人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程课堂检测

【优编】2.7.1 抛物线的标准方程随堂练习

一．填空题

1．已知抛物线的方程为，且过点，则焦点坐标为______．

2．

已知点是抛物线上一动点，则的最小值为________.

3．抛物线的准线方程是，则的值为_________.

4．设P是抛物线上的一个动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为________．

5．

定长为4的线段的两个端点在抛物线上移动，设的中点为，则点到轴的最短距离为___________.

6．

如图，抛物线的焦点为为抛物线在第一象限内的一点，抛物线在点处的切线与圆相切(切点为)且交轴于点，过点作圆的另一条切线(切点为)交轴于点.若已知，则的最小值为_____________．

7．已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且直线的斜率与直线的斜率的差是4，则点M的轨迹方程为_____________.

8．若椭圆的一个焦点在抛物线的准线上，则m= __________.

9．已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，若，点P到y轴的距离等于3，则点F的坐标为______________.

10．

抛物线的焦点坐标为________．

11．抛物线的焦点到准线的距离是 ___________.

12．

抛物线的焦点为椭圆＋＝1的下焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为________．

13．

抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当为等边三角形时，其面积为________.

14．若抛物线上的点到焦点的距离为3，则________.

15．若抛物线的准线与曲线只有一个交点，则实数满足的条件是__________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：将点代入抛物线方程可得的值，即可求得抛物线方程进而得焦点坐标.

详解：抛物线过点，即有，解得，

则抛物线，即的焦点坐标为，

故答案为：.

2．【答案】

【解析】

由，得，则的焦点为，准线为：.

的几何意义是点到与点的距离之和，

根据抛物线的定义点到的距离等于点到的距离，

所以的最小值为.

故答案为：.

3．【答案】

【解析】分析：把抛物线的方程化成标准形式，结合准线方程求出字母的值.

详解：由得，其准线方程为，

因为抛物线的准线方程是，

所以，解得.

故答案为：

4．【答案】

【解析】分析：设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，进而把问题转化为求的最小值，进而可推断出当．．三点共线时最小，则答案可得.

详解：设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，

所以，要求取得最小值，即求取得最小，

当．．三点共线时最小为．

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题考查抛物线的定义．标准方程，以及简单性质的应用，判断当．．三点共线时最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用.

5．【答案】

【解析】

设在轴上的投影点为，设抛物线的焦点为，

由抛物线定义可知：，

所以，

所以，取等号时三点共线，即经过点，

所以到轴的最短距离为，

故答案为：.

6．【答案】

【解析】

，设，

由，则，抛物线，

所以，

不妨设，则，

因为，所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

在中，由正弦定理有

．

当且仅当时，即时，．

故答案为：．

7．【答案】（）

【解析】分析：设，表示出直线与的斜率，由斜率之差为4建立关系可求.

详解：设点，其中，

则，，

由题可得，整理可得.

即点M的轨迹方程为.

故答案为：.

8．【答案】7

【解析】分析：先求出抛物线的准线，从而可得的值，进而可求出的值

详解：解：抛物线的准线为直线，

因为椭圆的一个焦点在抛物线的准线上，

所以可得，

所以，

故答案为：7

9．【答案】

【解析】分析：利用抛物线方程及定义进行求解.

详解：由题意可得，

所以，

所以F点坐标为．

故答案为：．

【点晴】

结合抛物线定义是解题关键点.

10．【答案】

【解析】

由得，

所以，，

所以抛物线的焦点坐标为.

故答案为：

11．【答案】

【解析】分析：将抛物线的方程化为标准方程，即可求得结果.

详解：抛物线的标准方程为，则，可得.

因此，抛物线的焦点到准线的距离是.

故答案为：.

12．【答案】x2＝－4y

【解析】

由椭圆方程知，a2＝9，b2＝4，焦点在y轴上，下焦点坐标为(0，－c)，其中c＝＝.所以抛物线焦点坐标为(0，－)，所以抛物线方程为x2＝－4y.

故答案为：x2＝－4y

13．【答案】

【解析】

解析：如图，FPM是等边三角形.

由抛物线的定义知PM⊥l，，

在中，|QF|=2，∠QMF=30°，所以|MF|，即等边三角形边长为4，

故等边三角形面积为.

故答案为：.

14．【答案】

【解析】分析：首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离，得到方程，解得即可；

详解：解：抛物线，即，准线方程为，点到焦点的距离为3，所以，解得

故答案为：

15．【答案】

【解析】分析：根据题意求出抛物线的准线方程为，分别讨论和时曲线所表示的图形，即可求解.

详解：抛物线的准线为，

当时，表示椭圆在轴上方部分以及左右顶点

所以，

若与曲线只有一个交点，

则，解得，

当时，表示双曲线的在轴上方部分即上支，

此时，

此时满足与曲线只有一个交点，所以，

综上所述：实数满足的条件是或，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是分和两种情况讨论，得到曲线是我们熟悉的椭圆与双曲线的一部分，数形结合可得的范围.