广东省揭阳市普通高中2023届高三上学期期末数学试题 Word版含解析

这是一份广东省揭阳市普通高中2023届高三上学期期末数学试题 Word版含解析，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
揭阳市2023年普通高中高三级教学质量测试
数学
本试题共4页，考试时间120分钟，总分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．或
2．已知，是关于x的方程的两个根．若，则（ ）
A． B．1 C． D．2
3．已知，为单位向量，向量满足．若与的夹角为60°，则（ ）
A． B． C． D．3
4．已知，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．一个圆锥的轴截面是等边三角形，且该圆锥内部最大的球的表面积为4π．若该圆锥的轴截面的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B．8π C． D．16π
6．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知甲、乙两个家庭排成一列测核酸，甲家庭是一对夫妻带1个小孩，乙家庭是一对夫妻带2个小孩．现要求2位父亲位于队伍的两端，3个小孩要排在一起，则不同的排队方式的种数为（ ）
A．288 B．144 C．72 D．36
8．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，P是圆弧上的动点，且，Q是线段BC上的动点．当点P固定时，点Q将运动到使取到最小值时的位置；当点Q固定时，点P将运动到使取到最大值时的位置．当某一时刻，点P，Q都不再运动，且满足上述条件时，则（ ）

A． B． C．2 D．不存在
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．点D到平面的距离为
D．与平面所成角的正弦值为
10．2022年前三个季度全国居民人均可支配收入27650元，比2021年同期增长了约5.3%，图①为2021年与2022年前三季度全国及分城乡居民人均可支配收入的对比图；图②为2022年前三季度全国居民人均消费支出及构成（其中全国居民人均可支配收入=城镇居民人均可支配收入×城镇人口比重+农村居民人均可支配收入×农村人口比重），则下列说法正确的是（ ）

A．2022年前三个季度全国居民可支配收人的中位数一定高于2021年同期全国居民可支配收入的中位数
B．2022年城镇居民人数多于农村居民人数
C．2022年前三个季度全国居民在食品烟酒以及居住方面的人均消费超过了总消费的50%
D．2022年前三个季度全国居民在教育文化娱乐方面的人均消费支出超过了3700元
11．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，且C的一条渐近线经过点，直线与C的另一条渐近线在第四象限交于点A，则下列结论正确的是（ ）
A．C的离心率为2
B．若，则C的方程为
C．若，则（O为坐标原点）的面积为
D．若，则C的焦距为
12．已知函数，且存在唯一的整数，使得，则实数a的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．记等差数列的前n项和为，已知，，则的通项公式为______．
14．已知函数满足①；②在定义域内单调递增．请写出一个符合条件①②的函数的表达式______．
15．如图，一台发电机产生的电流是正弦式电流，即电压U（单位：V）和时间t（单位：s）满足．在一个周期内，电压的绝对值超过的时间为______．（答案用分数表示）．

16．已知椭圆E：，F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B．若直线AB的斜率为，的面积为，则E的标准方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知数列满足，是以1为首项，2为公比的等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18．（12分）
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，点D为BC边的中点．
（1）求A；
（2）若，，求的面积．
19．（12分）
如图①，在中，，，，D，E分别是边AB，AC的中点，现将沿着DE折起，使点A到达点P的位置，并连接PB，PC，得到四棱锥，如图②，设平面平面．
（1）证明：平面PBD；
（2）若点B到平面PDE的距离为，求平面PEC与平面PBD夹角的余弦值．

20．（12分）
《夺冠》这部影片讲述的是中国女排从1981年首夺世界冠军到2016年里约奥运会生死攸关的中巴大战，诠释了几代女排人历经浮沉却始终不屈不挠、不断拼搏的传奇经历．现代排球赛为5局3胜制，每局25分，决胜局15分．前4局比赛中，一队只有赢得至少25分，并领先对方2分时，才胜1局．在第5局比赛中先获得15分并领先对方2分的一方获胜．在一个回合中，赢的球队获得1分，输的球队不得分，且下一回合的发球权属于获胜方．经过统计，甲、乙两支球队在每一个回合中输赢的情况如下：当甲队拥有发球权时，甲队获胜的概率为；当乙队拥有发球权时，甲队获胜的概率为．
（1）假设在第1局比赛开始之初，甲队拥有发球权，求甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率；
（2）当两支球队比拼到第5局时，两支球队至少要进行15个回合，设甲队在第i个回合拥有发球权的概率为．假设在第5局由乙队先开球，求在第15个回合中甲队开球的概率，并判断在此回合中甲、乙两队开球的概率的大小．
21．（12分）
已知F是抛物线E：的焦点，过点F的直线l与E交于A，B两点．当轴时，（O为坐标原点）的面积为2．
（1）求E的方程；
（2）设过点F的直线与E交于C，D两点，且．当时，求直线l的方程．
22．（12分）
已知函数．
（1）讨论的零点个数；
（2）当有两个零点时，分别设为，，试判断与2的大小关系，并证明．
揭阳市2023年普通高中高三级教学质量测试
答案及评分标准（参考）数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
B
D
D
B
C
A
1．【参考答案】B
【试题分析】由，得或．又，所以，故答案选B．
2．【参考答案】C
【试题分析】法一：由，是关于x的方程的两个根，得，
所以，所以，故答案选C．
法二：由，是关于x的方程的两个根，得，
所以，所以，故答案选C．
3．【参考答案】B
【试题分析】由，得，
所以，所以，故答案选B．
4．【参考答案】D
【试题分析】由，得，故选项A不一定成立，由于函数在R上单调递减，故选项BC错误；由于幂函数在R上单调递增，故选项D正确，故答案选D．
5．【参考答案】D
【试题分析】设该圆锥内切球的半径为r，则，所以．因为该圆锥的轴截面是等边三角形，所以其内切球和外接球的球心是同一个点，即该等边三角形的中心，则球O的半径为该等边三角形外接圆的半径．设球O的半径为R，则，所以球O的表面积为，故答案选D．
6．【参考答案】B
【试题分析】因为，所以，则，
所以，
所以，故答案选B．
7．【参考答案】C
【试题分析】2位父亲的排队方式种数为，2位母亲的排队方式种数为，3个小孩的排队方式种数为，将3个小孩当成一个整体，放进父母的中间共有种排队方式，所以不同的排队方式种数为，故答案选C．
8．【参考答案】A
【试题分析】根据题意可知，，可得圆弧的圆心为如图①所示的点O，且该圆的半径．过点P作BC的垂线，垂足为，此时点Q将会运动到点的位置．连接并延长，与圆弧交于点，此时点P将会运动到点．当点P，Q位于如图②所示的位置时，即过点O作BC的垂线，垂足即为Q的位置，与圆弧的交点即为P的位置，点P，Q都不再进行运动，此时点O到AD的距离为，，故，故答案选A．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9
10
11
12
ABC
BC
ABD
AC
9．【参考答案】ABC
【试题分析】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图所示．设正方体的棱长为1，连接BD，交AC于O，连接，则，，，，，，，，所以，，
，，．由，得．又平面，平面，所以平面，故选项A正确；
因为，所以．又，所以．
因为，，平面，所以平面，故选项B正确；
易知是平面的一个法向量，所以点D到平面的距离为．又，所以点D到平面的距离为，故选项C正确，
与平面所成角的正弦值为，故选项D错误，故答案选ABC．

10．【参考答案】BC
【试题分析】对于选项A，图中信息体现的是平均数的差别，没有提供中位数的信息，不能作出判断，故选项A错误；对于选项B，设2022年城镇居民占全国居民的比重为x，则有，解得，故选项B正确；2022年前三个季度全国居民在食品烟酒以及居住方面的人均消费支出占总消费的比例分别为30%，24%，故选项C正确；2022年前三个季度全国居民在教育文化娱乐方面的人均消费支出为（元），且，故选项D错误，故答案选BC．
11．【参考答案】ABD
【试题分析】双曲线C的渐近线方程为，因为C的一条渐近线经过点，所以，即，所以，所以，故选项A正确；
因为，所以点P在圆上，所以．又离心率，所以，则，所以C的方程为，故选项B正确；
的面积为，故选项C错误；
设，，由，得，所以，，代入渐近线方程，得，解得，所以C的焦距为，故选项D正确，故答案选ABD．
12．【参考答案】AC
【试题分析】令，得．令，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减．
如图，分别作出函数与的图象，其中直线恒过定点．由图可知，，，，故实数a的取值范围是，其中，，故答案选AC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14．（答案不唯一）
15．s 16．
13．【参考答案】
【试题分析】设的公差为d，由，，解得，，所以．
14．【参考答案】（答案不唯一）
【试题分析】略．
15．【参考答案】s
【试题分析】由题意得．
在区间内，令，可得，；
令，可得，．
综上，电压的绝对值超过的时间为（s）．
16．【参考答案】
【试题分析】设O为坐标原点，直线AB交x轴于点C．
因为直线AB的斜率为，即，所以，．
因为，所以，，则，故直线AB的方程为．
解方程组，得，或，
所以，所以，
则，得．
又，所以，所以，故E的标准方程为．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）由题意得，（1分）
法一：因为，即，（3分）
所以是常数列，（4分）
所以，故．（5分）
法二：当时，，，，，
等式两边分别相加，得（2分）
，（4分）
所以．
当时，也符合上式，故．（5分）
（2）因为（6分）
，（8分）
所以（9分）
（10分）
18．解：（1）由及正弦定理，得．（1分）
由，得．（2分）
所以．（3分）
因为，所以，则．（4分）
又，所以．（6分）
（2）因为点D为BC边的中点，所以，（8分）
两边平方，得，
所以，即．（9分）
又由余弦定理，
得，即，（10分）
所以的面积．（12分）
19．（1）证明：因为，所以．
因为D，E分别是边AB，AC的中点，
所以，所以，．（1分）
又BD，平面PBD，，（2分）
所以平面PBD．（3分）
因为，平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC．（4分）
又平面PDE，平面平面，
所以，所以平面PBD．（5分）
（2）解：如图，过点B作，垂足为F．
由（1）知平面平面PBD，又平面平面，所以平面PDE，
所以点B到平面PDE的距离即为BF的长，即．（6分）
在中，，所以．
又，所以是边长为2的等边三角形．
取BD的中点O，连接OP，则，．（7分）
由（1）知，平面PBD，又平面PBD，所以．
又，BD，平面BCED，
所以平面BCED．（8分）
以D为坐标原点，DB，DE所在直线分别为x轴、y轴，且以过点D与OP平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，．（9分）
设平面PEC的法向量为，则．
令，得，，
所以是平面PEC的一个法向量．（10分）
又是平面PBD的一个法向量，
所以，（11分）
所以平面PEC与平面PBD夹角的余弦值为．（12分）

20．解：（1）在前3个回合中甲队恰好获得2分对应的胜负情况如下：
胜胜负；胜负胜；负胜胜，共3种情况，（1分）
对应的概率分别为；（2分）
；（3分）
，（4分）
所以甲队在前3个回合中恰好获得2分的概率．（5分）
（2）根据全概率公式得，（7分）
即．（8分）
易知，所以是以为首项，为公比的等比数列，（9分）
所以，故．（10分）
因为，所以．（11分）
而在每一个回合中，甲、乙两队开球的概率之和为1，从而可得在此回合中甲队开球的概率大于乙队开球的概率．（12分）
21．解：（1）当轴时，AB为抛物线E的通径，此时．（1分）
易知，所以OF是的高，
所以的面积，（3分）
解得，所以E的方程为．（4分）
（2）由题意可设直线l的方程为，，，（5分）
联立，得，，
则，．（6分）
根据抛物线的定义，得，，
所以，（7分）
整理得．
设直线的方程为，同理可得．（8分）
因为，所以，
解得（舍去）或，即，（9分）
所以，（10分）
同理可得．（11分）
当时，即，解得，
所以直线l的方程为或．（12分）
22．解：（1）
，（1分）
因为，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以．（3分）
因为当时，；当时，．
所以当，即时，的零点个数为0；
当，即时，的零点个数为1；
当，即时，根据零点存在定理可得的零点个数为2．（5分）
（2）．证明如下：
由（1）可知，当时，函数有两个零点，且．（6分）
令，，
则，（8分）
当时，，所以在区间上单调递增，
所以，（9分）
所以．（10分）
因为，所以．
由（1）知在区间上单调递增，则，（11分）
故．（12分）