一条准线方程为，根据题意得，解得.

故答案为：3

【点睛】

本题考查了双曲线与抛物线的标准方程及其准线方程，属于基础题．

8．【答案】

【解析】分析：利用抛物线的定义以及抛物线的方程解出即可．

详解：由题意，得，解得，

即，代入，得，结合，解得

故答案为：

9．【答案】

【解析】分析：连接，易得，可得四边形的面积为，从而可得，进而求出的取值范围，可求得的范围.

详解：如图，连接，易得，所以四边形的面积为，且四边形的面积为三角形面积的两倍，所以，所以，

当最小时，最小，设点，则，

所以当时，，则，

当点的横坐标时，，此时，

因为随着的增大而增大，所以的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查抛物线上的动点到定点的距离的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.

10．【答案】

【解析】分析：利用中点坐标公式可求得点的横坐标，利用抛物线的定义可求得，由此可求得的值.

详解：由抛物线得，所以抛物线的焦点的坐标为.

因为是线段的中点，点在轴上，

所以根据中点坐标公式，得.

又因为点在抛物线上，所以，.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：抛物线定义的两种应用：

（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；

（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.

11．【答案】

【解析】分析：根据两点之间的距离公式以及，可得，然后根据点在抛物线上，可得，联立方程，可得.

详解：由题可知：，∴，

又∵，，∴，∴（舍）或.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查两点之间的距离公式，考验计算能力，属基础题.

12．【答案】

【解析】分析：根据题意可知：焦点到和的距离之和等于和分别到准线的距离和；而距离之和为和的中点到准线的距离的二倍，即，所以焦点的轨迹方程是以和为焦点的椭圆，由此能求出该抛物线的焦点的轨迹方程.

详解：解：设抛物线焦点为，过，，作准线的垂线，，，

则|有；

由抛物线定义得，

，

故点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆(去掉长轴两端点)，

抛物线的焦点轨迹方程.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：抛物线方程中，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，牢记它对解题非常有益．

13．【答案】

【解析】分析：由目标式的形式：可看作两点的距离，而可看作两点的距离，问题转化为的最小值；是上的点，对于在坐标系存在使得，可联想抛物线：以为焦点，为准线的抛物线，即问题最终为求抛物线上一点到定点与上的一点的距离之和最小，结合抛物线．函数图象及利用导数求最小值.

详解：由，记，

则，即原问题转化为抛物线上到定点与上的的距离之和最小，

，当且仅当共线时等号成立.

令，则且，

由于单调增，则是唯一零点，即有在上单调递减，在上单调递增，则，即最小值为.

则．

故答案为：.

【点睛】

本题考查了利用几何法求代数式的最值，综合抛物线的性质．两点距离公式．数形结合．导数研究函数最值的应用，属于难题.

14．【答案】3

【解析】分析：设，根据，求出，再根据抛物线的定义得，将代入可求出结果.

详解：依题意可得，设，则，

因为，，所以，

所以，又，

所以，所以，所以，解得，所以.

故答案为：3

15．【答案】

【解析】分析：求出抛物线的焦点坐标与准线方程，从而可得答案.

详解：由可得，

抛物线的焦点坐标为，准线方程为，

所以抛物线的焦点到准线的距离为，

故答案为：1.