人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程巩固练习

【优选】2.5.1 椭圆的标准方程课时练习

一．填空题

1．已知，为椭圆的两个焦点，若上存在点满足，则实数的取值范围是______.

2．椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标，，有一根旋杆将两个滑标成一体，，为旋杆上的一点且在，两点之间，且，当滑标在滑槽内作往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处可画出椭圆，记该椭圆为.如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系.则椭圆的普通方程为______.

3．椭圆的焦距等于______.

4．椭圆的短轴长为______.

5．椭圆的长半轴长为________.

6．已知面积为16的正方形的顶点A．B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，，则动点P的轨迹方程是________．

7．已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，且与共线，则椭圆的离心率_______

8．如图，已知点为椭圆上一点，为的左焦点，若，，则椭圆的方程为___________.

9．椭圆+＝1（a＞b＞0）的两个焦点是F1（﹣c，0）．F2（c，0），M是椭圆上一点，且＝0，则离心率e的取值范围是　　．

10．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a＝________.

11．中心在坐标原点，焦点分别为，，且离心率为的椭圆的标准方程为_________.

12．在平面直角坐标系中，椭圆上存在点P，使得，其中，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是__________.

13．已知O为坐标原点，，为椭圆的左右焦点，，点P是位于椭圆C上第一象限的一点，点Q是以为底的等腰三角形内切圆的圆心，过作于点M，，则椭圆的离心率为________.

14．椭圆的长轴长为4，短轴长为，焦点在x轴上的标准方程为__________.

15．椭圆的左焦点为，以为一端点．该椭圆上的动点为另一端点的所有线段的长度中，最大值记为，最小值记为.若，则_____.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】讨论椭圆焦点的位置，保证焦点三角形顶角为钝角或直角即可.

详解：当焦点在轴上时，，，，

当为上下顶点时，最大，∴，，∴，

解得；

同理，当焦点在轴上时，，解得.

∴实数的取值范围是，

故答案为：

【点睛】

本题考查椭圆的应用，考查分类讨论思想，计算能力逻辑思维能力，考查转化思想，属于中档题．

2．【答案】

【解析】由已知得出椭圆的长半轴长为3，短半轴长为1，可得出椭圆的方程.

详解：由题意得：，，所以椭圆的长半轴长为3，短半轴长为1，所以椭圆的普通方程为，

故答案为：.

【点睛】

本题考查求椭圆的方程，关键在于将生活中的数据转化为椭圆的长半轴长和短半轴长，属于基础题.

3．【答案】4

【解析】分析：根据椭圆的方程，求得的值，即可求解.

详解：由题意，椭圆，可得，则，

所以椭圆的焦距为.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】分析：将椭圆，转化为标准方程求解.

详解：由椭圆方程可化为，

∴，，

∴

∴短轴长.

故答案为：

5．【答案】5

【解析】分析：将椭圆方程化为标准方程，由此求得长半轴长.

详解：把椭圆化为标准方程，即，故长半轴为5.

故答案为：

6．【答案】

【解析】分析：设，，，由正方形的性质有，根据，利用向量的坐标表示得x．y与a．b的关系，代入即可得P的轨迹方程.

详解：设，，

∵，

∴，化为．

∵，

∴，即，

∴，化为．

∴动点P的轨迹方程是．

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：

7．【答案】

【解析】分析：把直线方程代入椭圆方程，设，由韦达定理得，求，由与共线，可得的等量关系，化简变形后可求得离心率．

详解：设椭圆方程是，右焦点为，直线方程为，代入椭圆方程并整理得：，

设，则，又，

∵与共线，

∴，∴，∴，，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于的等量关系．本题中直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理求出，然后表示出，由与共线，得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．

8．【答案】

【解析】分析：由条件解可得，，再结合中位线及椭圆定义即可求解.

详解：由题意可得，该椭圆的半焦距，取椭圆的右焦点以及中点，连接，如图，

因为，所以，所以，，

所以，，所以，即，

所以，

所以椭圆方程为.

故答案为：

9．【答案】[，1）

【解析】设点M的坐标为（x，y），则＝（x+c，y），＝（x﹣c，y）．

由＝0，得

x2﹣c2+y2＝0．①

又由点M在椭圆上，得

y2＝b﹣，代入①，解得

x2＝a2﹣．

∵0≤x2≤a2，

∴0≤a2﹣≤a2，

即0≤≤1，

0≤2﹣≤1．

∵e＞0，

解得≤e≤1．

又∵e＜1，

∴≤e＜1．

故答案为：[，1）

10．【答案】1

【解析】由双曲线可知a>0，且焦点在x轴上，根据题意知4－a2＝a＋2，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)．故实数a＝1.

点睛：如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．

11．【答案】

【解析】分析：先设椭圆的标准方程为，再依题意解出a，b，c，即得答案.

详解：依题意知，椭圆交点在x轴上，设椭圆的标准方程为，

依题意，离心率，解得，所以，

故椭圆的标准方程为.

故答案为：.

12．【答案】

【解析】设椭圆的焦距为，由椭圆的定义可得，又

可得，

由题意可得

，解得

故答案为：

13．【答案】

【解析】分析：延长交延长线于点，可得，为的中位线，从而可得，，再由椭圆的定义可求出的值，由即可求出椭圆的离心率.

详解：

因为，即，所以，

因为点Q是以为底的等腰三角形内切圆的圆心，

所以为的角平分线，延长交延长线于点，

在与中，，所以,

所以，，所以为的中点，又为的中点，

所以为的中位线，所以，所以，

所以，所以，所以.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是求出的值．本题中利用三角形全等及三角形中位线，求出．，再利用椭圆的定义求出．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力，属于中档题．

14．【答案】

【解析】分析：直接计算可知参数，然后可知椭圆方程.

详解：依题意可设椭圆方程

所以

所以椭圆的方程为：

故答案为：

15．【答案】

【解析】由椭圆的几何性质得，，结合条件可求得实数的值.

详解：由题意可知，，，

由椭圆的几何性质知，，，即，

可得，即，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆方程中参数的计算，考查椭圆上一点到焦点距离最值的计算，考查运算求解能力，属于中等题.