人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.2.3 两条直线的位置关系巩固练习

【基础】2.2.3 两条直线的位置关系随堂练习

一．填空题

1．过原点且与直线成角的直线方程是________．

2．已知顶点，及内心，则直线的方程为________．

3．两条平行直线l：与m：之间的距离______.

4．已知，，，则角平分线的长为________．

5．直线的点方向式方程是____________；点法向式方程是___________.

6．设，，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是______.

7．已知直线，，若，则____；若，则____.

8．若直线的法向量是直线的方向向量，则实数是______________.

9．两条直线，的夹角平分线所在直线的方程是________．

10．已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程是________.

11．三条直线相交于一点，则=____________

12．已知直线斜率的取值范围是，则的倾斜角的取值范围是______．

13．已知直线：，：，且，则k的值______.

14．直线的倾斜角的角平分线所在的直线的方程是________．

15．直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点，则直线l的方程为_______.

参考答案与试题解析

1．【答案】或

【解析】设所求直线的斜率为，根据两直线的夹角公式，建立的方程，求解即可.

详解：设所求直线的斜率为，直线斜率为，

依题意，得，

即或，

解得或，又所求的直线过原点，

故所求的直线方程为或.

故答案为：或

【点睛】

本题考查两直线的夹角公式以及直线方程，熟记公式即可，属于基础题

2．【答案】

【解析】分别计算直线和直线的法向量，设直线的法向量为，根据向量夹角公式并验证排除得到答案.

详解：直线：，即，法向量为；

直线：，即，法向量为；

设直线的法向量为，则，即，

化简整理得到：，或，取法向量为或，

直线过点，故直线方程为和，

验证知不成立，故直线的方程为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

3．【答案】1.

【解析】直接利用平行线间的距离公式的应用求出结果．

详解：两条平行直线与之间的距离．

故答案为：1.

【点睛】

本题考查两平行线间的距离公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.

4．【答案】

【解析】根据题意，利用两点间的距离公式分别求出的三条边，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，从而可求出，，根据三角形内角和的性质求出，最后利用正弦定理即可求出角平分线的长.

详解：解：由题可知，，，，

则，

，

，

即在中，，

由于，所以是直角三角形，，

在中，，，

由于是的角平分线，

所以，

在中，，

在中，由正弦定理得：，

则，解得：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查三角形中的边长，考查利用正弦定理解三角形和两点间的距离公式，以及三角形内角和的性质和角平分线的性质，考查化简计算能力.

5．【答案】     

【解析】先取直线上一点，如，再根据点方向式方程以及点法向式方程形式写结果.

详解：因为直线过点，一个方向向量为，

所以点方向式方程是，

点法向式方程是，

故答案为：，

【点睛】

本题考查点方向式方程以及点法向式方程，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．【答案】

【解析】画出图象求出定点与．两点连线的斜率，即可求出实数的取值范围．

【详解】

直线恒过定点，由题意平面内两点，，直线与线段恒有公共点，如图

求出定点与．两点连线的斜率，．

，

所以直线与线段恒有公共点，则实数的取值范围是，

故答案为：

7．【答案】     

【解析】直接根据两直线平行与垂直的公式进行求解．

详解：解：∵，，

若，则，即，

∴，或，

经检验，当时，两直线重合，应舍去，

∴；

若，则，

∴；

故答案为：；．

【点睛】

本题主要考查两直线平行于垂直的计算公式，属于基础题．

8．【答案】

【解析】把直线的法向量是直线的方向向量，转化为两直线互相垂直，结合两直线的位置关系，列出方程，即可求解.

详解：由题意，直线的法向量是直线的方向向量，

可得两直线互相垂直，所以，即，解得.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了直线的方向向量和直线法向量的概念，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了转化思想，以及运算与求解能力.

9．【答案】

【解析】设出两直线夹角平分线所在直线的方程，根据到角公式即可求出．

详解：因为直线的倾斜角为，的倾斜角为，且

由解得两直线的交点坐标为，所以可设两直线夹角平分线所在直线的方程为：．

∴，解得，即两直线夹角平分线所在直线的方程为：．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查到角公式的应用，属于基础题．

10．【答案】

【解析】设点在直线上，由题意结合对称性可得点在直线上，求得即可得解.

详解：设点在直线上，则点在直线上，

，，

直线的方程是.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了由对称性求直线方程，考查了运算求解能力，关键是转化对称的条件，属于基础题.

11．【答案】

【解析】联立方程组,解得两直线的交点坐标为，再把代入直线，即可求解

详解：由题意，联立方程组，解得，即两直线的交点坐标为

又因为点也在直线上，即，解得

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，其中解答中联立方程组，正确求解两直线的交点坐标，再代入直线方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

12．【答案】

【解析】根据斜率与倾斜角的关系即可求解.

详解：因为直线斜率的取值范围是，

所以当斜率时，倾斜角，

当斜率时，倾斜角，

综上倾斜角的取值范围，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了直线的斜率，直线的倾斜角，属于中档题.

13．【答案】

【解析】根据两直线平行列关于的方程，解出的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足，即可得出实数的值.

详解：直线：，：，且，

则，解得或.

当时，，，两直线重合，不合乎题意；

当时，，即，，两直线平行，满足题意.

因此，.

故答案为：

【点睛】

本题考查利用两直线平行求参数，在求出参数后，还应将参数的值代入两直线方程，验证两直线是否平行，考查运算求解能力，属于基础题.

14．【答案】

【解析】设直线的倾斜角为，则，利用二倍角公式计算，且过点，得到答案.

详解：设直线的倾斜角为，则，直线过点，

则，解得或（舍去），

故直线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了直线方程，二倍角公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

15．【答案】

【解析】设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为，由截距式可将直线表示出来，因为直线某过点，所以将点代入，即可求得a，得到直线方程.

详解：设直线在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为，

由截距式可得：，将代入直线方程，解得：或3，

所以代入直线方程化简可得，或.

【点睛】

本题考查直线方程的截距式，根据题意假设参数，最后代入已知点解出即可，

注意截距式的标准形式与限制条件.