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    人教B版高中数学选择性必修第一册2-7-2抛物线的几何性质优选作业含答案

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    人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质练习

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    这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.2 抛物线的几何性质练习,共15页。试卷主要包含了若,则的最小值是_______,已知抛物线等内容,欢迎下载使用。


    【精挑】2.7.2 抛物线的几何性质优选练习

    一.填空题

    1.,则的最小值是_______.

    2.已知为抛物线的焦点,上一点,到原点的距离,若,则_________.

    3.已知抛物线的焦点为,准线为,过点且斜率为的直线交抛物线于点在第一象限),,垂足为,直线轴于点,则_____________.

    4.已知抛物线的准线方程为,焦点为,准线与轴的交点为为抛物线上一点,且满足,则______.

    5.抛物线上一点到焦点的距离为,则点的纵坐标为______________.

    6.已知抛物线的焦点为F,其准线与双曲线相交于A,B两点.若为直角三角形,则抛物线的准线方程为________.

    7.已知倾斜角为的直线过曲线的焦点,且与相交于不同的两点在第一象限),则_____.

    8.抛物线的焦点为,点为抛物线上一点,且不在直线上,则周长的最小值为____.

    9.已知点为抛物线上的点,且点P到抛物线C焦点的距离为3,则___________.

    10.中国古代桥梁的建筑艺术,有不少是世界桥梁史上的创举,充分显示了中国劳动人民的非凡智慧.一个抛物线型拱桥,当水面离拱顶2m时,水面宽8m.若水面下降1m,则水面宽度为______.

    11.抛物线的焦准距是______.

    12.已知抛物线,圆心在上的圆过原点且与抛物线的准线相切,若该圆截直线所得弦长为,则的方程为___________.

    13.抛物线的焦点为F,准线L与x轴交于点M,若N为L上一点,当为等腰三角形,时,则_______.

    14.已知点是抛物线上的一个动点,则点到点的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为___________.

    15.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,MN与x轴相交于点R,若∠NRF=60°,则|FR|等于_____.


    参考答案与试题解析

    1.【答案】

    【解析】分析:由目标式的形式:可看作两点的距离,而可看作两点的距离,问题转化为的最小值;上的点,对于在坐标系存在使得,可联想抛物线:以为焦点,为准线的抛物线,即问题最终为求抛物线上一点到定点上的一点的距离之和最小,结合抛物线.函数图象及利用导数求最小值.

    详解:由,记

    ,即原问题转化为抛物线到定点上的的距离之和最小,

    ,当且仅当共线时等号成立.

    ,则

    由于单调增,则唯一零点,即有上单调递减,在上单调递增,则,即最小值为.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查了利用几何法求代数式的最值,综合抛物线的性质.两点距离公式.数形结合.导数研究函数最值的应用,属于难题.

    2.【答案】或3

    【解析】分析:由已知得,即,再由抛物线的定义,得,可求得答案.

    详解:因为上一点,所以,即

    由抛物线的定义,得,整理得,故或3.

    故答案为:或3.

    【点睛】

    本题考查抛物线的定义和几何性质,属于基础题.

    3.【答案】

    【解析】分析:由抛物线定义知,再由题意可得为等边三角形,的中点,可得为三角形的中位线,可得的中点,为等边角形的高,由中,可得的值,进而求出的值.

    详解:如图所示

    设准线与轴交于.易知,由抛物线定义知.

    由题意

    为等边三角形,

    .

    的中位线,

    就是该等边的高,.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系,属于中档题.

    4.【答案】

    【解析】分析:由求出,可得抛物线方程为,利用抛物线的定义可求出,再利用余弦定理可得答案.

    详解:由题可知:抛物线,准线方程

    ,有

    ∴抛物线方程为:

    准线,交于点,由抛物线的定义得:

    ,则

    ,在三角形中,

    由余弦定理可得

    解得

    故答案为:

    【点睛】

    与焦点.准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化:(1)将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,使问题得到解决.

    5.【答案】2

    【解析】分析:求出抛物线的标准方程以及抛物线的准线,根据抛物线的定义可得点到准线的距离为,从而求解.

    详解:抛物线方程改写为

    根据抛物线的定义,知点到准线的距离也为

    所以的纵坐标为.

    故答案为:2

    6.【答案】

    【解析】分析:先求出准线方程为,代入双曲线方程可得A,B的坐标,再由为直角三角形,设中点为,则,即,进而求解.

    详解:由题可知准线方程为,

    因为与双曲线相交于A,B,

    ,,

    因为为直角三角形,由双曲线的对称性可得,

    中点为,则,即,解得,即,

    所以准线方程为,

    故答案为:

    【点睛】

    本题考查抛物线的几何性质,考查双曲线的方程的应用,考查运算能力.

    7.【答案】

    【解析】分析:求出点坐标,过垂直轴于点垂直准线于点,为准线与轴的交点,由结合直线倾斜角是60°可得出的方程,从而求得.

    详解:由曲线得,

    垂直轴于点垂直准线于点,为准线与轴的交点,则,所以

    故答案为:

    【点睛】

    本题考查抛物线的焦点弦问题,考查求抛物线上的点到焦点的距离,解题关键利用抛物线的定义建立焦半径的关系式.

    8.【答案】

    【解析】分析:求△MAF周长最小值,即求|MA|+|MF|的最小值.设点M在准线上的射影为D,根据抛物线定义知|MF|=|MD|,转为求|MA|+|MD|的最小值,当D.M.A三点共线时|MA|+|MD|最小,即可得到答案.

    详解:求△MAF周长的最小值,即求|MA|+|MF|的最小值,

    设点M在准线上的射影为D,则

    根据抛物线的定义,可知|MF|=|MD|

    因此,|MA|+|MF|的最小值,即|MA|+|MD|的最小值

    根据平面几何知识,可得当D,M,A三点共线时|MA|+|MD|最小,

    因此最小值为xA﹣(﹣1)=2+1=3,

    ∵|AF|=

    ∴△MAF周长的最小值为3+

    故答案为3+

     

    【点睛】

    本题考查抛物线的定义.标准方程,以及简单性质的应用,判断当D,M,A三点共线时|MA|+|MD|最小,是解题的关键.

    9.【答案】

    【解析】分析:根据抛物线的焦半径公式求解,再由于点在抛物线上,点的坐标满足抛物线的方程,得到.

    详解:设抛物线的焦点为,则

    根据抛物线的焦半径公式可知:

    所以,代入抛物线方程得到:

    .

    故答案为:.

    【点睛】

    本题主要考查抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,从而得到焦半径公式,平时做题时也要特别注意定义的应用.

    10.【答案】

    【解析】分析:以拱桥顶点为原点,建立直角坐标系,设抛物线方程根据题意可得答案.

    详解:由题意,以拱桥顶点为原点,建立直角坐标系,设抛物线方程

    由题意知,抛物线经过点和点,代入抛物线方程解得,

    所以抛物线方程,水面下降1米,即,解得

    所以此时水面宽度.

    故答案为:.

    11.【答案】

    【解析】分析:抛物线化为标准方程,即可求得抛物线焦点到准线的距离.

    详解:解:抛物线化为标准方程为.

    .

    .

    抛物线的焦准距是.

    故答案为:.

    【点睛】

    本题考查抛物线的标准方程与几何性质,解题关键是理解焦准距的含义,属于基础题.

    12.【答案】

    【解析】分析:由题,得圆心坐标,所以P到的距离,又由,列出方程解得p,即可得到本题答案.

    详解:

    如图,设圆心为,因为

    所以,且

    则P到的距离

    又由,得

    所以抛物线的标准方程为.

    故答案为:

    【点睛】

    本题主要考查抛物线与圆的综合问题,考查学生分析问题和解决问题的能力,以及运算求解能力.

    13.【答案】2

    【解析】分析:根据抛物线的方程求出焦点F的坐标和准线L的方程及的坐标,根据N为L上一点且为等腰三角形得到为等腰直角三角形,根据勾股定理求出的长度即为的值.

    详解:解:根据抛物线方程得到焦点,

    准线L的方程为,

    所以,则 ,

    又因为为等腰三角形,

    N为L上一点得到为等腰直角三角形,

    ,

    又斜边 ,根据勾股定理求出,

    .

    故答案为: 2

    【点睛】

    本题要求学生掌握抛物线的简单性质,灵活运用勾股定理解直角三角形.是一道基础题.

    14.【答案】

    【解析】分析:设点在抛物线的准线的投影为点,抛物线的焦点为,根据抛物线的定义可得,再根据三角形的性质:即可求解.

    详解:设点在抛物线的准线的投影为点,抛物线的焦点为,则.

    依抛物线的定义,知点到该抛物线的准线的距离为

    则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和

    .

    故答案为:.

    15.【答案】2

    【解析】分析:由题意知:.由∠NRF=60°,可得为等边三角形,MF⊥PQ,可得F为HR的中点,即求.

    详解:不妨设点P在第一象限,如图所示,连接MF,QF.

    ∵抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点

    .

    ∵M,N分别为PQ,PF的中点,

    ∵PQ垂直l于点Q,

    ∴PQ//OR,

    ,∠NRF=60°,

    为等边三角形,

    ∴MF⊥PQ,

    易知四边形和四边形都是平行四边形,

    ∴F为HR的中点,

    故答案为:2.

    【点睛】

    本题主要考查抛物线的定义,属于基础题.

     

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