初中数学浙教版九年级下册2.2 切线长定理完美版ppt课件

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一、创设情景，引出课题

复习回顾

(1)和圆有唯一公共点的直线叫            .

(2)圆的切线             过切点的半径.

2.创设情景：

请看这是什么玩具？这是大家非常喜爱的一种玩具。可是，大家在玩时是否想到过它的转动过程中还包含着数学知识呢？是什么知识呢？我们来看一下在转动的一瞬间的剖面，从中你能抽象出什么样的数学图形？（空竹的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线绳可抽象成线段。）           

这些图形位置关系怎样？

思考：P是⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O 于A、B两点，比较PA、PB两条线段的长短,你能发现什么?

 （一）、切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长.

1、板书定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.

2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句。（线段的长叫做切线长）

（2）定义中的“线段”具有什么特征？

① 在圆的切线上；②两个端点一个是切点，一个是圆外已知点。

3、辨别：切线是直线，不可以度量；切线长是指切线上的一条线段的长，可以度量,通过测量我们发现PA=PB吗？

4.请证明你所发现的结论.

（二）、切线长定理：

1：从⊙O外一点P引⊙O的两条切线，切点分别为A、B，那么线段PA和PB之间有何关系？

 探索步骤：

（1）根据条件画出图形；

（2）度量线段PA和PB的长度；

（3）猜想：线段PA和PB之间的关系；

（4）寻找证明猜想的途径；

（5）在图中还能得出哪些结论？并把它们归类.

（6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长的性质？请说明理由.

概括、叙述切线长定理应当使学生正确理解切线长的含义．切线是直线，没有长度之说，这里说的切线长的定义是为了表述方便予以特别约定的，是指两条切线上圆外交点到两个切点之间的线段长，也可以看作“圆外一点到切点之间的距离”．

证明：如图，连结AO，BO，PO．

∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，

∴AO⊥PA，BO⊥PB．

而AO＝BO，PO＝PO，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP．

∴PA＝PB．

讲解切线长定理的证明可以作一下启发：

（1）如果我们想尝试通过三角形的全等来证明PA＝PB，那么应当怎样添加辅助线？

（2）在△OAP与△OBP中，∠A和∠B是什么角？根据什么？△OAP与△OBP全等吗？根据什么？

讲解是有以下几个问题值得注意：

（1）关于探索过程中的作切线，凭目测作切线是可行的，如果有学生不会做，教师可以适当示范．

（2）目测作图难免有误差，对探究点P到两个切点之间的线段长之间的关系有影响．除度量方法外，还可以启发学生用推理的方法，判断两条切线长的关系，连接OB，OA，OB，判断两个直角三角形是否全等，这也相当于下面定理证明的一个分析过程．

（3）对学有余力的学生也可以介绍一下尺规作图．

思考

自议

利用圆的对称性探索切线长定理；

(1)圆的切线垂直于过切点的半径．(2)注意切线长定理、勾股定理以与解直角三角形的综合运用．

讲授新课

二、提炼概念

从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长．

关于圆的切线，有下面的定理：

切线长定理过圆外一点所作的圆的两条切线长相等．

三、典例精讲

【例1】如图，点O是所在圆的圆心，AC，BC分别与⊙O相切于点A，B．已知∠ACB＝80°，OC＝100cm．求点C到⊙O的切线长（结果精确到1cm）．

解：如图，连结OA，OB．

∵AB，BC（过圆外一点所作的圆的两条切线长相等），
∴△OAC≌△OBC．
∴∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×80°＝40°．
在Rt△OAC中，∠OAC＝90°．
∴＝cos40°，
∴AC＝OC×cos40°＝100×cos40°≈77（cm）．
答：点C到⊙O的切线长约为77cm．

从切线长定理的证明过程中，我们可以发现另一些有较多应用的相关结果，如∠APO＝∠BPO，OP垂直平分弦AB，∠APB＋∠AOB＝180°等，此例的目的是巩固切线长的概念，并让学生熟悉上述相关结果．讲解时可以按以下步骤进行启发：

（1）从切线长定理的证明过程，你还能发现课本中还有哪些与本题求解有关的图形关系，比如OC与∠ACB有什么关系？根据什么？

（2）已知OC＝100m，∠ACB＝80°，你会选哪一个直角三角形求解点C到⊙O的切线长AC？cos∠ACO是哪两个线段的比？由此怎样求出AC？

【例2】如图，⊙O表示皮带传动装置的一个轮子，传动皮带MA，NB分别切⊙O于点A，B．延长MA，NB，相交于点P．已知∠APB＝60°，AP＝24cm，求两切点间的距离和的长（精确到1cm）．

解：如图，连结AB，OA，OB，OP．

∵MP，NP分别切⊙O于点A，B，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，AP＝BP．
又∵∠ABP＝60°，
∴△ABP为等边三角形．
∴AB＝AP＝24cm．
∵OA＝OB，
∴OP平分∠APB，
∴∠OPA＝30°，
∴OA＝AP×tan×30°＝24×＝8（cm）．
而∠AOB＝360°－2×90°－60°＝120°，
∴＝＝≈29（cm）．
答：两切点间的距离为24cm，AB的长约为29cm．

讲解时可按以下步骤进行启发：

（1）根据所求和与之引导学生连接AB，OA，OP，强调圆心与切点的连线是常用的辅助线．

（2）从已知PM，PN，分别与⊙O，相切于点A，B，可得到什么？根据什么？

（3）由∠APB＝60°，你能得到什么？由此能求出AB的长吗？怎么求？

（4）要求弧AB的长，先要求出什么？圆心角∠AOB等于多少度？为什么？求半径OA（或OB），可以通过解怎样的直角三角形得到？还需添怎样的辅助线？

 (1)从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；(2)圆的切线垂直于过切点的半径．

构造基本图形：在解决有关的切线长问题时，往往需要构造基本图形．(1)分别连结圆心和切点；(2)连结两切点；(3)连结圆心和两切线的交点.

课堂检测

四、巩固训练

              .
1.把直尺、三角尺和圆形螺母桉如图所示放置于桌面上，∠CAB= 60°，若量出AD=6cm，则圆形螺母的外直径是（ ）

A．12cm B．24cm C．6 cm  D．12cm

1.D.

2　如图，PA，PB，EF分别切⊙O于A，B，D，若PA＝10 cm，

求(1)△PEF的周长；

(2)若∠P＝35°，求∠AOB与∠EOF的度数．

解：(1)∵PA，PB，EF分别切⊙O于A，B，D，

∴PA＝PB＝10 cm，ED＝EA，FD＝FB，

∴PE＋EF＋PF＝PE＋ED＋PF＋FD＝PA＋PB＝20(cm)；

(2)∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90°，而∠P＝35°，∴∠AOB＝360°－90°－90°－35°＝145°；

连结OD，如图，则∠ODE＝∠ODF＝90°，

易证得Rt△OAE≌Rt△ODE，Rt△OFD≌Rt△OFB，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴∠2＋∠3＝∠AOB＝72.5°，

∠EOF＝72.5°.

3.如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于 C，BE∥CO,

(1)求证:BC是∠ABE的平分线

(2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求CE的长

（1）证明：∵ DE是切线，

    ∴OCDE,

   ∵BE∥CO,

    ∴∠OCB=∠CBE，

    ∵OC=OB,

    ∴∠OCB=∠CBE，

    ∵OC=OB,

    ∴∠OCB=∠OBC,

    ∴∠CBE=∠CBO,

    ∴BC平分∠ABE

课堂小结

1. 切线长

在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长

２．切线长定理  从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等.