人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理巩固练习

【精编】1.1.2 空间向量基本定理课时练习

一．填空题

1．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若，则abc=____.

2．已知，，则__________.

3．已知,,且,则___.

4．设平面的法向量为，平面的法向量为，若∥，则的值为______

5．在边长为2的正方体中，分别为的中点，分别为线段上的动点（不包括端点）满足，则线段的长度的取值范围为__________．

6．已知向量，，则_______

7．在空间直角坐标系中，正方体的顶点的坐标为，其中心的坐标为，则该正方体的棱长等于__________．

8．已知向量，若，则实数x的值为____．

9．在四面体中， ， ， ， 为的中点， 为的中点，则=_________.（用， ， 表示）

10．已知点O为坐标原点，点A在x轴上，正△OAB的面积为，其斜二测画法的直观图为△O′A′B′，则点B′到边O′A′的距离为　   　．

11．若平面的一个法向量为，A(1，0，2)，B(0，-1，4)，Aα，Bα，则点到平面的距离为__________．

12．已知矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为__________．

13．给出下列命题:①若||=0,则;②若,则;③||=||,其中正确命题的序号是_____.

14．已知向量， ，若，则__________．

15．如图，在直三棱柱中，若，，，则________.（用表示）

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】结合图形将向量用基底表示，然后根据空间向量基本定理并结合条件比较后得到的值，进而可得所求结果．

【详解】

由平行六面体ABCD-A1B1C1D1，得，

又，

所以

解得，

所以．

故答案为．

【点睛】

本题考查空间向量基本定理的应用，根据同一向量在同一基底下的分解具有唯一性这一结论，得到相关系数的大小，从而达到求解的目的．

2．【答案】.

【解析】本道题关键抓住，代入点的坐标，计算，即可。

【详解】

，即可。

【点睛】

本道题考查了向量的坐标运算，考查了向量的加减法，难度较容易。

3．【答案】6

【解析】由可得，可得，再由坐标表示模长即可得解.

【详解】

由,,且,

可得，解得.所以.

所以.

故答案为：6.

【点睛】

本题主要考查了空间向量的数量积的坐标表示及模长公式，属于基础题.

4．【答案】-4

【解析】分析：设平面的法向量，平面的法向量，由∥，可得，因此存在实数，使得，再利用向量共线定理的坐标运算即可求得结果.

详解：设平面的法向量，平面的法向量，

因为∥，所以，所以存在实数，使得，

所以有，解得，故答案为.

点睛：该题考查的是向量平行的条件，以及向量平行时坐标所满足的关系，在解题的过程中，首先需要利用两个平面平行的条件，得到其法向量共线的结论，之后根据坐标的关系求得结果.

5．【答案】

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得：，

设，其中，

则，

，

据此可得：，

由空间中两点之间距离公式可得：

当时，，当时，，

结合二次函数的性质可得线段的长度的取值范围为.

点睛：1.用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明．辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．

6．【答案】

【解析】由列方程，由列方程，问题得解。

【详解】

，

,解得：，所以

【点睛】

本题主要考查了向量垂直的坐标表示，计算比较简单，属于基础题。

7．【答案】

【解析】正方体的顶点的坐标为，其中心的坐标为， ， 该正方体对角线，设该正方体的棱长为，则，解得，即该正方体的棱长，故答案为.

8．【答案】

【解析】根据两向量的数量积为0求解可得所求．

【详解】

∵，

∴，

解得．

故答案为．

【点睛】

本题考查数量积的运用，考查转化能力和运算能力，解题时注意向量垂直于数量积的关系，属于基础题．

9．【答案】

【解析】∵在四面体中， ， 为的中点， 为的中点

∴

故答案为

10．【答案】

【解析】 解：正△OAB的面积为，边长为2，O′A′=2

D′为O′A′的中点，B′D′=

所以点B′到边O′A′的距离：cos45°=

故答案为：

本题考查斜二测法画直观图，点．线．面间的距离计算，考查计算能力，记住结论平面图形和直观图形面积之比为2．

11．【答案】

【解析】利用点到直线的距离公式，借助平面的法向量，利用公式，即可求解.

【详解】

由题意，平面的一个法向量为，

且，则，

所以点A到平面的距离为.

【点睛】

本题主要考查了点到平面的距离的求法，其中解答中熟记空间向量在几何问题中的应用，以及点到直线的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

12．【答案】

【解析】试题分析：过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1.再求出＝＋＋，平方即得||＝．

【详解】

过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．则可求得AM＝，BM＝，CN＝，DN＝，MN＝1.

由于＝＋＋，

∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2(·＋·＋·)＝()2＋12＋()2＋2(0＋0＋0)＝，

∴||＝．

故答案为：

【点睛】

（1）本题主要考查空间向量的线性运算和向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)空间向量的模.

13．【答案】②③

【解析】根据向量模，零向量的概念，逐一验证选项即可.

【详解】

①若||=0,则,故①错误;②正确;③正确.故答案为②③

【点睛】

本题主要考查了零向量，向量的模，相反向量，属于中档题.

14．【答案】1

【解析】

15．【答案】

【解析】根据向量减法以及加法平行四边形法则可得结果.

【详解】

.

【点睛】

本题考查向量减法以及加法平行四边形法则，考查基本求解能力，属基础题.