人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程练习题

【精挑】2.6.1 双曲线的标准方程练习

一．填空题

1．双曲线的渐近线方程为等于____________．

2．已知双曲线，以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，过双曲线的右焦点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为___________．

3．已知双曲线离心率，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为_______.

4．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为7，则点到另一个焦点的距离等于__.

5．已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为_________.

6．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当FB⊥AB时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e等于________．

7．若双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，则该双曲线的标准方程为________．

8．已知双曲线上的点P到点的距离为9，则点P到点的距离为______．

9．过双曲线的右焦点作直线，使垂直于x轴且交C于M．N两点，双曲线C虚轴的一个端点为A，若是锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围___________．

10．若双曲线的离心率为，则直线的倾斜角为_______．

11．以下四个关于圆锥曲线的命题：

①设．是两个定点，为非零常数，若，则的轨迹是双曲线；

②过定圆上一定点作圆的弦，为原点，若，则动点的轨迹是椭圆；

③方程的两根可以分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线与椭圆有相同的焦点.

其中正确命题的序号为__________

12．已知，，在中，，则顶点的轨迹方程为__________________.

13．已知双曲线C：的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若，则C的离心率为__________.

14．已知双曲线：（，），，过点的直线交于，两点，为的中点，且直线与的一条渐近线垂直，则的离心率为________．

15．已知双曲线的一条渐近线过圆的圆心，则双曲线的渐近线方程为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：根据双曲线的方程，求得的值，进而求得双曲线的渐近线的方程.

详解：由题意，双曲线的焦点在上，且，

所以双曲线的渐近线的方程为.

故答案为：.

2．【答案】

【解析】分析：方法一：根据以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，由，求得ab，根据，得到，进而得到，利用渐近线的斜率求解;方法二：因为以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，由，求得ab，，再根据，得到求解.

详解：方法一：因为以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，

所以，

所以．

设为坐标原点，不妨设点在第一象限，易知，

因为，

所以，

所以，

所以，化简可得，

所以，

解得，

所以双曲线的标准方程为，

方法二：因为以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形的面积为，

所以，

所以．设为坐标原点，双曲线的左焦点为，

因为，所以，

所以，

所以，解得，

所以双曲线的标准方程为，

故答案为：．

【点睛】

关键点点睛：本题关键是由条件得到其中一条渐近线是线段FB的中垂线，进而得到渐近线的倾斜角或倾斜角的关系而得解.

3．【答案】

【解析】分析：由抛物线的方程求得其焦点，由已知求得双曲线的，由此得出双曲线的方程，可得选项.

详解：设双曲线的半焦距为，由抛物线的焦点坐标为，得.

又因为双曲线的离心率，所以，又由，可得，所以双曲线的方程为.

故答案为：.

4．【答案】15

【解析】分析：先利用双曲线方程求，，，设，运用双曲线的定义，求得，得到结果.

详解：解：双曲线的，，，

设左右焦点为，，

则由双曲线的定义，得，

可设，则有或（舍去）.

故答案为：15.

5．【答案】

【解析】分析：根据题中条件，得出，求出，即可得出双曲线方程.

详解：由题意可得：，，则实轴长为：，虚轴长为；

因为虚轴长是实轴长的2倍，所以，解得：，

代入可得双曲线方程为.

故答案为：.

6．【答案】

【解析】类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为 (a＞0，b＞0)，

则F(－c，0)，B(0，b)，A(a，0)，

所以＝(c，b)，＝(－a，b)．

易知⊥，所以·＝b2－ac＝0，

所以c2－a2－ac＝0，即e2－e－1＝0，

又e＞1，所以e＝.

7．【答案】

【解析】分析：由e＝，可得：a＝b，设方程为，带入点(4，－)，即可得解.

详解：依题意，e＝，，可得：a＝b，

设方程为，

带入点(4，－)，

则，解得m＝6.

∴

故答案为：.

8．【答案】17

【解析】分析：根据双曲线的定义计算，注意点的位置．

详解：易知点是双曲线的右焦点，是双曲线的左焦点，又，

而点P到点的距离为9，，因此在右支上．

因此点P到点的距离为．

故答案为：17.

9．【答案】

【解析】由题意知：，，不妨假设，∵是锐角三角形，∴，即，且，∴，整理得，解得，故答案为：

10．【答案】

【解析】∵双曲线的离心率为，

∴，

∴，

∴直线的倾斜角为.

故答案为：

11．【答案】③④

【解析】分析：根据双曲线的定义可判断①的正误；推出点是的中点，利用垂径定理和圆的定义可判断②的正误；求出方程的两根，结合椭圆．双曲线离心率的取值范围可判断③的正误；求出双曲线与椭圆的焦点坐标，可判断④的正误.

详解：①不正确，若动点的轨迹为双曲线，则，

当点在的延长线上时，显然这种曲线是射线，而非双曲线；

②不正确，，，则是的中点，

根据垂径定理，圆心与弦的中点连线垂直于这条弦，

设圆心为，那么有，即恒为直角，

由于是圆的半径，为定值，而恒为直角，

也就是说，在以为直径的圆上运动，为直径所对的圆周角，

所以点的轨迹是一个圆；

③正确，方程的两根分别为和，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④正确，双曲线与椭圆的焦点坐标都是.

故答案为：③④.

【点睛】

方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：

（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；

（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；

（3）相关点法：用动点的坐标．表示相关点的坐标．，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；

（4）参数法：当动点坐标．之间的直接关系难以找到时，往往先寻找．与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；

（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.

12．【答案】，

【解析】分析：先设顶点，由正弦定理，得到，推出，根据双曲线的定义，即可得出结果.

详解：因为，，所以，

设顶点，

由，根据正弦定理可得，

即，

由双曲线的定义，可得点的轨迹是以，为焦点，以为长轴长的双曲线的右支，且点不在轴上，

所以，，则，

因此顶点的轨迹方程为，.

故答案为：，.

【点睛】

关键点点睛：

求解本题的关键在于根据得到，利用双曲线的定义，进行求解.（也可利用求曲线轨迹方程的步骤，列出等量关系，化简整理，得出轨迹方程.）

13．【答案】

【解析】分析：由题意，得到双曲线的其中一条渐近线的方程为， 进而得到过点与垂直的直线方程为，联立方程组，求得点的坐标，结合，列出方程，进而得到，即可求解.

详解：如图所示，双曲线可得右焦点，

其中一条渐近线的方程为，

则过点与垂直的直线方程为，

联立方程组，解得，即

在中，因为，可得，整理得，

即，所以，整理得，

即，解得或（舍去），

故双曲线的离心率为.

【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．

14．【答案】

【解析】设点，，代入双曲线的方程得，，两式相减得，即，所以．因为，直线与的一条渐近线垂直，所以，则，所以，所以双曲线的离心率．

15．【答案】

【解析】分析：根据圆的一般方程求解圆心坐标，根据双曲线渐近线方程求解即可.

详解：依题意，圆的圆心为，

故过点，则，

故双曲线的渐近线方程为．

故答案为：．