高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理随堂练习题

【优编】1.1.2 空间向量基本定理作业练习

一．填空题

1．如图所示，在三棱锥中，，且，，分别是，的中点．则异面直线与所成角的余弦值为___________.

2．向量与之间的夹角的大小为__________.

3．空间向量, ,且，则__________．

4．已知 的二面角的棱上有 ， 两点，直线 ， 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 ，已知 ， ， ，则线段 的长为__________．

5．已知点，点，线段中点为，为坐标原点，则__．

6．如图，在棱长都相等的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知∠A1AB＝60°，则＝________；＝________；＝________.

7．如图，在三棱柱中，是的中点，，且，则__________．

8．已知空间中的三个顶点的坐标分别为，，，则BC边上的中线的长度为__________。

9．已知点，，C为线段AB的中点，则向量的坐标为______．

10．设向量a＝(1，－2,2)，b＝(－3，x,4)，已知a在b上的投影为1，则x＝________.

11．在四面体O-ABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若，则使G与M，N共线的x的值为________．

12．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，—3，1），点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是        。

13．在正方体中，若，则的值为__________。

14．在长方体中，，，，如图，建立空间直角坐标系，则该长方体的中心的坐标为_________．

15．如图所示，棱长为2的正方体OABCD′A′B′C′中，点M在B′C′上，且M为B′C′的中点，若以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，则点M的坐标为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】以S为原点，SA，SB，SC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线SM与BN所成角的余弦值．

【详解】

∵在三棱锥S﹣ABC中，SA＝SC＝2SB，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA，

M，N分别是AB，SC的中点．

∴以S为原点，SA，SB，SC为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设SA＝SC＝2SB＝2，

则S（0，0，0），N（0，0，1），A（2，0，0），B（0，1，0），M（1，，0），

（1，，0），（0，﹣1，1），

设异面直线SM与BN所成角为θ，

则cosθ．

∴异面直线SM与BN所成角的余弦值为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查向量法．异面直线所成角等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

2．【答案】120°

【解析】首先求得向量的数量积和向量的模，然后利用夹角公式即可求得向量的夹角.

【详解】

由题意可得：，，，

则.

故答案为：120°．

【点睛】

本题主要考查空间向量夹角的计算，空间向量数量积和向量的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

3．【答案】3

【解析】由已知条件得， ，解得.

所以，得.

故答案为：3.

4．【答案】

【解析】根据题意画图，由空间向量法得到

故答案为： .

5．【答案】

【解析】结合中点坐标，计算出M坐标，然后结合空间点距离公式，即可。

【详解】

计算出O点坐标为，故

【点睛】

本道题考查了中点坐标计算和空间点距离计算公式，较容易。

6．【答案】         

【解析】利用平行六面体的性质可得:，且方向相同；方向相反；，结合平行六面体的棱长都相等可得结果.

【详解】

在平行六面体中，，且方向相同，

，

，

，但方向相反，

，

，

故答案为 ， ，.

【点睛】

本题主要考查平行六面体的性质，向量的夹角以及平行向量的性质与应用，属于中档题. 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，平行向量也叫共线向量，对于一个向量，只要不改变它的大小与方向是可以平行移动.

7．【答案】

【解析】由题意可得，可用．．表示，可得．．的值，可得答案.

【详解】

解：由题意的：，

==

==,

故可得 ，=-1，=，

可得： .

故答案：.

【点睛】

本题主要考查空间向量的运算,解题的关键是要善于把握三棱柱的性质，把所求向量用基本向量表示..

8．【答案】

【解析】写出BC中点坐标E,进而得AE长度.

【详解】

设BC中点E,则

【点睛】

本题考查空间向量的坐标运算，两点间距离，是基础题.

9．【答案】

【解析】依题意，点，，C为线段AB的中点，所以C点坐标为，所以向量的坐标为.

【详解】

解：依题意，点，，C为线段AB的中点，所以C点坐标为，即，

所以向量的坐标为．

故填：．

【点睛】

本题考查了空间向量的中点坐标公式，空间向量的坐标．属于基础题．

10．【答案】0

【解析】由题得，再化简即得x＝0或x＝,检验舍去x＝即得解.

【详解】

∵a＝(1，－2,2)，b＝(－3，x,4)，a在b上的投影为1，

∴.

∴

∴，

∴x＝0或x＝.

又5－2x≥0，即x≤，

故将x＝舍去．

故答案为：0

【点睛】

本题主要考查向量的投影，意在考察学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.

11．【答案】1

【解析】由已知可得，，假设G与M共线，则存在实数使得，与比较可得.

【详解】

，，假设G与M共线，

则存在实数使得，

与比较可得：，

解得，故答案为1.

【点睛】

该题考查的是根据向量共线求解有关参数的取值范围问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有向量基本定理，有关向量共线与向量相等的条件，属于中高档题目.

12．【答案】（0，—1，0）

【解析】设，由，可得，故.

考点：用空间向量求直线间的夹角．距离

点评：本题考查空间两点间的距离公式，空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较记忆，利于知识的系统化，属基础题．

13．【答案】0

【解析】由向量的减法运算可得解.

【详解】

由题意可知.

又，所以.

所以.

故答案为：0.

【点睛】

本题主要考查了空间向量的运算，属于基础题.

14．【答案】

【解析】先求出点B的坐标，再求出M的坐标.

【详解】

由题得B(4,6,0),,

因为M点是中点，

所以点M坐标为.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查空间坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

15．【答案】

【解析】由图形可知，M点在正方体的上底面上，M点的纵标同B′的纵标相同，M在面BCC′B′上，得到点的竖标为2，根据M点在棱上的位置，写出M点的横标．

【详解】

设M（x，y，z），由图形可知,M点在正方体的上底面上,

所以M点在z轴上对应的值同B'在z轴上对应的值相同, 即z=2，

又M在面BCC'B'上,

所以y=2,

因为 C'M=MB',

所以x=1，

所以点M的坐标为（1,2,2）.

故答案为:（1,2,2）.

【点睛】

本题考查空间中点的坐标，是一个基础题，解题时借助于点在正方体的一条棱上，写出横标，纵标和竖标，注意各个坐标的符号．