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2023年 九年级数学中考复习 二次函数综合压轴题 专项复习训练题
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2023年春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》专项复习训练题（附答案）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，在y轴上存在点Q，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
2． 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点Q在抛物线上且位于线段BC下方的一个动点（不与点B，C重合），求当△BCQ面积的最大时，点Q的坐标
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的三个顶点B（2，0），C（4，0），D（4，﹣4），抛物线y＝ax2+bx经过A，C两点．动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）求点A的坐标及抛物线的函数表达式；
（2）过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG的长有最大值？最大值是多少？
（3）连接EQ，是否存在t的值使△ECQ为等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+（a≠0）经过点A（3，2）和点B（4，﹣），且与y轴交于点C．
（1）分别求抛物线和直线BC的解析式；
（2）在x轴上有一动点G，抛物线上有一动点H，是否存在以O，A，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值．
5．如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（2cos60°，﹣sin45°）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠AOB的值；
（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND＝∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，求点M的坐标．
6．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴于y轴分别交于点B和点C，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过B，C两点，并与x轴交于点A，点M（m，0）是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC相交于点D和点E，连接CD．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求m的值．
7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设三角形APC的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
8．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0），（0＜m＜4）过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值．
（3）如图2，D（4，6）为抛物线y＝bx2上一点，过E（0，﹣6）点作一直线交抛物线于点P，Q，直线DP，DQ与y轴分别交于点M（0，m），N（0，n），直接写出m与n之间的关系式．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（1，0），点C（0，3），且BC＝5．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点D的坐标为（﹣，0），试判断△DCB的形状，并说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．抛物线y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．
（1）如图1，当t＝0时，连接AC、BC．求△ABC的面积；
（2）在（1）的条件下，P（﹣7，0）为x轴上一点，在抛物线第四象限的图象上有一点G，连PG交线段AC于点D，当tan∠PDA＝，求出点G的坐标；
（3）如图2，当﹣1＜t＜3时，若Q是抛物线上A、C之间的一点（不与A、C重合），直线QA、QB分别交y轴于D、E两点．在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得2CE＝3CD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线D交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA＝．
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）若抛物线上存在一个点P，使得∠PDB＝∠ABD，请求出P点的坐标；
（3）已知点M的坐标（﹣2，0），过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标，若不存在，请说明理由．
12．已知矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线y＝﹣x+与边BC相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A、D两点，试确定此抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交于点M，点P在对称轴上，且△PAM与△ABD相似，求点P的坐标．
13．在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣x2+4ax﹣4a﹣1（x≥a，a为常数）的图象记为G，图象G与直线x＝a的交点坐标为P（a，y0）．
（1）若点（0，1）在图象G上，求a的值．
（2）求y0的最小值．
（3）当直线y＝2a﹣1的图象与函数y＝﹣x2+4ax﹣4a﹣1（x≥a，a为常数）的图象只有一个公共点时，求a的取值范围．
（4）若a＞0，点A在图象G上，且点A的横坐标为a+1，点A关于x轴的对称点为点B．当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在y轴上，当图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，直接写出a的取值范围．
14．如图，抛物线y＝﹣x2﹣bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），D是抛物线上一点，连接AD交线段BC于点E，若AE＝3DE，求点D的坐标；
（3）如图（2），平行于BC的直线MN交抛物线于M，N两点，作直线MC，NB的交点P，求点P的横坐标．
15．综合与探究
如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（﹣4，0），点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，抛物线的对称轴为直线x＝﹣，对称轴交x轴于点E，连接AC，BC，点P是线段AC上一动点，PQ∥AB交BC于点Q，交y轴于点F，连OQ．
（1）求抛物线的表达式并直接写出直线BC和直线AC的函数表达式；
（2）当四边形APQO是平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）设点P的纵坐标为m，在点P的运动过程中，是否存在△OPQ是直角三角形，若存在请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D，将该抛物线沿直线l：y＝m（0≤m＜）折叠后得到抛物线C2，折痕与抛物线C1，交于点G，H两点．
（1）求抛物线C1的函数袤达式；
（2）如图2，当m＝0时，动点M，N在抛物线C1上，且位于直线l上方（点M在点N的左侧），过M，N分别作y轴的平行线交抛物线C2于点P，Q两点，当四边形MNPQ为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）①求当抛物线C2与直线BC恰好只有一个公共点时m的值；
②在①的条件下，抛物线C2上是否存在一点F，使得∠BAF＝∠ABC？若存在，直接写出F点的学标，若不存在，说明理由．
17．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
18．已知抛物线C：y＝x2+与直线l：y＝kx+b交于A、B两点，P为抛物线第一象限上一动点．
（1）如图1，若k＝﹣，b＝．
①求A，B两点的坐标；
②若tan∠PAB＝2，求P点横坐标．
（2）在（1）的条件下，如图2，在第一象限是否存在这样的P，延长PA、PB交x轴于M，N两点，使OM•ON＝？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
19．如图1，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点C在y轴上，点B的纵坐标为﹣．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．
（1）求证：∠OCA＝∠OBC；
（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C的坐标和抛物线的解析式；
（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和PA+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．
参考答案
1．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（0，n），又A（﹣1，0），B（3，0），
①以PQ、AB为对角线时，PQ、AB的中点重合，
∴，
解得，
∴P（2，﹣3）；
②以PA、QB为对角线时，PA、QB的中点重合，
∴，
解得m＝4，
∴P（4，5）；
③以PB、QA为对角线时，PB、QA的中点重合，
∴，
解得m＝﹣4，
∴P（﹣4，21）；
综上所述，P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣4，21）．
2．解：（1）由题意得：
，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x+4；
（2）令y＝0则x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或4．
∴B（4，0）．
∴OB＝4．
则y＝4．
∴C（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
过点Q作QP∥OC交BC 与点P，如图，
∵点Q在抛物线上且位于线段BC下方的一个动点（不与点B，C重合），
∴设点Q（m，m2﹣5m+4），则P（m，﹣m+4），
∴PQ＝（﹣m+4）﹣（m2﹣5m+4）＝﹣m2+4m．
∵PQ•OB，
∴S△BCQ＝×4×（﹣m2+4m）＝﹣2m2+8m＝﹣2（m﹣2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴当m＝2时，△BCQ面积有最大值8，
此时点Q的坐标为（2，﹣2）；
（3）在y轴上存在点F，使得△BEF为等腰三角形，F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．理由：
∵D是OC的中点，
∴D（0，2）．
∴OD＝2．
过点Q作QH⊥AB于点H，QE交AB于点K，如图，
则QH∥OC，
∴∠ODA＝∠AQH．
∵∠DQE＝2∠ODQ，
∴∠AQH＝∠KQH．
∴△AQK为等腰三角形．
由（2）知：Q（2，﹣2），
∴OH＝2，HQ＝2．
∴AH＝OH﹣OA＝1．
∵AQ＝QK，QH⊥AK，
∴HK＝AH＝1．
∴OK＝OH+HK＝3．
∴K（3，0）．
设直线QE的解析式为y＝mx+c，
∴，
解得：．
∴直线QE的解析式为y＝2x﹣6．
∴．
解得：或．
∴E（5，4）．
过点E作EG⊥x轴于点G，如图，
∴EG＝4，OG＝5．
∴BG＝OG﹣OB＝1．
当BE＝BF1时，
在Rt△BEG和Rt△BF1O中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BF1O（HL）．
∴OF1＝BG＝1．
∴F1（0，1）．
同理：F2（0，﹣1）；
当FB＝FE时，
连接EC，如图，
设点F（0，n）．则OF＝n，CF＝OC﹣OF＝4﹣n．
∵E（5，4），C（0，4），
∴EC⊥OC，EC＝5．
∵FB＝FE，
∴FB2＝FE2．
∴OF2+OB2＝CE2+CF2．
∴42+n2＝（4﹣n）2+52．
解得：n＝．
∴F3（0，）．
综上，在y轴上存在点F，使得△BEF为等腰三角形，F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．
3．解：（1）∵矩形ABCD的三个顶点B（2，0），C（4，0），D（4，﹣4），
∴AD∥x轴，AB∥y轴，点A的坐标为（2，﹣4），
将A（2，﹣4）、C（4，0）两点坐标分别代入y＝ax2+bx得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x；
（2）如图：
由题意得：AP＝t，
∴PB＝4﹣t，
设直线AC的解析式为：y＝kx+n，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝2x﹣8，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∴，即，
∴PE＝t，
当x＝2+t时，y＝2（2+t）﹣8＝t﹣4，
∴E（2+t，t﹣4），G（2+t，t2﹣4），
∴EG＝t﹣4﹣（t2﹣4）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+1，
∵，
∴当t＝2时，EG有最大值是1；
（3）存在t的值使△ECQ为等腰三角形，理由如下：
有三种情况：
①当EQ＝QC时，如图：
∵Q（4，﹣t），，t﹣4），QC＝t，
∴EQ2＝QC2＝t2，
∴根据两点间距离公式得：（2+t﹣4）2+（t﹣4+t）2＝t2．
整理得13t2﹣72t+80＝0，
∴（t﹣4）（13t﹣20）＝0，
解得t＝或t＝4（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）；
∴t＝；
②当EC＝CQ时，
∵，t﹣4），C（4，0），QC＝t，
∴根据两点间距离公式得：（2+t﹣4）2+（t﹣4）2＝t2，
整理得t2﹣40t+80＝0，
解得：t＝20﹣8或t＝20+8（此时Q不在矩形的边上，舍去）；
∴t＝20﹣8；
③当EQ＝EC时，
∵Q（4，﹣t），E（2+t，t﹣4），C（4，0），
∴根据两点间距离公式得：（2+t﹣4）2+（t﹣4+t）2＝（2+t﹣4）2+（t﹣4）2，
解得t＝0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或，
∴t＝．
综上所述，t的值是或或．
4．解：（1）将点A（3，2）和点B（4，﹣）代入y＝ax2+bx+得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，
在y＝﹣x2+x+中，令x＝0得y＝，
∴C（0，），
设直线BC的解析式为y＝kx+，将B（4，﹣）代入得：
4k+＝﹣，
解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，
答：抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，直线BC的解析式为y＝﹣x+；
（2）存在以O，A，G，H为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设G（m，0），H（n，﹣n2+n+），又O（0，0），A（3，2），
①若GH、OA为对角线，则GH、OA的中点重合，
∴，
解得（此时G与O重合，舍去）或，
∴H（﹣1，2），
②若GO、HA为对角线，则GO、HA的中点重合，
，
解得n＝2+1或n＝﹣2+1，
∴H（2+1，﹣2）或（﹣2+1，﹣2）；
③若GA、OH为对角线，则GA、OH的中点重合，
∴，
解得n＝3（舍去）或n＝﹣1，
∴H（﹣1，2），
综上所述，H的坐标为（﹣1，2）或（2+1，﹣2）或（﹣2+1，﹣2）；
（3）作A关于抛物线对称轴的对称点A'，连接A'D交抛物线对称轴于P，如图：
设D（t，﹣t2+t+），则E（t，﹣t+），
∴DE＝（﹣t2+t+）﹣（﹣t+）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴t＝2时，DE取最小值2，此时D（2，），
∵抛物线y＝﹣x2+x+的对称轴为直线x＝1，
∴A（3，2）关于对称轴直线x＝1的对称点A'（﹣1，2），
∴PA＝PA'，
∴PA+PD＝PA'+PD，
又D、P、A'共线，
∴此时PA'+PD最小，即PA+PD最小，PA+PD的最小值为A'D的长，
∵D（2，），A'（﹣1，2），
∴A'D＝＝，
∴PD+PA的最小值为．
5．解：（1）∵A（2cos60°，﹣sin45°），
∴A（1，﹣1），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，
将B点坐标代入函数解析式，得：a（5﹣1）2﹣1＝3，
解得：a＝．
∴该抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣1；
（2）如图1，过点A作EF∥x轴交y轴于E，过点B作BF∥y轴交EF于F，
∵A（1，﹣1），B（5，3），
∴AE＝OE＝1，AF＝BF＝4，
∵∠AEO＝∠AFB＝90°，
∴△AEO和△AFB均为等腰直角三角形，
∴∠OAE＝∠BAF＝45°，OA＝，AB＝4，
∴∠OAB＝180°﹣∠OAE﹣∠BAF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴tan∠AOB＝＝＝4，
∴tan∠AOB＝4；
（3）设M（a，b），N（a，0），
当y＝0时，（x﹣1）2﹣1＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴D（3，0），
∴DN＝3﹣a．
①当△MND∽△OAB时，如图2，
则＝，即，
化简，得：4b＝3﹣a①，
∵M在抛物线上，
∴b＝（a﹣1）2﹣1 ②，
联立①②，得，
解得：a1＝3（不符合题意，舍），a2＝﹣2，b＝，
M1（﹣2，），
当△MND∽△BAO时，如图3，
则＝，即＝，
化简，得b＝12﹣4a③，
联立②③，得：，
解得：a1＝3（不符合题意，舍），a2＝﹣17，b＝12﹣4×（﹣17）＝80，
M2（﹣17，80）．
综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标为（﹣2，）或（﹣17，80）．
6．解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令由＝0得x＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
把B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3得：
﹣9+3b+3＝0，
解得b＝2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）作EF⊥y轴，交点为F，如图：
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，BC＝＝3，
将y＝0代入抛物线y＝﹣x2+2x+3，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A坐标（﹣1，0），
∴AB＝4，
∵MD⊥x轴，
∴∠DEC＝∠MEB＝∠OBC＝45°，
在Rt△CEF中，∠CEF＝45°，EF＝m，cos45°＝，
∴CE＝m，
点M在线段OB上时，如上图，
DE＝yD﹣yE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
（Ⅰ）．当＝时，即＝，解得m＝，
（Ⅱ）．当＝时，即＝，解得m＝，
综合上述，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，m的值为或．
7．解：（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2中，
∴，
解得．
∴y＝﹣x2﹣x+2；
（2）令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+2，
过点P作PG∥y轴交AC于点G，
设P（t，﹣t2﹣t+2），则G（t，t+2），
∴PG＝﹣t2﹣t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣2t，
∴S＝×3×（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，
∵点P是直线AC上方，
∴﹣3＜t＜0，
∴当t＝﹣时，S有最大值，
此时P（﹣，）；
（3）存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设M（m，﹣m2﹣m+2），Q（x，0），A（﹣3，0），C（0，2），
①当MQ为平行四边形的对角线时，，
解得（舍）或，
∴Q（﹣1，0）；
②当MA为平行四边形的对角线时，，
解得（舍）或，
∴Q（﹣5，0）；
③当MC为平行四边形的对角线时，，
解得或，
∴Q（2+，0）或（2﹣，0）；
综上所述：Q点坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）．
8．解：（1）∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴16a+4（a+3）+3＝0．
解得：a＝﹣．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3．
令x＝0，则y＝3．
∴B（0，3）．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则：
，
解得：．
∴直线AB的解析式为y＝x+3；
（2）∵点E（m，0），PE⊥x轴，
∴P（m，m+3），N（m，m+3）．
∴EN＝m+3，OE＝m，
PN＝（m+3）﹣（m+3）＝﹣+3m．
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∴AE＝OA﹣OE＝4﹣m．
∴AN＝＝＝5﹣m．
∵PM⊥AB，PE⊥x轴，
∴∠PMN＝∠NEA＝90°．
∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PMN∽△AEN．
∴．
∴．
解得：m＝2或4．
∵0＜m＜4，
∴m＝2；
（3）m与n之间的关系式为：mn＝36．理由：
∵D（4，6）为抛物线y＝bx2上一点，
∴16b＝6．
∴b＝．
∴抛物线的解析式为y＝．
∵P，Q是抛物线y＝的点，
∴设点P（x1，），Q（x2，），
∵过E（0，﹣6）点作一直线交抛物线于点P，Q，
∴设直线PQ的解析式为y＝k1x﹣6，
则．
∴．
即：3x2﹣8k1x+48＝0．
由题意，x1，x2是方程3x2﹣8k1x+48＝0的两根．
∴x1•x2＝16．
设直线PD的解析式为y＝k2（x﹣4）+6，
∵点M（0，m）在直线PD上，
∴m＝﹣4k2+6．
∵点P（x1，）在直线PD上，
∴＝k2（x1﹣4）+6．
∴k2（x1﹣4）＝．
∴k2＝．
∴m＝﹣4k2+6＝﹣．
同理可得：n＝﹣．
∴mn＝（﹣）•（﹣）＝＝16＝36．
9．解：（1）∵C（0，3），
∴OC＝3，
在Rt△COB中，OC＝3，BC＝5，∠BOC＝90°，
∴OB＝＝4，
∴点B的坐标是（4，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4），
把C（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝3，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣4），即y＝x2﹣x+3；
（2）△DCB是直角三角形，
理由：∵BC＝5，
∴BC2＝52＝25，
在Rt△COD中，DC2＝CO2+DO2＝32+（）2＝，
∵BD2＝[4﹣（﹣）]2＝，
∴BC2+DC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式是y＝x2﹣x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝．
设点P坐标为（，m）．
∵点C（0，3），点B（4，0），
∴BP2＝（4﹣）2+m2＝+m2．
PC2＝（）2+（m﹣3）2＝m2﹣6m+．
BC2＝25．
①当∠PCB＝90°时，BP2＝BC2+PC2．
∴+m2＝25+m2﹣6m+．
解得：m＝．
故点P（，）；
②当∠PBC＝90°时，PC2＝PB2+BC2．
∴m2﹣6m+＝+m2+25，
解得：m＝﹣2．
故点P（，﹣2）；
③当∠BPC＝90°时，有BC2＝BP2+PC2．
∴25＝m2﹣6m+++m2．
解得：m1＝，m2＝．
∴P（，）或P4（，）．
综上所述，存在，点P的坐标为（（，）或（，﹣2）或（，）或（，）．
10．解：（1）将t＝0代入抛物线y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3得：y＝x2﹣2x﹣3．
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
∴OC＝3，
当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．
（2）由（1）知：A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
在Rt△ACO中，AC＝＝＝，
在图1中，过A作AT∥PD，交y轴于T，过点T作TK⊥AC于点K．
设T（0，﹣a），则OT＝a，CT＝3﹣a，
在Rt△ATO中，AT2＝OA2+OT2＝1+a2，
∵sin∠ACO＝＝，即＝，
∴TK＝（3﹣a），
∵cos∠ACO＝＝，即＝，
∴CK＝（3﹣a），
∴AK＝AC﹣CK＝﹣（3﹣a）＝a+，
∵AT∥PD，
∴∠TAK＝∠PDA，
∴tan∠TAK＝tan∠PDA＝，
∴＝，
∴3TK＝4AK，即3×（3﹣a）＝4×（a+），
解得：a＝，
∴T（0，﹣），
设直线AT的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线AT的解析式为y＝x﹣，
∵PD∥AT，
∴设直线PD的解析式为y＝x+c，
∵P（﹣7，0），
∴﹣×（﹣7）+c＝0，
解得：c＝，
∴直线PD的解析式为y＝x，
由x＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝，x2＝2，
∵点G在第四象限，
∴x＞0，
∴x＝2，
∴G（2，﹣3）；
（3）当y＝0时，有x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3＝0，即[x+（ t﹣3）]•[x+（ t+1）]＝0，
解得：x1＝﹣t+3，x2＝﹣t﹣1，
∵﹣1＜t＜3，
∴点A的坐标为（﹣t﹣1，0），点B的坐标为（﹣t+3，0）．
当x＝0时，y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3＝t2﹣2t﹣3，
∴点C的坐标为（0，t2﹣2t﹣3）．
设直线AQ的解析式为：y＝k1x+b1，直线BQ的解析式为：y＝k2x+b2．
∴点D的坐标为（0，b1），点E的坐标为（0，b2），
∴CD＝（t2﹣2t﹣3）﹣b1，CE＝b2﹣（t2﹣2t﹣3）．
∵y＝k1x+b1，y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3，
∴x2+（2t﹣2﹣k1）x+t2﹣2t﹣3﹣b1＝0，
∴xA•xQ＝t2﹣2t﹣3﹣b1①．
同理：xB•xQ＝t2﹣2t﹣3﹣b2②．
由②÷①，得：＝＝﹣，
∴＝﹣，
∵2CE＝3CD，
∴＝，
∴＝﹣，
∴＝﹣，
∴t＝．
11．解：（1）∵过点D作DH⊥x轴于点H，如图所示：
∵D（2，3），
∴OH＝2，DH＝3，
∵tan∠DBA＝，
∴DH：BH＝1：2，
∴BH＝6，
∴OB＝6﹣2＝4，
∴B（﹣4，0），
将点B，D坐标代入抛物线解析式，
得，
解得，
∴抛物线的解析式：．
（2）①过点D作DP∥AB交抛物线于点P，如图所示：
则有∠PDB＝∠ABD，
当＝3时，解得x＝2或x＝﹣5，
∴P（﹣5，3）；
②设PD交x轴于点M，
∵∠PDB＝∠ABD，
∴MB＝MD，
设M（m，0），
∴MB＝m+4，MD＝，
∴m+4＝，
解得m＝，
∴M（，0），
设MD的解析式：y＝kx+b，
代入M，D点坐标，得，
解得，
∴直线MD的解析式：．
联立，
解得x＝2或x＝，
∴P（，），
综上，P点坐标为（﹣5，3）或（，）．
（3）存在，如下图所示：
设直线x＝﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F．
令＝0，解得x＝1或x＝﹣4，
∴A（1，0），
当x＝0时，＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
设AC的解析式：y＝kx+b，
将点A和C点坐标代入解析式，
得，
解得，
∴AC的解析式：y＝2x﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣4﹣2＝﹣6，
∴F（﹣2，﹣6），
设⊙Q与直线AC相切于点E，则∠QEF＝∠AGF＝90°，
∵∠AFG＝∠QFE，
∴△AFG∽△QFE，
∴，
设Q（﹣2，n），
则QF＝n+6，QE＝QO＝，AF＝，AG＝3，
代入可得
解得n＝4或n＝﹣1．
∴Q（﹣2，4）或（﹣2，﹣1），
∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．
12．解：（1）∵四边形OABC为矩形，C（0，3），
∴BC∥OA，点D的纵坐标为3，
∵y＝﹣x+与BC边相交于点D，
∴﹣x+＝3，
解得x＝2，
∴点D的坐标为（2，3）；
（2）∵若抛物线y＝ax2+bx经过A（6，0）、D（2，3）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+x；
（3）如图：
抛物线y＝﹣x2+x的对称轴为x＝3，设对称轴x＝3与x轴交于点P1，
∴BA∥MP1，
∴∠BAD＝∠AMP1．
①∵∠AP1M＝∠ABD＝90°，
∴△ABD∽△MP1A，
∴P1（3，0），
②当∠MAP2＝∠ABD＝90°时，△ABD∽△MAP2，
∴∠AP2M＝∠ADB，
∵AP1＝AB＝3，∠AP1P2＝∠ABD＝90°，
∴△AP1P2≌△ABD（AAS），
∴P1P2＝BD＝4，
∵点P2在第四象限，
∴P2（3，﹣4）．
答：符合条件的点P有两个，P1（3，0）、P2（3，﹣4）．
13．解：（1）将（0，1）代入y＝﹣x2+4ax﹣4a﹣1得：
﹣4a﹣1＝1，
解得a＝﹣；
（2）P（a，y0）代入y＝﹣x2+4ax﹣4a﹣1得：y0＝3a2﹣4a﹣1，
∴y0＝3（a﹣）2﹣，
∴y0的最小值为﹣；
（3）函数y＝﹣x2+4ax﹣4a﹣1＝﹣（x﹣2a）2+4a2﹣4a﹣1，
当图象G的顶点落在直线y＝2a﹣1上时，4a2﹣4a﹣1＝2a﹣1，
解得a＝0或a＝，
图象G与直线x＝a交点坐标为（a，3a2﹣4a﹣1），
a＞0时，
3a2﹣4a﹣1＞2a﹣1，满足条件，解得a＜0（舍）或a＞2；
a＜0时，3a2﹣4a﹣1＞2a﹣1，满足条件，解得a＜0或a＞2（舍）；
综上所述，a≤0或a＝或a＞2；
（4）抛物线顶点（2a，4a2﹣4a﹣1），图象G与直线x＝a交点坐标为（a，3a2﹣4a﹣1），
点A坐标（a+1，3a2﹣2a﹣2），点B（a+1，﹣3a2+2a+2），点C（0，﹣3a2+2a+2），点D（0，3a2﹣2a﹣2），
a+1＝2a时a＝1，
①0＜a＜1时，图象G与直线x＝a交点在线段AD下方时，3a2﹣4a﹣1≤3a2﹣2a﹣2，解得a≥，
∴≤a＜1，
②若a＞1，3a2﹣2a﹣2＝0时，点A落在x轴上，解得a＝或a＝（舍）．
a＞，点A在第一象限，图象G与直线x＝m交点在线段BC下方满足条件，
即3a2﹣4a﹣1≤﹣3a2+2a+2，
解得a＞（舍）或a≤，
∴＜a≤，
综上所述，a＞0时满足条件的a取值范围为：＜a≤或≤a＜1．
14．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，过点D作DF∥x轴交直线BC于点F，
在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0，得y＝2，
∴C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，将B、C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设D（m，﹣m2+m+2），
则点F的纵坐标为﹣m2+m+2，
∴﹣m2+m+2＝﹣x+2，
∴x＝m2﹣m，
∴F（m2﹣m，﹣m2+m+2），
∴DF＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，
∵A（﹣1，0），B（2，0），
∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，
∵DF∥x轴，即DF∥AB，
∴△DEF∽△AEB，
∴＝，即＝＝，
∴﹣m2+2m＝1，
解得：m1＝m2＝1，
∴D（1，2）；
（3）如图2，过点P作PK⊥x轴于点K，过点C作CG∥x轴交PK于点G，过点M作MH∥x轴交PK于点H，过点N作NT∥x轴交PK于点T，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+2，MN∥BC，
∴设直线MN的解析式为y＝﹣x+n，
∴﹣x+n＝﹣x2+x+2，
解得：x1＝1﹣，x2＝1+，
∴M（1﹣，n﹣1+），N（1+，n﹣1﹣），
设点P的横坐标为t，则CG＝t，MH＝t﹣（1﹣）＝t﹣1+，BK＝2﹣t，NT＝1+﹣t，
∵CG∥x轴，MH∥x轴，
∴CG∥MH，
∴△PCG∽△PMH，
∴＝，
∵NT∥x轴，即NT∥BK，
∴△PBK∽△PNT，
∴＝，
∵BC∥MN，
∴＝，
∴＝，
∴BK•MH＝CG•NT，
∴（2﹣t）（t﹣1+）＝t（1+﹣t），
∴2t﹣2+2﹣t2+t﹣t＝t+t﹣t2，
化简得：（t﹣1）（1﹣）＝0，
∵1﹣≠0，
∴t﹣1＝0，
∴t＝1，
∴点P的横坐标为1．
15．解：（1）由题意得，
，
∴，
∴抛物线的表达式是：y＝+x﹣3，
∵2×（﹣）﹣（﹣4）＝3，
∴B（3，0），
∴直线BC的函数表达式是：y＝x﹣3，
∵A（﹣4，0），C（0，﹣3），
∴直线AC的函数表达式是：y＝﹣；
（2）设点P（a，﹣a﹣3），则Q（﹣，﹣），
∴PQ＝﹣﹣a＝﹣，
由PQ＝OA得，
﹣a＝4，
∴a＝﹣，
∴Q（，﹣）；
（3）当y＝m时，
由x﹣3＝m得，
∴x＝m+3，
∴Q（m+3，m），
由﹣＝m得，
x＝﹣，
∴P（﹣m﹣4，m），
∴OF＝﹣m，PF＝，FQ＝m+3，
∵∠PFO＝∠QFO＝90°，
∴当＝时，即：OF2＝PF•FQ，
△PFO∽△OFQ，
∴∠OPF＝∠FOQ，
∵∠PFO＝90°，
∴∠OPF+∠POF＝90°，
∴∠FOQ+∠POF＝90°，
∴∠POF＝90°，
即△OPQ是直角三角形，
∴（﹣m）2＝（m+4）•（m+3），
∴m1＝6﹣12，m2＝﹣6﹣12（舍去）．
∴m＝6﹣12．
16．解：（1）将A（1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2得，
解得，
∴y＝﹣x2+x﹣2．
（2）当m＝0时，C2图象是C1图象沿x轴翻折，
∴C2解析式为y＝x2﹣x+2，
∵A（1，0），B（4，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝，
设点M坐标为（t，﹣t2+t﹣2），
则点P坐标为（t，t2﹣t+2），点Q坐标为（5﹣t），
∴MP＝﹣t2+t﹣2﹣（t2﹣t+2）＝﹣t2+5t﹣4，QP＝5﹣t﹣t＝5﹣2t，
∴矩形周长为2（MP+QP）＝2（﹣t2+5t﹣4+5﹣2t）＝2（﹣t2+3t+1）＝﹣2（t﹣）2+，
∴当t＝时，矩形最大周长为．
（3）①∵y＝﹣x2+x﹣2＝﹣（x﹣）2+，
∴C1图象的顶点为（，），
∵抛物线C2是由抛物线C1沿直线y＝m翻折，
∴C2顶点坐标为（，2m﹣），
∴C2解析式为y＝（x﹣）2+2m﹣，
将x＝0代入y＝﹣x2+x﹣2得y＝﹣2，
∴点C坐标为（0，﹣2），
设直线BC解析式为y＝kx+b，
将（0，﹣2），（4，0）代入y＝kx+b得，解得，
∴y＝x﹣2，
令（x﹣）2+2m﹣＝x﹣2，整理得x2﹣3x+2m+4＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×（2m+4）＝0，
解得m＝．
②∵m＝，
∴C2解析式为y＝（x﹣）2﹣，
∴C2顶点坐标为（，﹣），
∵点A，B关于抛物线对称轴对称，
∴点F为C2顶点（，﹣）时满足题意，
当点F在x轴上方，由∠BAF＝∠ABC可得直线AF∥直线BC，
设直线AF为y＝x+n，
将A（1，0）代入y＝x+n得0＝+n，
解得n＝﹣，
∴y＝x﹣，
令x﹣＝（x﹣）2﹣，
解得x1＝3﹣，x2＝3+，
将x＝3+代入y＝x﹣得y＝1+，
∴点F坐标为（3+，1+），
综上所述，点F坐标为（，﹣）或（3+，1+）．
17．解：（1）由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0）设该表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）．
将C点的坐标代入得：a＝1，
∴所以这个二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，﹣3）．
理由：由（1）得D（1，﹣4），
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴E点的坐标为（﹣3，0），
由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF，
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
∴存在点F，坐标为（2，﹣3）．
方法二：由（1）得D（1，﹣4），
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴E点的坐标为（﹣3，0），
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
∴F点的坐标为（2，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣4，3），
代入抛物线的表达式检验，只有（2，﹣3）符合，
∴存在点F，坐标为（2，﹣3）．
（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得R＝．
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，﹣r），
代入抛物线的表达式，解得r＝．
∴圆的半径为或．
18．解：（1）①当k＝﹣，b＝时，y＝﹣x+，
联立方程组，
解得x＝1或x＝﹣2，
∴A（﹣2，3），B（1，1）；
②过点B作BQ⊥AB交AP于点Q，过点B作EF∥x轴，过点A作AE⊥EF交于点E，过点Q作QF⊥EF交于点F，
∵∠ABE+∠FBQ＝90°，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠FBQ＝∠BAE，
∴△ABE∽△BQF，
∴＝＝，
∵tan∠PAB＝2，
∴＝2，
∴＝＝2，
设Q（t，s），
∵A（﹣2，3），B（1，1），
∴AE＝2，BF＝t﹣1，BE＝3，QF＝s﹣1，
∴＝2，＝2，
∴t＝5，s＝7，
∴Q（5，7），
设直线AQ的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
∴，
∴y＝x+，
联立方程组，
解得x＝或x＝﹣2，
∴P点横坐标为；
（2）存在P点，使OM•ON＝，理由如下：
设P（m，m2+），
设直线AP的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
解得，
∴y＝（m﹣2）x+m+，
∴M（，0），
设直线BP的解析式为y＝k2x+b2，
∴，
∴，
∴y＝（m+1）x+﹣m，
∴N（，0），
∵OM•ON＝，
∴•＝，
解得m＝或m＝﹣，
∵P点在第一象限，
∴m＝，
∴P（，）．
19．解：（1）∵直线y＝﹣x+交于C点，点C在y轴上，
∴C（0，），
将点A（3，2），C（0，）代入y＝﹣+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣+x+；
（2）设D（t，﹣t2+t+），则E（t，﹣t+），
∴DE＝﹣t2+t++t﹣＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∴当t＝2时，DE的长度最大为2，
此时D（2，），
∵y＝﹣+x+＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的解析式为直线x＝1，
∵C（0，），
∴C点、D点关于直线x＝1对称，
连接AC交对称轴于点P，
∴PD＝PC，
∴PD+PA＝PC+PA≥AC，
∴当C、P、A三点共线时，PA+PD的值最小，
∴AC＝，
∴PA+PD的最小值为；
（3）存在点Q，使∠AQM＝45°，理由如下，
由（2）可得M（1，4），
设Q（0，t），
过点A作AH垂直对称轴x＝1，交于点H，
∴AH＝HM＝2，
∴H（1，2），
∴M、A两点在以H为圆心，2为半径的圆上，
∵∠MHA＝90°，
∴圆H与y轴的交点为Q点，
∴∠MQA＝45°，
∴QH＝2，
∴2＝，
∴t＝2+或t＝2﹣，
∴Q点坐标为（0，2+）或（0，2﹣）．
20．（1）证明：连接MC，如图：
∵⊙M与y轴相切于点C，
∴CM⊥OC，
∴∠MCO＝90°，
又∵∠ACD＝90°，
∴∠ACM+∠MCD＝90°，
又∵DM＝CM，
∴∠MCD＝∠ADC，
∴∠ACM+∠ADC＝90°，
又∵∠OCA+∠ACM＝∠MCO＝90°，
∴∠OCA＝∠ADC，
又∵，
∴∠ADC＝∠OBC，
∴∠OCA＝∠OBC；
（2）解：∵∠OCA＝∠OBC，∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△OCA∽△OBC，
∴＝，
∴OC2＝OA⋅OB，
又∵x1⋅x2＝4，即OA•OB＝4，
∴OC2＝4，
∴OC＝2（OC＝﹣2舍去），
∴C（0，2），
∵x1+x2＝5，x1⋅x2＝4，
∴，，
∴b＝﹣5a，c＝4a，
∴y＝ax2﹣5ax+4a，
把C（0，2）代入得：
4a＝2，
解得a＝，
∴y＝x2﹣x+2；
（3）解：由两点之间线段最短可得，P为对角线BC与AD的交点时，PA+PB+PC+PD最小值是AD+BC，过P作PK⊥AB于K，如图：
∵△ACD≌△ABD，
∴∠CAD＝∠BAD，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD＝90°，
∵AP＝AP，
∴△ACP≌△ABP（SAS），
∴∠APC＝∠APB＝90°，∠ABP＝∠ACP，CP＝BP，
∴∠APC＝90°＝∠AOC，
由（1）知∠OCA＝∠OBC，
∴∠OCA＝∠ACP，
又AC＝AC，
∴△AOC≌△APC（AAS），
∴∠OAC＝∠CAP，OA＝AP＝n，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠OAC＝∠CAD＝∠BAD＝60°，
在Rt△APK中，
AK＝AP•cos60°＝n，PK＝AP•sin60°＝n，
∴OK＝OA+AK＝n，
∴P（n，n），
∵CP＝BP，PK∥OC，
∴BK＝OK＝n，
在Rt△BPK中，
BP＝＝＝n，
∴BC＝2BP＝2n，
在Rt△ABD中，AB＝AK+BK＝n+n＝2n，
AD＝＝4n，
∴AD+BC＝4n+2n＝（4+2）n，
即PA+PB+PC+PD的最小值为（4+2）n．
答：PA+PB+PC+PD的最小值为（4+2）n，P（n，n）．
2023年春九年级数学中考复习《二次函数综合压轴题》专项复习训练题（附答案）
1．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，在y轴上存在点Q，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标．
2． 如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B，与y轴交于点C，对称轴为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点Q在抛物线上且位于线段BC下方的一个动点（不与点B，C重合），求当△BCQ面积的最大时，点Q的坐标
（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的三个顶点B（2，0），C（4，0），D（4，﹣4），抛物线y＝ax2+bx经过A，C两点．动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．
（1）求点A的坐标及抛物线的函数表达式；
（2）过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG的长有最大值？最大值是多少？
（3）连接EQ，是否存在t的值使△ECQ为等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
4．如图，抛物线y＝ax2+bx+（a≠0）经过点A（3，2）和点B（4，﹣），且与y轴交于点C．
（1）分别求抛物线和直线BC的解析式；
（2）在x轴上有一动点G，抛物线上有一动点H，是否存在以O，A，G，H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值．
5．如图，在平面直角坐标系中，顶点为A（2cos60°，﹣sin45°）的抛物线经过点B（5，3），且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求tan∠AOB的值；
（3）点M在第二象限内的抛物线上，点N在x轴上，且∠MND＝∠OAB，当△DMN与△OAB相似时，求点M的坐标．
6．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴于y轴分别交于点B和点C，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象经过B，C两点，并与x轴交于点A，点M（m，0）是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，分别与二次函数图象和直线BC相交于点D和点E，连接CD．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求m的值．
7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，设三角形APC的面积为S，求S的最大值及S取得最大值时点P的坐标；
（3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
8．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0），（0＜m＜4）过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值．
（3）如图2，D（4，6）为抛物线y＝bx2上一点，过E（0，﹣6）点作一直线交抛物线于点P，Q，直线DP，DQ与y轴分别交于点M（0，m），N（0，n），直接写出m与n之间的关系式．
9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（1，0），点C（0，3），且BC＝5．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点D的坐标为（﹣，0），试判断△DCB的形状，并说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．抛物线y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C．
（1）如图1，当t＝0时，连接AC、BC．求△ABC的面积；
（2）在（1）的条件下，P（﹣7，0）为x轴上一点，在抛物线第四象限的图象上有一点G，连PG交线段AC于点D，当tan∠PDA＝，求出点G的坐标；
（3）如图2，当﹣1＜t＜3时，若Q是抛物线上A、C之间的一点（不与A、C重合），直线QA、QB分别交y轴于D、E两点．在Q点运动过程中，是否存在固定的t值，使得2CE＝3CD．若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线D交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA＝．
（1）求抛物线所对应的函数解析式；
（2）若抛物线上存在一个点P，使得∠PDB＝∠ABD，请求出P点的坐标；
（3）已知点M的坐标（﹣2，0），过点M作直线平行于y轴，在这条直线上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标，若不存在，请说明理由．
12．已知矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线y＝﹣x+与边BC相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）若抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A、D两点，试确定此抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线的对称轴与直线AD交于点M，点P在对称轴上，且△PAM与△ABD相似，求点P的坐标．
13．在平面直角坐标系中，将函数y＝﹣x2+4ax﹣4a﹣1（x≥a，a为常数）的图象记为G，图象G与直线x＝a的交点坐标为P（a，y0）．
（1）若点（0，1）在图象G上，求a的值．
（2）求y0的最小值．
（3）当直线y＝2a﹣1的图象与函数y＝﹣x2+4ax﹣4a﹣1（x≥a，a为常数）的图象只有一个公共点时，求a的取值范围．
（4）若a＞0，点A在图象G上，且点A的横坐标为a+1，点A关于x轴的对称点为点B．当点A不在坐标轴上时，以点A、B为顶点构造矩形ABCD，使点C、D落在y轴上，当图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时，直接写出a的取值范围．
14．如图，抛物线y＝﹣x2﹣bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），D是抛物线上一点，连接AD交线段BC于点E，若AE＝3DE，求点D的坐标；
（3）如图（2），平行于BC的直线MN交抛物线于M，N两点，作直线MC，NB的交点P，求点P的横坐标．
15．综合与探究
如图，二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于点A（﹣4，0），点B，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D，抛物线的对称轴为直线x＝﹣，对称轴交x轴于点E，连接AC，BC，点P是线段AC上一动点，PQ∥AB交BC于点Q，交y轴于点F，连OQ．
（1）求抛物线的表达式并直接写出直线BC和直线AC的函数表达式；
（2）当四边形APQO是平行四边形时，求点Q的坐标；
（3）设点P的纵坐标为m，在点P的运动过程中，是否存在△OPQ是直角三角形，若存在请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线C1：y＝ax2+bx﹣2与x轴交于点A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为D，将该抛物线沿直线l：y＝m（0≤m＜）折叠后得到抛物线C2，折痕与抛物线C1，交于点G，H两点．
（1）求抛物线C1的函数袤达式；
（2）如图2，当m＝0时，动点M，N在抛物线C1上，且位于直线l上方（点M在点N的左侧），过M，N分别作y轴的平行线交抛物线C2于点P，Q两点，当四边形MNPQ为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）①求当抛物线C2与直线BC恰好只有一个公共点时m的值；
②在①的条件下，抛物线C2上是否存在一点F，使得∠BAF＝∠ABC？若存在，直接写出F点的学标，若不存在，说明理由．
17．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB＝OC，tan∠ACO＝．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
18．已知抛物线C：y＝x2+与直线l：y＝kx+b交于A、B两点，P为抛物线第一象限上一动点．
（1）如图1，若k＝﹣，b＝．
①求A，B两点的坐标；
②若tan∠PAB＝2，求P点横坐标．
（2）在（1）的条件下，如图2，在第一象限是否存在这样的P，延长PA、PB交x轴于M，N两点，使OM•ON＝？若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由．
19．如图1，抛物线y＝﹣+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点C在y轴上，点B的纵坐标为﹣．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．
（1）求证：∠OCA＝∠OBC；
（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C的坐标和抛物线的解析式；
（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和PA+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．
参考答案
1．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（0，n），又A（﹣1，0），B（3，0），
①以PQ、AB为对角线时，PQ、AB的中点重合，
∴，
解得，
∴P（2，﹣3）；
②以PA、QB为对角线时，PA、QB的中点重合，
∴，
解得m＝4，
∴P（4，5）；
③以PB、QA为对角线时，PB、QA的中点重合，
∴，
解得m＝﹣4，
∴P（﹣4，21）；
综上所述，P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣4，21）．
2．解：（1）由题意得：
，
解得：．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣5x+4；
（2）令y＝0则x2﹣5x+4＝0，
解得：x＝1或4．
∴B（4，0）．
∴OB＝4．
则y＝4．
∴C（0，4）．
设直线BC的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得：．
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4．
过点Q作QP∥OC交BC 与点P，如图，
∵点Q在抛物线上且位于线段BC下方的一个动点（不与点B，C重合），
∴设点Q（m，m2﹣5m+4），则P（m，﹣m+4），
∴PQ＝（﹣m+4）﹣（m2﹣5m+4）＝﹣m2+4m．
∵PQ•OB，
∴S△BCQ＝×4×（﹣m2+4m）＝﹣2m2+8m＝﹣2（m﹣2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴当m＝2时，△BCQ面积有最大值8，
此时点Q的坐标为（2，﹣2）；
（3）在y轴上存在点F，使得△BEF为等腰三角形，F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．理由：
∵D是OC的中点，
∴D（0，2）．
∴OD＝2．
过点Q作QH⊥AB于点H，QE交AB于点K，如图，
则QH∥OC，
∴∠ODA＝∠AQH．
∵∠DQE＝2∠ODQ，
∴∠AQH＝∠KQH．
∴△AQK为等腰三角形．
由（2）知：Q（2，﹣2），
∴OH＝2，HQ＝2．
∴AH＝OH﹣OA＝1．
∵AQ＝QK，QH⊥AK，
∴HK＝AH＝1．
∴OK＝OH+HK＝3．
∴K（3，0）．
设直线QE的解析式为y＝mx+c，
∴，
解得：．
∴直线QE的解析式为y＝2x﹣6．
∴．
解得：或．
∴E（5，4）．
过点E作EG⊥x轴于点G，如图，
∴EG＝4，OG＝5．
∴BG＝OG﹣OB＝1．
当BE＝BF1时，
在Rt△BEG和Rt△BF1O中，
，
∴Rt△BEG≌Rt△BF1O（HL）．
∴OF1＝BG＝1．
∴F1（0，1）．
同理：F2（0，﹣1）；
当FB＝FE时，
连接EC，如图，
设点F（0，n）．则OF＝n，CF＝OC﹣OF＝4﹣n．
∵E（5，4），C（0，4），
∴EC⊥OC，EC＝5．
∵FB＝FE，
∴FB2＝FE2．
∴OF2+OB2＝CE2+CF2．
∴42+n2＝（4﹣n）2+52．
解得：n＝．
∴F3（0，）．
综上，在y轴上存在点F，使得△BEF为等腰三角形，F的坐标为（0，1）或（0，﹣1）或（0，）．
3．解：（1）∵矩形ABCD的三个顶点B（2，0），C（4，0），D（4，﹣4），
∴AD∥x轴，AB∥y轴，点A的坐标为（2，﹣4），
将A（2，﹣4）、C（4，0）两点坐标分别代入y＝ax2+bx得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x；
（2）如图：
由题意得：AP＝t，
∴PB＝4﹣t，
设直线AC的解析式为：y＝kx+n，
则，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝2x﹣8，
∵PE∥BC，
∴△APE∽△ABC，
∴，即，
∴PE＝t，
当x＝2+t时，y＝2（2+t）﹣8＝t﹣4，
∴E（2+t，t﹣4），G（2+t，t2﹣4），
∴EG＝t﹣4﹣（t2﹣4）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣2）2+1，
∵，
∴当t＝2时，EG有最大值是1；
（3）存在t的值使△ECQ为等腰三角形，理由如下：
有三种情况：
①当EQ＝QC时，如图：
∵Q（4，﹣t），，t﹣4），QC＝t，
∴EQ2＝QC2＝t2，
∴根据两点间距离公式得：（2+t﹣4）2+（t﹣4+t）2＝t2．
整理得13t2﹣72t+80＝0，
∴（t﹣4）（13t﹣20）＝0，
解得t＝或t＝4（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）；
∴t＝；
②当EC＝CQ时，
∵，t﹣4），C（4，0），QC＝t，
∴根据两点间距离公式得：（2+t﹣4）2+（t﹣4）2＝t2，
整理得t2﹣40t+80＝0，
解得：t＝20﹣8或t＝20+8（此时Q不在矩形的边上，舍去）；
∴t＝20﹣8；
③当EQ＝EC时，
∵Q（4，﹣t），E（2+t，t﹣4），C（4，0），
∴根据两点间距离公式得：（2+t﹣4）2+（t﹣4+t）2＝（2+t﹣4）2+（t﹣4）2，
解得t＝0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或，
∴t＝．
综上所述，t的值是或或．
4．解：（1）将点A（3，2）和点B（4，﹣）代入y＝ax2+bx+得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，
在y＝﹣x2+x+中，令x＝0得y＝，
∴C（0，），
设直线BC的解析式为y＝kx+，将B（4，﹣）代入得：
4k+＝﹣，
解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，
答：抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+，直线BC的解析式为y＝﹣x+；
（2）存在以O，A，G，H为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设G（m，0），H（n，﹣n2+n+），又O（0，0），A（3，2），
①若GH、OA为对角线，则GH、OA的中点重合，
∴，
解得（此时G与O重合，舍去）或，
∴H（﹣1，2），
②若GO、HA为对角线，则GO、HA的中点重合，
，
解得n＝2+1或n＝﹣2+1，
∴H（2+1，﹣2）或（﹣2+1，﹣2）；
③若GA、OH为对角线，则GA、OH的中点重合，
∴，
解得n＝3（舍去）或n＝﹣1，
∴H（﹣1，2），
综上所述，H的坐标为（﹣1，2）或（2+1，﹣2）或（﹣2+1，﹣2）；
（3）作A关于抛物线对称轴的对称点A'，连接A'D交抛物线对称轴于P，如图：
设D（t，﹣t2+t+），则E（t，﹣t+），
∴DE＝（﹣t2+t+）﹣（﹣t+）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∵﹣＜0，
∴t＝2时，DE取最小值2，此时D（2，），
∵抛物线y＝﹣x2+x+的对称轴为直线x＝1，
∴A（3，2）关于对称轴直线x＝1的对称点A'（﹣1，2），
∴PA＝PA'，
∴PA+PD＝PA'+PD，
又D、P、A'共线，
∴此时PA'+PD最小，即PA+PD最小，PA+PD的最小值为A'D的长，
∵D（2，），A'（﹣1，2），
∴A'D＝＝，
∴PD+PA的最小值为．
5．解：（1）∵A（2cos60°，﹣sin45°），
∴A（1，﹣1），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣1，
将B点坐标代入函数解析式，得：a（5﹣1）2﹣1＝3，
解得：a＝．
∴该抛物线的解析式为：y＝（x﹣1）2﹣1；
（2）如图1，过点A作EF∥x轴交y轴于E，过点B作BF∥y轴交EF于F，
∵A（1，﹣1），B（5，3），
∴AE＝OE＝1，AF＝BF＝4，
∵∠AEO＝∠AFB＝90°，
∴△AEO和△AFB均为等腰直角三角形，
∴∠OAE＝∠BAF＝45°，OA＝，AB＝4，
∴∠OAB＝180°﹣∠OAE﹣∠BAF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴tan∠AOB＝＝＝4，
∴tan∠AOB＝4；
（3）设M（a，b），N（a，0），
当y＝0时，（x﹣1）2﹣1＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴D（3，0），
∴DN＝3﹣a．
①当△MND∽△OAB时，如图2，
则＝，即，
化简，得：4b＝3﹣a①，
∵M在抛物线上，
∴b＝（a﹣1）2﹣1 ②，
联立①②，得，
解得：a1＝3（不符合题意，舍），a2＝﹣2，b＝，
M1（﹣2，），
当△MND∽△BAO时，如图3，
则＝，即＝，
化简，得b＝12﹣4a③，
联立②③，得：，
解得：a1＝3（不符合题意，舍），a2＝﹣17，b＝12﹣4×（﹣17）＝80，
M2（﹣17，80）．
综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标为（﹣2，）或（﹣17，80）．
6．解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令由＝0得x＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
把B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+3得：
﹣9+3b+3＝0，
解得b＝2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）作EF⊥y轴，交点为F，如图：
∵OB＝OC＝3，
∴∠OBC＝45°，BC＝＝3，
将y＝0代入抛物线y＝﹣x2+2x+3，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴点A坐标（﹣1，0），
∴AB＝4，
∵MD⊥x轴，
∴∠DEC＝∠MEB＝∠OBC＝45°，
在Rt△CEF中，∠CEF＝45°，EF＝m，cos45°＝，
∴CE＝m，
点M在线段OB上时，如上图，
DE＝yD﹣yE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
（Ⅰ）．当＝时，即＝，解得m＝，
（Ⅱ）．当＝时，即＝，解得m＝，
综合上述，当以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，m的值为或．
7．解：（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+2中，
∴，
解得．
∴y＝﹣x2﹣x+2；
（2）令x＝0，则y＝2，
∴C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+2，
过点P作PG∥y轴交AC于点G，
设P（t，﹣t2﹣t+2），则G（t，t+2），
∴PG＝﹣t2﹣t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣2t，
∴S＝×3×（﹣t2﹣2t）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，
∵点P是直线AC上方，
∴﹣3＜t＜0，
∴当t＝﹣时，S有最大值，
此时P（﹣，）；
（3）存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
设M（m，﹣m2﹣m+2），Q（x，0），A（﹣3，0），C（0，2），
①当MQ为平行四边形的对角线时，，
解得（舍）或，
∴Q（﹣1，0）；
②当MA为平行四边形的对角线时，，
解得（舍）或，
∴Q（﹣5，0）；
③当MC为平行四边形的对角线时，，
解得或，
∴Q（2+，0）或（2﹣，0）；
综上所述：Q点坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）或（2+，0）或（2﹣，0）．
8．解：（1）∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴16a+4（a+3）+3＝0．
解得：a＝﹣．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3．
令x＝0，则y＝3．
∴B（0，3）．
设直线AB的解析式为y＝kx+b，则：
，
解得：．
∴直线AB的解析式为y＝x+3；
（2）∵点E（m，0），PE⊥x轴，
∴P（m，m+3），N（m，m+3）．
∴EN＝m+3，OE＝m，
PN＝（m+3）﹣（m+3）＝﹣+3m．
∵A（4，0），
∴OA＝4，
∴AE＝OA﹣OE＝4﹣m．
∴AN＝＝＝5﹣m．
∵PM⊥AB，PE⊥x轴，
∴∠PMN＝∠NEA＝90°．
∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PMN∽△AEN．
∴．
∴．
解得：m＝2或4．
∵0＜m＜4，
∴m＝2；
（3）m与n之间的关系式为：mn＝36．理由：
∵D（4，6）为抛物线y＝bx2上一点，
∴16b＝6．
∴b＝．
∴抛物线的解析式为y＝．
∵P，Q是抛物线y＝的点，
∴设点P（x1，），Q（x2，），
∵过E（0，﹣6）点作一直线交抛物线于点P，Q，
∴设直线PQ的解析式为y＝k1x﹣6，
则．
∴．
即：3x2﹣8k1x+48＝0．
由题意，x1，x2是方程3x2﹣8k1x+48＝0的两根．
∴x1•x2＝16．
设直线PD的解析式为y＝k2（x﹣4）+6，
∵点M（0，m）在直线PD上，
∴m＝﹣4k2+6．
∵点P（x1，）在直线PD上，
∴＝k2（x1﹣4）+6．
∴k2（x1﹣4）＝．
∴k2＝．
∴m＝﹣4k2+6＝﹣．
同理可得：n＝﹣．
∴mn＝（﹣）•（﹣）＝＝16＝36．
9．解：（1）∵C（0，3），
∴OC＝3，
在Rt△COB中，OC＝3，BC＝5，∠BOC＝90°，
∴OB＝＝4，
∴点B的坐标是（4，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4），
把C（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝3，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣4），即y＝x2﹣x+3；
（2）△DCB是直角三角形，
理由：∵BC＝5，
∴BC2＝52＝25，
在Rt△COD中，DC2＝CO2+DO2＝32+（）2＝，
∵BD2＝[4﹣（﹣）]2＝，
∴BC2+DC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式是y＝x2﹣x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝．
设点P坐标为（，m）．
∵点C（0，3），点B（4，0），
∴BP2＝（4﹣）2+m2＝+m2．
PC2＝（）2+（m﹣3）2＝m2﹣6m+．
BC2＝25．
①当∠PCB＝90°时，BP2＝BC2+PC2．
∴+m2＝25+m2﹣6m+．
解得：m＝．
故点P（，）；
②当∠PBC＝90°时，PC2＝PB2+BC2．
∴m2﹣6m+＝+m2+25，
解得：m＝﹣2．
故点P（，﹣2）；
③当∠BPC＝90°时，有BC2＝BP2+PC2．
∴25＝m2﹣6m+++m2．
解得：m1＝，m2＝．
∴P（，）或P4（，）．
综上所述，存在，点P的坐标为（（，）或（，﹣2）或（，）或（，）．
10．解：（1）将t＝0代入抛物线y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3得：y＝x2﹣2x﹣3．
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
∴点C的坐标为（0，﹣3），
∴OC＝3，
当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．
∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，
∴S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6．
（2）由（1）知：A（﹣1，0），C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
在Rt△ACO中，AC＝＝＝，
在图1中，过A作AT∥PD，交y轴于T，过点T作TK⊥AC于点K．
设T（0，﹣a），则OT＝a，CT＝3﹣a，
在Rt△ATO中，AT2＝OA2+OT2＝1+a2，
∵sin∠ACO＝＝，即＝，
∴TK＝（3﹣a），
∵cos∠ACO＝＝，即＝，
∴CK＝（3﹣a），
∴AK＝AC﹣CK＝﹣（3﹣a）＝a+，
∵AT∥PD，
∴∠TAK＝∠PDA，
∴tan∠TAK＝tan∠PDA＝，
∴＝，
∴3TK＝4AK，即3×（3﹣a）＝4×（a+），
解得：a＝，
∴T（0，﹣），
设直线AT的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线AT的解析式为y＝x﹣，
∵PD∥AT，
∴设直线PD的解析式为y＝x+c，
∵P（﹣7，0），
∴﹣×（﹣7）+c＝0，
解得：c＝，
∴直线PD的解析式为y＝x，
由x＝x2﹣2x﹣3，
解得：x1＝，x2＝2，
∵点G在第四象限，
∴x＞0，
∴x＝2，
∴G（2，﹣3）；
（3）当y＝0时，有x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3＝0，即[x+（ t﹣3）]•[x+（ t+1）]＝0，
解得：x1＝﹣t+3，x2＝﹣t﹣1，
∵﹣1＜t＜3，
∴点A的坐标为（﹣t﹣1，0），点B的坐标为（﹣t+3，0）．
当x＝0时，y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3＝t2﹣2t﹣3，
∴点C的坐标为（0，t2﹣2t﹣3）．
设直线AQ的解析式为：y＝k1x+b1，直线BQ的解析式为：y＝k2x+b2．
∴点D的坐标为（0，b1），点E的坐标为（0，b2），
∴CD＝（t2﹣2t﹣3）﹣b1，CE＝b2﹣（t2﹣2t﹣3）．
∵y＝k1x+b1，y＝x2+（2t﹣2）x+t2﹣2t﹣3，
∴x2+（2t﹣2﹣k1）x+t2﹣2t﹣3﹣b1＝0，
∴xA•xQ＝t2﹣2t﹣3﹣b1①．
同理：xB•xQ＝t2﹣2t﹣3﹣b2②．
由②÷①，得：＝＝﹣，
∴＝﹣，
∵2CE＝3CD，
∴＝，
∴＝﹣，
∴＝﹣，
∴t＝．
11．解：（1）∵过点D作DH⊥x轴于点H，如图所示：
∵D（2，3），
∴OH＝2，DH＝3，
∵tan∠DBA＝，
∴DH：BH＝1：2，
∴BH＝6，
∴OB＝6﹣2＝4，
∴B（﹣4，0），
将点B，D坐标代入抛物线解析式，
得，
解得，
∴抛物线的解析式：．
（2）①过点D作DP∥AB交抛物线于点P，如图所示：
则有∠PDB＝∠ABD，
当＝3时，解得x＝2或x＝﹣5，
∴P（﹣5，3）；
②设PD交x轴于点M，
∵∠PDB＝∠ABD，
∴MB＝MD，
设M（m，0），
∴MB＝m+4，MD＝，
∴m+4＝，
解得m＝，
∴M（，0），
设MD的解析式：y＝kx+b，
代入M，D点坐标，得，
解得，
∴直线MD的解析式：．
联立，
解得x＝2或x＝，
∴P（，），
综上，P点坐标为（﹣5，3）或（，）．
（3）存在，如下图所示：
设直线x＝﹣2与x轴交于点G，与直线AC交于点F．
令＝0，解得x＝1或x＝﹣4，
∴A（1，0），
当x＝0时，＝﹣2，
∴C（0，﹣2），
设AC的解析式：y＝kx+b，
将点A和C点坐标代入解析式，
得，
解得，
∴AC的解析式：y＝2x﹣2，
当x＝﹣2时，y＝﹣4﹣2＝﹣6，
∴F（﹣2，﹣6），
设⊙Q与直线AC相切于点E，则∠QEF＝∠AGF＝90°，
∵∠AFG＝∠QFE，
∴△AFG∽△QFE，
∴，
设Q（﹣2，n），
则QF＝n+6，QE＝QO＝，AF＝，AG＝3，
代入可得
解得n＝4或n＝﹣1．
∴Q（﹣2，4）或（﹣2，﹣1），
∴存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q的坐标为（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．
12．解：（1）∵四边形OABC为矩形，C（0，3），
∴BC∥OA，点D的纵坐标为3，
∵y＝﹣x+与BC边相交于点D，
∴﹣x+＝3，
解得x＝2，
∴点D的坐标为（2，3）；
（2）∵若抛物线y＝ax2+bx经过A（6，0）、D（2，3）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式y＝﹣x2+x；
（3）如图：
抛物线y＝﹣x2+x的对称轴为x＝3，设对称轴x＝3与x轴交于点P1，
∴BA∥MP1，
∴∠BAD＝∠AMP1．
①∵∠AP1M＝∠ABD＝90°，
∴△ABD∽△MP1A，
∴P1（3，0），
②当∠MAP2＝∠ABD＝90°时，△ABD∽△MAP2，
∴∠AP2M＝∠ADB，
∵AP1＝AB＝3，∠AP1P2＝∠ABD＝90°，
∴△AP1P2≌△ABD（AAS），
∴P1P2＝BD＝4，
∵点P2在第四象限，
∴P2（3，﹣4）．
答：符合条件的点P有两个，P1（3，0）、P2（3，﹣4）．
13．解：（1）将（0，1）代入y＝﹣x2+4ax﹣4a﹣1得：
﹣4a﹣1＝1，
解得a＝﹣；
（2）P（a，y0）代入y＝﹣x2+4ax﹣4a﹣1得：y0＝3a2﹣4a﹣1，
∴y0＝3（a﹣）2﹣，
∴y0的最小值为﹣；
（3）函数y＝﹣x2+4ax﹣4a﹣1＝﹣（x﹣2a）2+4a2﹣4a﹣1，
当图象G的顶点落在直线y＝2a﹣1上时，4a2﹣4a﹣1＝2a﹣1，
解得a＝0或a＝，
图象G与直线x＝a交点坐标为（a，3a2﹣4a﹣1），
a＞0时，
3a2﹣4a﹣1＞2a﹣1，满足条件，解得a＜0（舍）或a＞2；
a＜0时，3a2﹣4a﹣1＞2a﹣1，满足条件，解得a＜0或a＞2（舍）；
综上所述，a≤0或a＝或a＞2；
（4）抛物线顶点（2a，4a2﹣4a﹣1），图象G与直线x＝a交点坐标为（a，3a2﹣4a﹣1），
点A坐标（a+1，3a2﹣2a﹣2），点B（a+1，﹣3a2+2a+2），点C（0，﹣3a2+2a+2），点D（0，3a2﹣2a﹣2），
a+1＝2a时a＝1，
①0＜a＜1时，图象G与直线x＝a交点在线段AD下方时，3a2﹣4a﹣1≤3a2﹣2a﹣2，解得a≥，
∴≤a＜1，
②若a＞1，3a2﹣2a﹣2＝0时，点A落在x轴上，解得a＝或a＝（舍）．
a＞，点A在第一象限，图象G与直线x＝m交点在线段BC下方满足条件，
即3a2﹣4a﹣1≤﹣3a2+2a+2，
解得a＞（舍）或a≤，
∴＜a≤，
综上所述，a＞0时满足条件的a取值范围为：＜a≤或≤a＜1．
14．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2﹣bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（2，0）两点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，过点D作DF∥x轴交直线BC于点F，
在y＝﹣x2+x+2中，令x＝0，得y＝2，
∴C（0，2），
设直线BC的解析式为y＝kx+d，将B、C的坐标代入得：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设D（m，﹣m2+m+2），
则点F的纵坐标为﹣m2+m+2，
∴﹣m2+m+2＝﹣x+2，
∴x＝m2﹣m，
∴F（m2﹣m，﹣m2+m+2），
∴DF＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，
∵A（﹣1，0），B（2，0），
∴AB＝2﹣（﹣1）＝3，
∵DF∥x轴，即DF∥AB，
∴△DEF∽△AEB，
∴＝，即＝＝，
∴﹣m2+2m＝1，
解得：m1＝m2＝1，
∴D（1，2）；
（3）如图2，过点P作PK⊥x轴于点K，过点C作CG∥x轴交PK于点G，过点M作MH∥x轴交PK于点H，过点N作NT∥x轴交PK于点T，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+2，MN∥BC，
∴设直线MN的解析式为y＝﹣x+n，
∴﹣x+n＝﹣x2+x+2，
解得：x1＝1﹣，x2＝1+，
∴M（1﹣，n﹣1+），N（1+，n﹣1﹣），
设点P的横坐标为t，则CG＝t，MH＝t﹣（1﹣）＝t﹣1+，BK＝2﹣t，NT＝1+﹣t，
∵CG∥x轴，MH∥x轴，
∴CG∥MH，
∴△PCG∽△PMH，
∴＝，
∵NT∥x轴，即NT∥BK，
∴△PBK∽△PNT，
∴＝，
∵BC∥MN，
∴＝，
∴＝，
∴BK•MH＝CG•NT，
∴（2﹣t）（t﹣1+）＝t（1+﹣t），
∴2t﹣2+2﹣t2+t﹣t＝t+t﹣t2，
化简得：（t﹣1）（1﹣）＝0，
∵1﹣≠0，
∴t﹣1＝0，
∴t＝1，
∴点P的横坐标为1．
15．解：（1）由题意得，
，
∴，
∴抛物线的表达式是：y＝+x﹣3，
∵2×（﹣）﹣（﹣4）＝3，
∴B（3，0），
∴直线BC的函数表达式是：y＝x﹣3，
∵A（﹣4，0），C（0，﹣3），
∴直线AC的函数表达式是：y＝﹣；
（2）设点P（a，﹣a﹣3），则Q（﹣，﹣），
∴PQ＝﹣﹣a＝﹣，
由PQ＝OA得，
﹣a＝4，
∴a＝﹣，
∴Q（，﹣）；
（3）当y＝m时，
由x﹣3＝m得，
∴x＝m+3，
∴Q（m+3，m），
由﹣＝m得，
x＝﹣，
∴P（﹣m﹣4，m），
∴OF＝﹣m，PF＝，FQ＝m+3，
∵∠PFO＝∠QFO＝90°，
∴当＝时，即：OF2＝PF•FQ，
△PFO∽△OFQ，
∴∠OPF＝∠FOQ，
∵∠PFO＝90°，
∴∠OPF+∠POF＝90°，
∴∠FOQ+∠POF＝90°，
∴∠POF＝90°，
即△OPQ是直角三角形，
∴（﹣m）2＝（m+4）•（m+3），
∴m1＝6﹣12，m2＝﹣6﹣12（舍去）．
∴m＝6﹣12．
16．解：（1）将A（1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2得，
解得，
∴y＝﹣x2+x﹣2．
（2）当m＝0时，C2图象是C1图象沿x轴翻折，
∴C2解析式为y＝x2﹣x+2，
∵A（1，0），B（4，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝，
设点M坐标为（t，﹣t2+t﹣2），
则点P坐标为（t，t2﹣t+2），点Q坐标为（5﹣t），
∴MP＝﹣t2+t﹣2﹣（t2﹣t+2）＝﹣t2+5t﹣4，QP＝5﹣t﹣t＝5﹣2t，
∴矩形周长为2（MP+QP）＝2（﹣t2+5t﹣4+5﹣2t）＝2（﹣t2+3t+1）＝﹣2（t﹣）2+，
∴当t＝时，矩形最大周长为．
（3）①∵y＝﹣x2+x﹣2＝﹣（x﹣）2+，
∴C1图象的顶点为（，），
∵抛物线C2是由抛物线C1沿直线y＝m翻折，
∴C2顶点坐标为（，2m﹣），
∴C2解析式为y＝（x﹣）2+2m﹣，
将x＝0代入y＝﹣x2+x﹣2得y＝﹣2，
∴点C坐标为（0，﹣2），
设直线BC解析式为y＝kx+b，
将（0，﹣2），（4，0）代入y＝kx+b得，解得，
∴y＝x﹣2，
令（x﹣）2+2m﹣＝x﹣2，整理得x2﹣3x+2m+4＝0，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×（2m+4）＝0，
解得m＝．
②∵m＝，
∴C2解析式为y＝（x﹣）2﹣，
∴C2顶点坐标为（，﹣），
∵点A，B关于抛物线对称轴对称，
∴点F为C2顶点（，﹣）时满足题意，
当点F在x轴上方，由∠BAF＝∠ABC可得直线AF∥直线BC，
设直线AF为y＝x+n，
将A（1，0）代入y＝x+n得0＝+n，
解得n＝﹣，
∴y＝x﹣，
令x﹣＝（x﹣）2﹣，
解得x1＝3﹣，x2＝3+，
将x＝3+代入y＝x﹣得y＝1+，
∴点F坐标为（3+，1+），
综上所述，点F坐标为（，﹣）或（3+，1+）．
17．解：（1）由已知得：C（0，﹣3），A（﹣1，0）设该表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）．
将C点的坐标代入得：a＝1，
∴所以这个二次函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，﹣3）．
理由：由（1）得D（1，﹣4），
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴E点的坐标为（﹣3，0），
由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF，
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
∴存在点F，坐标为（2，﹣3）．
方法二：由（1）得D（1，﹣4），
∴直线CD的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴E点的坐标为（﹣3，0），
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
∴F点的坐标为（2，﹣3）或（﹣2，﹣3）或（﹣4，3），
代入抛物线的表达式检验，只有（2，﹣3）符合，
∴存在点F，坐标为（2，﹣3）．
（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得R＝．
②当直线MN在x轴下方时，设圆的半径为r（r＞0），则N（r+1，﹣r），
代入抛物线的表达式，解得r＝．
∴圆的半径为或．
18．解：（1）①当k＝﹣，b＝时，y＝﹣x+，
联立方程组，
解得x＝1或x＝﹣2，
∴A（﹣2，3），B（1，1）；
②过点B作BQ⊥AB交AP于点Q，过点B作EF∥x轴，过点A作AE⊥EF交于点E，过点Q作QF⊥EF交于点F，
∵∠ABE+∠FBQ＝90°，
∵∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠FBQ＝∠BAE，
∴△ABE∽△BQF，
∴＝＝，
∵tan∠PAB＝2，
∴＝2，
∴＝＝2，
设Q（t，s），
∵A（﹣2，3），B（1，1），
∴AE＝2，BF＝t﹣1，BE＝3，QF＝s﹣1，
∴＝2，＝2，
∴t＝5，s＝7，
∴Q（5，7），
设直线AQ的解析式为y＝k'x+b'，
∴，
∴，
∴y＝x+，
联立方程组，
解得x＝或x＝﹣2，
∴P点横坐标为；
（2）存在P点，使OM•ON＝，理由如下：
设P（m，m2+），
设直线AP的解析式为y＝k1x+b1，
∴，
解得，
∴y＝（m﹣2）x+m+，
∴M（，0），
设直线BP的解析式为y＝k2x+b2，
∴，
∴，
∴y＝（m+1）x+﹣m，
∴N（，0），
∵OM•ON＝，
∴•＝，
解得m＝或m＝﹣，
∵P点在第一象限，
∴m＝，
∴P（，）．
19．解：（1）∵直线y＝﹣x+交于C点，点C在y轴上，
∴C（0，），
将点A（3，2），C（0，）代入y＝﹣+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣+x+；
（2）设D（t，﹣t2+t+），则E（t，﹣t+），
∴DE＝﹣t2+t++t﹣＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，
∴当t＝2时，DE的长度最大为2，
此时D（2，），
∵y＝﹣+x+＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的解析式为直线x＝1，
∵C（0，），
∴C点、D点关于直线x＝1对称，
连接AC交对称轴于点P，
∴PD＝PC，
∴PD+PA＝PC+PA≥AC，
∴当C、P、A三点共线时，PA+PD的值最小，
∴AC＝，
∴PA+PD的最小值为；
（3）存在点Q，使∠AQM＝45°，理由如下，
由（2）可得M（1，4），
设Q（0，t），
过点A作AH垂直对称轴x＝1，交于点H，
∴AH＝HM＝2，
∴H（1，2），
∴M、A两点在以H为圆心，2为半径的圆上，
∵∠MHA＝90°，
∴圆H与y轴的交点为Q点，
∴∠MQA＝45°，
∴QH＝2，
∴2＝，
∴t＝2+或t＝2﹣，
∴Q点坐标为（0，2+）或（0，2﹣）．
20．（1）证明：连接MC，如图：
∵⊙M与y轴相切于点C，
∴CM⊥OC，
∴∠MCO＝90°，
又∵∠ACD＝90°，
∴∠ACM+∠MCD＝90°，
又∵DM＝CM，
∴∠MCD＝∠ADC，
∴∠ACM+∠ADC＝90°，
又∵∠OCA+∠ACM＝∠MCO＝90°，
∴∠OCA＝∠ADC，
又∵，
∴∠ADC＝∠OBC，
∴∠OCA＝∠OBC；
（2）解：∵∠OCA＝∠OBC，∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴△OCA∽△OBC，
∴＝，
∴OC2＝OA⋅OB，
又∵x1⋅x2＝4，即OA•OB＝4，
∴OC2＝4，
∴OC＝2（OC＝﹣2舍去），
∴C（0，2），
∵x1+x2＝5，x1⋅x2＝4，
∴，，
∴b＝﹣5a，c＝4a，
∴y＝ax2﹣5ax+4a，
把C（0，2）代入得：
4a＝2，
解得a＝，
∴y＝x2﹣x+2；
（3）解：由两点之间线段最短可得，P为对角线BC与AD的交点时，PA+PB+PC+PD最小值是AD+BC，过P作PK⊥AB于K，如图：
∵△ACD≌△ABD，
∴∠CAD＝∠BAD，AB＝AC，∠ABD＝∠ACD＝90°，
∵AP＝AP，
∴△ACP≌△ABP（SAS），
∴∠APC＝∠APB＝90°，∠ABP＝∠ACP，CP＝BP，
∴∠APC＝90°＝∠AOC，
由（1）知∠OCA＝∠OBC，
∴∠OCA＝∠ACP，
又AC＝AC，
∴△AOC≌△APC（AAS），
∴∠OAC＝∠CAP，OA＝AP＝n，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴∠OAC＝∠CAD＝∠BAD＝60°，
在Rt△APK中，
AK＝AP•cos60°＝n，PK＝AP•sin60°＝n，
∴OK＝OA+AK＝n，
∴P（n，n），
∵CP＝BP，PK∥OC，
∴BK＝OK＝n，
在Rt△BPK中，
BP＝＝＝n，
∴BC＝2BP＝2n，
在Rt△ABD中，AB＝AK+BK＝n+n＝2n，
AD＝＝4n，
∴AD+BC＝4n+2n＝（4+2）n，
即PA+PB+PC+PD的最小值为（4+2）n．
答：PA+PB+PC+PD的最小值为（4+2）n，P（n，n）．
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