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山东省淄博市临淄区2022-2023学年九年级上学期数学期末质量检测试题
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这是一份山东省淄博市临淄区2022-2023学年九年级上学期数学期末质量检测试题，共24页。试卷主要包含了下列具有二次函数关系的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年度上学期期末质量检测初四数学试题
一．选择题（共10小题，每题4分，满分40分）
1．在乡村振兴中，农村也装上了路灯，照亮了农民夜晚回家的路．某天夜晚，一棵树和王大伯在路灯照射下的影子如图所示，则路灯的位置为（ ）
A．a处 B．b处 C．c处 D．d处
2．下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
3．如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C，测得BC＝50米，∠ACB＝46°，则小河宽AB为多少米（ ）
A．50sin44° B．50cos46° C．50tan46° D．50tan44°
4．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部（阴影）区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则关于x的方程ax2﹣2x+b＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②2a﹣b＝0；③m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数）；④点（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）是该抛物线上的点，且y1＜y3＜y2．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．2
10．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的有（ ）
A.AE＝6cm
B.sin∠EBC＝
C.当0＜t≤10时，y＝t2
D.当t＝12s时，△PBQ是等腰三角形
二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．计算2sin45°+2cos30°+3tan60°的结果是 ．
12．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则n＝ ．
13．若点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上，则b的值为 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，直线DE是⊙O的切线，切点为D，交AC于E，若⊙O半径为1，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
15．设抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 ．
三．解答题（共8小题，16-19题每题10分；20-21题每题12分；22-23题每题13分；满分90分）
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．已知AB＝4，∠B＝25°，求∠A，BC和AC的值（参考数据sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466，结果精确到0.1）
17．一个几何体的三视图如图所示．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）求这个几何体侧面展开图的圆心角；
（3）求这个几何体的全面积；
18．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；
（2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
19．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（请直接写出答案）
20．如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥AC弦于点F，且交⊙O于点E，若∠BEC＝∠ADO．
（1）判断直线AD和⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝5，AC＝4时，求AD的长．
21．某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式．
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
22．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．
（1）如图1，当点D移动到使CD⊥BE时，
①连结DE，求证：BD＝AE．
②求BD：BC的值．
（2）如图2，当点D到移动到使＝30°时，求证：AE2+CF2＝EF2．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．
2022-2023学年度上学期期末质量检测初四数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每题4分，满分40分）
1．（2021秋•乐平市校级月考）在乡村振兴中，农村也装上了路灯，照亮了农民夜晚回家的路．某天夜晚，一棵树和王大伯在路灯照射下的影子如图所示，则路灯的位置为（ ）
A．a处 B．b处 C．c处 D．d处
【分析】根据中心投影的定义，画出图形即可判断．
【解答】解：如图，观察图象可知，路灯的位置在b处．
故选：B．
【点评】本题考查中心投影，解题的关键是理解中心投影的定义，属于中考常考题型．
2．（2021秋•龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
【分析】根据题意，列出函数解析式就可以判定．
【解答】解：A、y＝4x，是一次函数，错误；B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y＝x2，是二次函数，正确；D、y＝hx，h一定，是一次函数，错误．故选：C．
【点评】本题考查二次函数的定义，掌握其定义是解决此题关键．
3．（2021秋•天长市月考）如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C，测得BC＝50米，∠ACB＝46°，则小河宽AB为多少米（ ）
A．50sin44° B．50cos46° C．50tan46° D．50tan44°
【分析】在直角三角形APC中根据∠BCA的正切函数可求小河宽PA的长度．
【解答】解：∵AB⊥PB，∴∠ABC＝90°，∵BC＝50米，∠BCA＝46°，∴tan46°＝，
∴小河宽AB＝BCtan∠BCA＝50•tan46°（米）．故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
4．（2008•徐州）如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部（阴影）区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．
【解答】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．∵圆的直径正好是大正方形边长，
∴根据勾股定理，其小正方形对角线为，即圆的直径为，∴大正方形的边长为，
则大正方形的面积为×＝2，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为．
故选：C．
【点评】用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比；难点是得到两个正方形的边长的关系．
5．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据圆周角定理的推论可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【解答】解：如图，连接AC、BC．∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理的推论知，∠ADC＝∠ABC．在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，∵AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝，∴sin∠ABC＝＝，∴sin∠ADC＝．故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理的推论，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理的推论把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
6．（2020•滨州）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据双曲线上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S＝|k|即可判断．
【解答】解：延长BA交y轴于E，则BE⊥y轴，∵点A在双曲线y＝上，
∴四边形AEOD的面积为4，∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
7．（2011秋•广水市校级月考）已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则关于x的方程ax2﹣2x+b＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定
【分析】由反比例函数的增减性得到ab小于0，表示出方程根的判别式，判断根的判别式的正负即可得到方程解的情况．
【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，∴ab＜0，
∴方程ax2﹣2x+b＝0中，Δ＝4﹣4ab＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．
【点评】此题考查了根的判别式，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
8．（2021秋•张店区期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②2a﹣b＝0；③m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数）；④点（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）是该抛物线上的点，且y1＜y3＜y2．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由抛物线的图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac与0的关系，然后根据对称轴推理a、b关系，最后根据抛物线的递增情况，判断函数值的大小．
【解答】解：①图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，正确；
②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴2a﹣b＝0，正确；
③图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴x＝﹣1时，y＝a﹣b+c有最大值，对于任意实数m均有a﹣b+c≥am2+bm+c，即a﹣b≥m（am+b），正确；④∵（，y3）的对称点（﹣，y3），﹣＜﹣＜﹣，∴y1＜y3＜y2，正确；故选：A．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点坐标，会利用对称轴的值求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，知识的综合应用是解题关键．
9．（2022•南京模拟）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．2
【分析】首先连接OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：连接OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∵OQ为定值，∴当OP的值最小时，PQ的值最小，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，∴AB＝OA＝8，∴OP＝＝4，
∴PQ＝＝2．故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．
10．（2016春•江阴市校级月考）如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的有（ ）
A.AE＝6cm
B.sin∠EBC＝
C.当0＜t≤10时，y＝t2
D.当t＝12s时，△PBQ是等腰三角形
【分析】根据图象可以得到BC和BE的长度，以及DE的长度，根据图2中y的值可以求得CD的长，从而可以得到AE的长，从而可以判断A；
作辅助线EF⊥BC于点F，由于EF＝CD的长，从而可以得到sin∠EBC的值，可以判断B；根据函数图象可以求得在0＜t≤10时，求得△BPQ底边BQ上的高，从而可以得到△BPQ的面积，从而可以判断C；根据题意可以分别求得在t＝12时，BQ、QP、PB的长，从而判断D．
【解答】解：由图象可知，BC＝BE＝10，DE＝14﹣10＝4，∴AD＝10，
∴AE＝AD﹣DE＝10﹣4＝6cm，故A正确；作EF⊥BC于点F，作PM⊥BQ于点M，如下图所示，由图象可知，三角形PBQ的最大面积为40，
∴，解得EF＝8，∴，故B正确；
当0＜t≤10时，△BMP∽△BFE，∴，即，解得PM＝，
∴＝，即，故C正确；
当t＝12时，BQ＝10，PQ＝，BP＝，∴△BPQ不是等腰三角形，故D错误；故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．
二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．（2011秋•沙洋县期末）计算2sin45°+2cos30°+3tan60°的结果是 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝++＝．故答案为：．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
12．（2021•福田区一模）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则n＝ 6 ．
【分析】根据黄球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．
【解答】解：根据题意得：＝，解得：n＝6，经检验n＝6是原方程的解，
故答案为：6．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（2021•陕西）若点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上，则b的值为 ．
【分析】根据反比例函数的解析式可知xy＝k，然后根据题意即可求得b的值．
【解答】解：∵点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上，
∴3a＝5ab，解得b＝，故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数中xy＝k．
14．（2021•黄岛区一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，直线DE是⊙O的切线，切点为D，交AC于E，若⊙O半径为1，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ﹣π ．
【分析】连接OD、OE、AD，AD交OE于F，如图，根据切线的性质得到∠BAC＝90°，利用余弦的定义可计算出∠B＝60°，则根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠AOD＝120°，于是可计算出BD＝1，AD＝，接着证明△ADE为等边三角形，求出OF＝，根据扇形的面积公式，利用S阴影部分＝S四边形OAED﹣S扇形AOD＝S△ADE+S△AOD﹣S扇形AOD进行计算．
【解答】解：连接OD、OE、AD，AD交OE于F，如图，∵AC是⊙O的切线，切点为A，∴AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，∵cosB＝＝＝，
∴∠B＝60°，∴∠AOD＝2∠B＝120°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°，∴∠DAE＝60°在Rt△ADB中，BD＝AB＝1，∴AD＝BD＝，∵直线DE、EA都是⊙O的切线，∴EA＝ED，∴△ADE为等边三角形，而OA＝OD，∴OE垂直平分AD，在Rt△AOF中，OF＝OA＝，∴S阴影部分＝S四边形OAED﹣S扇形AOD
＝S△ADE+S△AOD﹣S扇形AOD
＝×（）2+××﹣＝﹣π．故答案为﹣π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形的面积计算．
15．（2014•杭州）设抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 y＝x2﹣x+2或y＝﹣x2+x+2 ．
【分析】根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点A、B的坐标代入求解即可．
【解答】解：∵点C在直线x＝2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1或x＝3，当对称轴为直线x＝1时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+k，将A（0，2），B（4，3）代入解析式，则，解得，
所以，y＝（x﹣1）2+＝x2﹣x+2；当对称轴为直线x＝3时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+k，将A（0，2），B（4，3）代入解析式，则，解得，
所以，y＝﹣（x﹣3）2+＝﹣x2+x+2，综上所述，抛物线的函数解析式为y＝x2﹣x+2或y＝﹣x2+x+2．故答案为：y＝x2﹣x+2或y＝﹣x2+x+2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解．
三．解答题（共8小题，16-19题每题10分；20-21题每题12分；22-23题每题13分；满分90分）
16．（2022秋•灞桥区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．已知AB＝4，∠B＝25°，求∠A，BC和AC的值（参考数据sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466，结果精确到0.1）
【分析】根据直角三角形的边角关系进行解答即可．
【解答】解：∵∠B＝25°，∠C＝90°，∴∠A＝90°﹣25°＝65°，∵sinB＝，
∴AC＝AB•sinB≈4×0.423＝1.692≈1.7，∵cosB＝，∴BC＝AB•cosB≈4×0.906＝3.623≈3.6，即：∠A＝65°，AC＝1.7，BC＝3.6．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
17．一个几何体的三视图如图所示．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）求这个几何体侧面展开图的圆心角；
（3）求这个几何体的全面积；
【分析】（1）由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥；
（2）根据三视图知圆锥的底面圆的直径为4、母线长为6，再根据扇形的弧长公式可得答案．（3）该几何体的全面积包括侧面积与底面积之和
【解答】解：（1）由三视图可知，该几何体为圆锥；
（2）由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、母线为6，
则2π×2= 所以
（3）该几何体的全面积=S侧+S底=π×2×6+π×22=16π
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长、面积计算．
18．（2021秋•钢城区期末）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 200 人；
（2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 81° ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数；
（2）用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）这次活动共调查的人数为30÷15%＝200（人），故答案为：200；
（2）“支付宝”的人数为200﹣（200×30%+30+50+15）＝45（人），
所以表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝81°，故答案为：81°；
（3）将微信记为A，支付宝记为B，银行卡记为C，列表格如下：
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
共有9种等可能性的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种，
则P（两人恰好选择同一种支付方式）＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
19．（2022春•镇海区期末）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（请直接写出答案）
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S△AMN＝MN•|xA|＝3且xA＝1，即可求解；
（3）根据图形可知，当y2＝（m≠0）的图象在一次函数y1＝kx+b（k≠0）上方的部分对应的x的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵y2＝过点A（1，2），∴m＝1×2＝2，即反比例函数：y2＝，
当x＝﹣2时，a＝﹣1，即B（﹣2，﹣1），∵y1＝kx+b过A（1，2）和B（﹣2，﹣1），
则，解得，∴y1＝x+1；
（2）当x＝0时，代入y＝x+1中得，y＝1，即M（0，1），
∵S△AMN＝•MN•|xA|＝3且xA＝1，∴MN＝6，∴N（0，7）或（0，﹣5）；
（3）由图象可知，不等式kx+b﹣＜0的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算、数形结合思想等，有一定的综合性，难度不大．
20．（2022•苏州模拟）如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥AC弦于点F，且交⊙O于点E，若∠BEC＝∠ADO．
（1）判断直线AD和⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝5，AC＝4时，求AD的长．
【分析】（1）先证明∠FAO+∠AOF＝90°，再根据圆周角定理证明∠BAC＝∠ADO，即可推出∠ADO+∠AOF＝90°，由此得到∠DAO＝90°，即可证明结论；
（2）先利用垂径定理和勾股定理求出OE的长，再证明△AOF∽DOA，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）直线AD和⊙O相切．理由如下：∵OD⊥AC于点F，
∴∠AFO＝90°，在Rt△AOF中，∠FAO+∠AOF＝90°，
又∵∠BEC＝∠ADO，∠BEC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ADO，∴∠ADO+∠AOF＝90°，
∴∠DAO＝180°﹣（∠ADO+∠AOF）＝180°﹣90°＝90°，
∵OA为圆O半径，∴直线AD和⊙O相切．
（2）由垂径定理可知，，又∵OA＝AB＝2.5，由勾股定理可知，∵直线AD和⊙O相切，∴∠DAB＝90°＝∠AFO，
又∵∠AOD＝∠AOF，∴△AOF∽△DOA，∴即，∴AD＝．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理等等，熟知切线的判定以及相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
21．（2019•葫芦岛）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式．
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0，b为常数）将点（50，160），（80，100）代入得
解得∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+260
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000化简得：x2﹣180x+8000＝0
解得：x1＝80，x2＝100∵x≤50×（1+90%）＝95∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去）
答：销售单价为80元．
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得w＝（x﹣50）（﹣2x+260）
＝﹣2x2+360x﹣13000＝﹣2（x﹣90）2+3200∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下
∴w有最大值，当x＝90时，w最大值＝3200
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
【点评】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大．
22．（2020秋•富阳区期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．
（1）如图1，当点D移动到使CD⊥BE时，
①连结DE，求证：BD＝AE． ②求BD：BC的值．
（2）如图2，当点D到移动到使＝30°时，求证：AE2+CF2＝EF2．
【分析】（1）①利用垂径定理和等腰直角三角形性质即可解决问题；
②想办法证明AD＝BD即可解决问题．
（2）连接EM，DE，首先证明∠EMF＝90°，CF＝FM，EM＝AE，再利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）①证明：∵CD是⊙M的直径，CD⊥BE，∴＝，∠DEC＝90°，
∴BD＝ED，∠DEA＝90°，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝45°，
∴∠ADE＝45°＝∠A，∴AE＝ED，∴BD＝AE；
②解：由①知AE＝ED＝BD，∴AD＝＝BD，∴AB＝AD+BD＝（+1）BD，∴BC＝AB＝（+1）BD，∴BD：BC＝1：（+1）＝﹣1；
（2）证明：连接EM，DE，如图：
∵∠EMB＝2∠ECB，由（2）知∠ECB＝45°，∴∠EMB＝90°，∴∠EMF＝90°，
∴EM2+MF2＝EF2，∵＝30°，∴∠CMG＝30°，∴∠DME＝60°，
∵DM＝EM，∴△DME是等边三角形，∴DE＝EM，∠CDE＝60°，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝45°，∴∠ADE＝45°＝∠A，∴AE＝ED，∴AE＝EM，
∵∠DCE＝90°﹣∠CDE，∴∠DCE＝30°＝∠CMG，∴CF＝MF，∵EM2+MF2＝EF2，
∴AE2+CF2＝EF2．
【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
23．（2022秋•黄冈期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点D作DE∥y轴交BC于点E，利用三角形的面积公式即可求得结论；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点P在BC上方时，利用平行线的判定与性质可得点C，P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；②当点P在BC下方时，设PC交x轴于点H，设HB＝HC＝m，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得m值，则点H坐标可求；利用待定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），
∴，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
（2）如图，过点D作DE∥y轴交BC于点E，交x轴于点F，
∵B（8，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，设D（m，﹣m2+m+4），
则E（m，﹣m+4），∵D为抛物线上第一象限内一点，
∴DE＝DF﹣EF＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
∴△DCB面积＝8×DE＝4（﹣m2+2m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16，
∴当m＝4时，△DCB面积最大，最大值为16；
（3）①当点P在BC上方时，如图，
∵∠PCB＝∠ABC，∴PC∥AB，∴点C，P的纵坐标相等，∴点P的纵坐标为4，
令y＝4，则﹣x2+x+4＝4，解得：x＝0或x＝6，∴P（6，4）；
②当点P在BC下方时，如图，设PC交x轴于点H，∵∠PCB＝∠ABC，∴HC＝HB．
设HB＝HC＝m，∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2＝CH2，
∴42+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝5，∴OH＝3，∴H（3，0）．设直线PC的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴y＝﹣x+4，∴，
解得：，，∴P（，﹣）．
综上所述，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
2022-2023学年度上学期期末质量检测初四数学试题
一．选择题（共10小题，每题4分，满分40分）
1．在乡村振兴中，农村也装上了路灯，照亮了农民夜晚回家的路．某天夜晚，一棵树和王大伯在路灯照射下的影子如图所示，则路灯的位置为（ ）
A．a处 B．b处 C．c处 D．d处
2．下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x
B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x
D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
3．如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C，测得BC＝50米，∠ACB＝46°，则小河宽AB为多少米（ ）
A．50sin44° B．50cos46° C．50tan46° D．50tan44°
4．如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部（阴影）区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
7．已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则关于x的方程ax2﹣2x+b＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定
8．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②2a﹣b＝0；③m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数）；④点（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）是该抛物线上的点，且y1＜y3＜y2．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．2
10．如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的有（ ）
A.AE＝6cm
B.sin∠EBC＝
C.当0＜t≤10时，y＝t2
D.当t＝12s时，△PBQ是等腰三角形
二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．计算2sin45°+2cos30°+3tan60°的结果是 ．
12．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则n＝ ．
13．若点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上，则b的值为 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，直线DE是⊙O的切线，切点为D，交AC于E，若⊙O半径为1，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ．
15．设抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 ．
三．解答题（共8小题，16-19题每题10分；20-21题每题12分；22-23题每题13分；满分90分）
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．已知AB＝4，∠B＝25°，求∠A，BC和AC的值（参考数据sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466，结果精确到0.1）
17．一个几何体的三视图如图所示．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）求这个几何体侧面展开图的圆心角；
（3）求这个几何体的全面积；
18．随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 人；
（2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
19．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（请直接写出答案）
20．如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥AC弦于点F，且交⊙O于点E，若∠BEC＝∠ADO．
（1）判断直线AD和⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝5，AC＝4时，求AD的长．
21．某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式．
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
22．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．
（1）如图1，当点D移动到使CD⊥BE时，
①连结DE，求证：BD＝AE．
②求BD：BC的值．
（2）如图2，当点D到移动到使＝30°时，求证：AE2+CF2＝EF2．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．
2022-2023学年度上学期期末质量检测初四数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每题4分，满分40分）
1．（2021秋•乐平市校级月考）在乡村振兴中，农村也装上了路灯，照亮了农民夜晚回家的路．某天夜晚，一棵树和王大伯在路灯照射下的影子如图所示，则路灯的位置为（ ）
A．a处 B．b处 C．c处 D．d处
【分析】根据中心投影的定义，画出图形即可判断．
【解答】解：如图，观察图象可知，路灯的位置在b处．
故选：B．
【点评】本题考查中心投影，解题的关键是理解中心投影的定义，属于中考常考题型．
2．（2021秋•龙凤区期末）下列具有二次函数关系的是（ ）
A．正方形的周长y与边长x B．速度一定时，路程s与时间t
C．正方形的面积y与边长x D．三角形的高一定时，面积y与底边长x
【分析】根据题意，列出函数解析式就可以判定．
【解答】解：A、y＝4x，是一次函数，错误；B、s＝vt，v一定，是一次函数，错误；
C、y＝x2，是二次函数，正确；D、y＝hx，h一定，是一次函数，错误．故选：C．
【点评】本题考查二次函数的定义，掌握其定义是解决此题关键．
3．（2021秋•天长市月考）如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C，测得BC＝50米，∠ACB＝46°，则小河宽AB为多少米（ ）
A．50sin44° B．50cos46° C．50tan46° D．50tan44°
【分析】在直角三角形APC中根据∠BCA的正切函数可求小河宽PA的长度．
【解答】解：∵AB⊥PB，∴∠ABC＝90°，∵BC＝50米，∠BCA＝46°，∴tan46°＝，
∴小河宽AB＝BCtan∠BCA＝50•tan46°（米）．故选：C．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
4．（2008•徐州）如图，小明随意向水平放置的大正方形内部区域抛一个小豆子，则小豆子落在小正方形内部（阴影）区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】算出阴影部分的面积及大正方形的面积，这个比值就是所求的概率．
【解答】解：设小正方形的边长为1，则其面积为1．∵圆的直径正好是大正方形边长，
∴根据勾股定理，其小正方形对角线为，即圆的直径为，∴大正方形的边长为，
则大正方形的面积为×＝2，则小球停在小正方形内部（阴影）区域的概率为．
故选：C．
【点评】用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比；难点是得到两个正方形的边长的关系．
5．（2020•扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则sin∠ADC的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据圆周角定理的推论可知，∠ADC＝∠ABC，然后在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．
【解答】解：如图，连接AC、BC．∵∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，
∴根据圆周角定理的推论知，∠ADC＝∠ABC．在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，∵AC＝2，BC＝3，∴AB＝＝，∴sin∠ABC＝＝，∴sin∠ADC＝．故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理的推论，解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，解答本题的关键是利用圆周角定理的推论把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．
6．（2020•滨州）如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】根据双曲线上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S＝|k|即可判断．
【解答】解：延长BA交y轴于E，则BE⊥y轴，∵点A在双曲线y＝上，
∴四边形AEOD的面积为4，∵点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，
∴四边形BEOC的面积为12，∴矩形ABCD的面积为12﹣4＝8．故选：C．
【点评】本题主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
7．（2011秋•广水市校级月考）已知反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，则关于x的方程ax2﹣2x+b＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定
【分析】由反比例函数的增减性得到ab小于0，表示出方程根的判别式，判断根的判别式的正负即可得到方程解的情况．
【解答】解：∵反比例函数y＝，当x＞0时，y随x的增大而增大，∴ab＜0，
∴方程ax2﹣2x+b＝0中，Δ＝4﹣4ab＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：B．
【点评】此题考查了根的判别式，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．
8．（2021秋•张店区期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②2a﹣b＝0；③m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数）；④点（﹣，y1），（﹣，y2），（，y3）是该抛物线上的点，且y1＜y3＜y2．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由抛物线的图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac与0的关系，然后根据对称轴推理a、b关系，最后根据抛物线的递增情况，判断函数值的大小．
【解答】解：①图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，正确；
②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴2a﹣b＝0，正确；
③图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴x＝﹣1时，y＝a﹣b+c有最大值，对于任意实数m均有a﹣b+c≥am2+bm+c，即a﹣b≥m（am+b），正确；④∵（，y3）的对称点（﹣，y3），﹣＜﹣＜﹣，∴y1＜y3＜y2，正确；故选：A．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点坐标，会利用对称轴的值求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用，知识的综合应用是解题关键．
9．（2022•南京模拟）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．2
【分析】首先连接OQ，根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，可得当OP⊥AB时，即线段PQ最短，然后由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：连接OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∵OQ为定值，∴当OP的值最小时，PQ的值最小，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，∴AB＝OA＝8，∴OP＝＝4，
∴PQ＝＝2．故选：A．
【点评】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当PO⊥AB时，线段PQ最短是关键．
10．（2016春•江阴市校级月考）如图1，E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/s，若点P、Q同时开始运动，设运动时间为t（s），△BPQ的面积为y（cm2）．已知y与t的函数关系图象如图2，则下列结论错误的有（ ）
A.AE＝6cm
B.sin∠EBC＝
C.当0＜t≤10时，y＝t2
D.当t＝12s时，△PBQ是等腰三角形
【分析】根据图象可以得到BC和BE的长度，以及DE的长度，根据图2中y的值可以求得CD的长，从而可以得到AE的长，从而可以判断A；
作辅助线EF⊥BC于点F，由于EF＝CD的长，从而可以得到sin∠EBC的值，可以判断B；根据函数图象可以求得在0＜t≤10时，求得△BPQ底边BQ上的高，从而可以得到△BPQ的面积，从而可以判断C；根据题意可以分别求得在t＝12时，BQ、QP、PB的长，从而判断D．
【解答】解：由图象可知，BC＝BE＝10，DE＝14﹣10＝4，∴AD＝10，
∴AE＝AD﹣DE＝10﹣4＝6cm，故A正确；作EF⊥BC于点F，作PM⊥BQ于点M，如下图所示，由图象可知，三角形PBQ的最大面积为40，
∴，解得EF＝8，∴，故B正确；
当0＜t≤10时，△BMP∽△BFE，∴，即，解得PM＝，
∴＝，即，故C正确；
当t＝12时，BQ＝10，PQ＝，BP＝，∴△BPQ不是等腰三角形，故D错误；故选：D．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求问题需要的条件．
二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11．（2011秋•沙洋县期末）计算2sin45°+2cos30°+3tan60°的结果是 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：原式＝++＝．故答案为：．
【点评】此题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
12．（2021•福田区一模）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则n＝ 6 ．
【分析】根据黄球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．
【解答】解：根据题意得：＝，解得：n＝6，经检验n＝6是原方程的解，
故答案为：6．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
13．（2021•陕西）若点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上，则b的值为 ．
【分析】根据反比例函数的解析式可知xy＝k，然后根据题意即可求得b的值．
【解答】解：∵点A（a，3）、B（5a，b）在同一个反比例函数的图象上，
∴3a＝5ab，解得b＝，故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数中xy＝k．
14．（2021•黄岛区一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A，BC交⊙O于点D，直线DE是⊙O的切线，切点为D，交AC于E，若⊙O半径为1，BC＝4，则图中阴影部分的面积为 ﹣π ．
【分析】连接OD、OE、AD，AD交OE于F，如图，根据切线的性质得到∠BAC＝90°，利用余弦的定义可计算出∠B＝60°，则根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠AOD＝120°，于是可计算出BD＝1，AD＝，接着证明△ADE为等边三角形，求出OF＝，根据扇形的面积公式，利用S阴影部分＝S四边形OAED﹣S扇形AOD＝S△ADE+S△AOD﹣S扇形AOD进行计算．
【解答】解：连接OD、OE、AD，AD交OE于F，如图，∵AC是⊙O的切线，切点为A，∴AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，∵cosB＝＝＝，
∴∠B＝60°，∴∠AOD＝2∠B＝120°，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝30°，∴∠DAE＝60°在Rt△ADB中，BD＝AB＝1，∴AD＝BD＝，∵直线DE、EA都是⊙O的切线，∴EA＝ED，∴△ADE为等边三角形，而OA＝OD，∴OE垂直平分AD，在Rt△AOF中，OF＝OA＝，∴S阴影部分＝S四边形OAED﹣S扇形AOD
＝S△ADE+S△AOD﹣S扇形AOD
＝×（）2+××﹣＝﹣π．故答案为﹣π．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和扇形的面积计算．
15．（2014•杭州）设抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x＝2上，且点C到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为 y＝x2﹣x+2或y＝﹣x2+x+2 ．
【分析】根据点C的位置分情况确定出对称轴解析式，然后设出抛物线解析式，再把点A、B的坐标代入求解即可．
【解答】解：∵点C在直线x＝2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1或x＝3，当对称轴为直线x＝1时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+k，将A（0，2），B（4，3）代入解析式，则，解得，
所以，y＝（x﹣1）2+＝x2﹣x+2；当对称轴为直线x＝3时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣3）2+k，将A（0，2），B（4，3）代入解析式，则，解得，
所以，y＝﹣（x﹣3）2+＝﹣x2+x+2，综上所述，抛物线的函数解析式为y＝x2﹣x+2或y＝﹣x2+x+2．故答案为：y＝x2﹣x+2或y＝﹣x2+x+2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，难点在于分情况确定出对称轴解析式并讨论求解．
三．解答题（共8小题，16-19题每题10分；20-21题每题12分；22-23题每题13分；满分90分）
16．（2022秋•灞桥区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．已知AB＝4，∠B＝25°，求∠A，BC和AC的值（参考数据sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466，结果精确到0.1）
【分析】根据直角三角形的边角关系进行解答即可．
【解答】解：∵∠B＝25°，∠C＝90°，∴∠A＝90°﹣25°＝65°，∵sinB＝，
∴AC＝AB•sinB≈4×0.423＝1.692≈1.7，∵cosB＝，∴BC＝AB•cosB≈4×0.906＝3.623≈3.6，即：∠A＝65°，AC＝1.7，BC＝3.6．
【点评】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
17．一个几何体的三视图如图所示．
（1）写出这个几何体的名称；
（2）求这个几何体侧面展开图的圆心角；
（3）求这个几何体的全面积；
【分析】（1）由常见几何体的三视图可得该几何体为圆锥；
（2）根据三视图知圆锥的底面圆的直径为4、母线长为6，再根据扇形的弧长公式可得答案．（3）该几何体的全面积包括侧面积与底面积之和
【解答】解：（1）由三视图可知，该几何体为圆锥；
（2）由三视图数据知圆锥的底面圆的直径为4、母线为6，
则2π×2= 所以
（3）该几何体的全面积=S侧+S底=π×2×6+π×22=16π
【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握常见几何体的三视图及扇形的弧长、面积计算．
18．（2021秋•钢城区期末）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的支付方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共调查了 200 人；
（2）在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为 81° ；
（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”“支付宝”“银行卡”三种方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【分析】（1）用支付宝、现金及其他的人数和除以这三者的百分比之和可得总人数；
（2）用360°乘以“支付宝”人数所占比例即可得；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两人恰好选择同一种支付方式的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）这次活动共调查的人数为30÷15%＝200（人），故答案为：200；
（2）“支付宝”的人数为200﹣（200×30%+30+50+15）＝45（人），
所以表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为360°×＝81°，故答案为：81°；
（3）将微信记为A，支付宝记为B，银行卡记为C，列表格如下：
A
B
C
A
（A，A）
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，B）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
（C，C）
共有9种等可能性的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有3种，
则P（两人恰好选择同一种支付方式）＝．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
19．（2022春•镇海区期末）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数y2＝（m≠0）的图象交于点A（1，2）和B（﹣2，a），与y轴交于点M．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）在y轴上取一点N，当△AMN的面积为3时，求点N的坐标；
（3）求不等式kx+b﹣＜0的解集．（请直接写出答案）
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由S△AMN＝MN•|xA|＝3且xA＝1，即可求解；
（3）根据图形可知，当y2＝（m≠0）的图象在一次函数y1＝kx+b（k≠0）上方的部分对应的x的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵y2＝过点A（1，2），∴m＝1×2＝2，即反比例函数：y2＝，
当x＝﹣2时，a＝﹣1，即B（﹣2，﹣1），∵y1＝kx+b过A（1，2）和B（﹣2，﹣1），
则，解得，∴y1＝x+1；
（2）当x＝0时，代入y＝x+1中得，y＝1，即M（0，1），
∵S△AMN＝•MN•|xA|＝3且xA＝1，∴MN＝6，∴N（0，7）或（0，﹣5）；
（3）由图象可知，不等式kx+b﹣＜0的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算、数形结合思想等，有一定的综合性，难度不大．
20．（2022•苏州模拟）如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥AC弦于点F，且交⊙O于点E，若∠BEC＝∠ADO．
（1）判断直线AD和⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB＝5，AC＝4时，求AD的长．
【分析】（1）先证明∠FAO+∠AOF＝90°，再根据圆周角定理证明∠BAC＝∠ADO，即可推出∠ADO+∠AOF＝90°，由此得到∠DAO＝90°，即可证明结论；
（2）先利用垂径定理和勾股定理求出OE的长，再证明△AOF∽DOA，利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）直线AD和⊙O相切．理由如下：∵OD⊥AC于点F，
∴∠AFO＝90°，在Rt△AOF中，∠FAO+∠AOF＝90°，
又∵∠BEC＝∠ADO，∠BEC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ADO，∴∠ADO+∠AOF＝90°，
∴∠DAO＝180°﹣（∠ADO+∠AOF）＝180°﹣90°＝90°，
∵OA为圆O半径，∴直线AD和⊙O相切．
（2）由垂径定理可知，，又∵OA＝AB＝2.5，由勾股定理可知，∵直线AD和⊙O相切，∴∠DAB＝90°＝∠AFO，
又∵∠AOD＝∠AOF，∴△AOF∽△DOA，∴即，∴AD＝．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理等等，熟知切线的判定以及相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
21．（2019•葫芦岛）某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：
（1）根据图象，直接写出y与x的函数关系式．
（2）该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？
（3）销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）由待定系数法可得函数的解析式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0，b为常数）将点（50，160），（80，100）代入得
解得∴y与x的函数关系式为：y＝﹣2x+260
（2）由题意得：（x﹣50）（﹣2x+260）＝3000化简得：x2﹣180x+8000＝0
解得：x1＝80，x2＝100∵x≤50×（1+90%）＝95∴x2＝100＞95（不符合题意，舍去）
答：销售单价为80元．
（3）设每天获得的利润为w元，由题意得w＝（x﹣50）（﹣2x+260）
＝﹣2x2+360x﹣13000＝﹣2（x﹣90）2+3200∵a＝﹣2＜0，抛物线开口向下
∴w有最大值，当x＝90时，w最大值＝3200
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
【点评】本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等知识点，难度中等略大．
22．（2020秋•富阳区期中）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD，以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE．
（1）如图1，当点D移动到使CD⊥BE时，
①连结DE，求证：BD＝AE． ②求BD：BC的值．
（2）如图2，当点D到移动到使＝30°时，求证：AE2+CF2＝EF2．
【分析】（1）①利用垂径定理和等腰直角三角形性质即可解决问题；
②想办法证明AD＝BD即可解决问题．
（2）连接EM，DE，首先证明∠EMF＝90°，CF＝FM，EM＝AE，再利用勾股定理即可解决问题．
【解答】（1）①证明：∵CD是⊙M的直径，CD⊥BE，∴＝，∠DEC＝90°，
∴BD＝ED，∠DEA＝90°，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝45°，
∴∠ADE＝45°＝∠A，∴AE＝ED，∴BD＝AE；
②解：由①知AE＝ED＝BD，∴AD＝＝BD，∴AB＝AD+BD＝（+1）BD，∴BC＝AB＝（+1）BD，∴BD：BC＝1：（+1）＝﹣1；
（2）证明：连接EM，DE，如图：
∵∠EMB＝2∠ECB，由（2）知∠ECB＝45°，∴∠EMB＝90°，∴∠EMF＝90°，
∴EM2+MF2＝EF2，∵＝30°，∴∠CMG＝30°，∴∠DME＝60°，
∵DM＝EM，∴△DME是等边三角形，∴DE＝EM，∠CDE＝60°，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠A＝45°，∴∠ADE＝45°＝∠A，∴AE＝ED，∴AE＝EM，
∵∠DCE＝90°﹣∠CDE，∴∠DCE＝30°＝∠CMG，∴CF＝MF，∵EM2+MF2＝EF2，
∴AE2+CF2＝EF2．
【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
23．（2022秋•黄冈期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值；
（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）过点D作DE∥y轴交BC于点E，利用三角形的面积公式即可求得结论；
（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点P在BC上方时，利用平行线的判定与性质可得点C，P的纵坐标相等，利用抛物线的解析式即可求得结论；②当点P在BC下方时，设PC交x轴于点H，设HB＝HC＝m，利用等腰三角形的判定与性质和勾股定理求得m值，则点H坐标可求；利用待定系数法求得直线PC的解析式，与抛物线解析式联立即可求得点P坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），
∴，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；
（2）如图，过点D作DE∥y轴交BC于点E，交x轴于点F，
∵B（8，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，设D（m，﹣m2+m+4），
则E（m，﹣m+4），∵D为抛物线上第一象限内一点，
∴DE＝DF﹣EF＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，
∴△DCB面积＝8×DE＝4（﹣m2+2m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16，
∴当m＝4时，△DCB面积最大，最大值为16；
（3）①当点P在BC上方时，如图，
∵∠PCB＝∠ABC，∴PC∥AB，∴点C，P的纵坐标相等，∴点P的纵坐标为4，
令y＝4，则﹣x2+x+4＝4，解得：x＝0或x＝6，∴P（6，4）；
②当点P在BC下方时，如图，设PC交x轴于点H，∵∠PCB＝∠ABC，∴HC＝HB．
设HB＝HC＝m，∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2＝CH2，
∴42+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝5，∴OH＝3，∴H（3，0）．设直线PC的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴y＝﹣x+4，∴，
解得：，，∴P（，﹣）．
综上所述，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）．
【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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