数学必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系达标测试

2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系

一、概念练习

1.已知是方程的两个根,则的值为()

A.8 B.5 C.3 D.2

2.若代数式与代数式的值相等,则的值是()

A.或3 B.2或3 C.或6 D.1或

3.已知是一元二次方程的两个实根,则的值为()

A. B. C. D.36

4.已知一元二次方程的两根分别是4和,则这个一元二次方程可以是()

A. B. C. D.

5.一元二次方程的根的情况是()

A.无实数根  B.有一个正根,一个负根

C.有两个正根,且都小于3 D.有两个正根,且有一根大于3

二、能力提升

6.已知是方程的两个实数根，则的值为(   )

A. -1   B.   C.   D. 1

7.已知为方程的两根，则( )

A. 11 B.7 C.40 D.32

8.一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(   )

A. B. C. D.

9.若是一元二次方程的两个根,则的值是(  )

A.4 B.5 C.6 D.12

10.方程的解集为.

11.填空：

(1)方程的解集为______________；

(2)方程的解集为_______________.

12.设方程的两个根为，则.

13.若m是方程的一个根，则.

14.已知关于的方程有实数根.

(1)求实数的取值范围；

(2)如果这个方程的两个实数根的倒数和的平方等于8,求实数的值.

15.已知是关于的方程的两个实数根.

(1)是否存在实数,使成立?若存在,求出的值；若不存在,请说明理由.

(2)求使为负整数时实数的值.

答案以及解析

1.答案：A

解析：是方程的两个根,.

2.答案：B

解析：由题意,得,即,即,解得或3.故选B.

3.答案：A

解析：由题意得.故选A.

4.答案：D

解析：方法一设所求方程为,则由题意,可得,即,验证四个选项,只有D项符合条件.

方法二根据题意可知所求方程为,即,当时,方程为,故D符合条件.

5.答案：D

解析：一元二次方程化简得,所以方程的两根为.又,,所以该方程有两个正根,且有一根大于3.故选D.

6.答案：C

解析：因为是方程的两个实数根，所以,所以,故选C.

7.答案：C

解析：由题意，可得,所以

8.答案：C

解析：一元一次方程有一个正根和一个负根，

解得.

故满足题意的a的取值集合应是集合的真子集，结合选项可知选C.

9.答案：C

解析：是一元二次方程的两个根,是的一个根,,,.故选C.

10.答案：

解析：因为,所以该方程有两个不相等的实数根，由求根公式，可得

,,所以该方程的解集为.

11.答案：(1)；

(2).

解析：(1)方法一(十字相乘法)原方程可化为,解得方程的解集是.

方法二(配方法),即,解得方程的解集是.

方法三(公式法)原方程可化为,方程的解集是.

(2)①当时,原方程可化为,即,解得或；②当时,原方程可化为,即,解得或.因此,原方程的解集为.

12.答案：

解析：由根与系数的关系，得，则

13.答案：2

解析：是方程的一个根，，即.

14.答案：(1)当时,方程为,解得,符合题意；

当时,,解得.

综上,实数的取值范围为.

(2)设方程的两个实数根为,则,,

所以,解得或,

由(1)知当方程有两个实数根时,,且,所以.

15.答案：(1)根据题意,得,解得,且.

由根与系数的关系,得.

由,得,

所以,解得.

故存在,使成立.

(2)因为为负整数,

所以为或或或,解得或8或9或12.