高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.1 函数的概念与性质3.1.2 函数的单调性第1课时随堂练习题

3.1.2　函数的单调性

第1课时　函数的单调性

必备知识基础练

1.(多选题)如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中正确的是(　　)

A.>0

B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0

C.f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b)

D.f(x1)>f(x2)

2.下列有关函数单调性的说法,不正确的是(　　)

A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则f(x)+g(x)为增函数

B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为减函数

C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)为增函数

D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则f(x)-g(x)为减函数

3.已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)<f(1-a),则实数a的取值范围是(　　)

A.,+∞ B.,1

C.(0,2) D.(0,+∞)

4.已知函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是　　　　　. 

5.判断并证明函数f(x)=-+1在(0,+∞)上的单调性.

关键能力提升练

6.定义在R上的函数y=f(x)关于y轴对称,且在[0,+∞)内是增函数,则下列关系成立的是 (　　)

A.f(3)<f(-4)<f(-π) 

B.f(-π)<f(-4)<f(3)

C.f(-4)<f(-π)<f(3) 

D.f(3)<f(-π)<f(-4)

7.已知f(x)=在区间(-2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是　　　　　　　　. 

8.函数f(x)对任意的a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,f(x)>1.

(1)求证:f(x)是R上的增函数;

(2)若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)<3.

学科素养创新练

9.如果函数y=f(x)(x∈D)满足:

(1)f(x)在D上是单调函数;

(2)存在闭区间[a,b]⊆D,使f(x)在区间[a,b]上的值域也是[a,b].

那么就称函数y=f(x)为闭函数.

试判断函数y=x2+2x在[-1,+∞)上是否为闭函数.如果是闭函数,那么求出符合条件的区间[a,b];如果不是闭函数,请说明理由.

参考答案

3.1.2　函数的单调性

第1课时　函数的单调性

1.AB　由函数单调性的定义可知,若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数,则x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,由此可知,选项A,B正确;对于选项C,D,因为x1,x2的大小关系无法判断,则f(x1)与f(x2)的大小关系也无法判断,故C,D不正确.

2.C　根据不等量的关系,两个相同单调性的函数相加单调性不变,选项A,B正确;对于选项D,g(x)为增函数,则-g(x)为减函数,f(x)为减函数,f(x)+(-g(x))为减函数,选项D正确;对于选项C,若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的单调性不确定.例如f(x)=x+2为R上的增函数,当g(x)=-x时,f(x)+g(x)=+2在R上为增函数;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数,故不能确定f(x)+g(x)的单调性.故选C.

3.B　因为函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)<f(1-a),所以解得<a<1,所以实数a的取值范围是,1.故选B.

4.[0,1]　当a=0时,f(x)=x,显然f(x)在[1,+∞)上是增函数;当a≠0时,所以0<a≤1.

综上所述,a的取值范围是[0,1].

5.解函数f(x)=-+1在(0,+∞)上是增函数.证明如下:设x1,x2是(0,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=,

由x1,x2∈(0,+∞),得x1x2>0,

又由x1<x2,得x1-x2<0,

于是f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

∴f(x)=-+1在(0,+∞)上是增函数.

6.D　依题意得f(-π)=f(π),f(-4)=f(4),又f(x)在[0,+∞)内是增函数,所以f(3)<f(π)<f(4),即f(3)<f(-π)<f(-4),故选D.

7.　设x1,x2是(-2,+∞)内的任意两个不相等的实数,且-2<x1<x2,则f(x2)-f(x1)=.

∵-2<x1<x2,∴x2-x1>0,(x1+2)(x2+2)>0.

∴>0.

又f(x)在(-2,+∞)上为增函数,

∴f(x2)-f(x1)>0,∴2a-1>0,即a>.

即实数a的取值范围是.

8.(1)证明设x1<x2,且x1∈R,x2∈R.

则Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1),

由已知得f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1,

∴Δy=f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1.

∵x1<x2,∴x2-x1>0.∴f(x2-x1)>1.

∴f(x2-x1)-1>0.∴Δy>0.

∴f(x)是R上的增函数.

(2)解令a=b=2,则f(4)=f(2)+f(2)-1=5,

∴f(2)=3.

∴原不等式可化为f(3m2-m-2)<f(2).

由(1)得3m2-m-2<2,

∴3m2-m-4<0.∴(3m-4)(m+1)<0.

∴-1<m<.∴原不等式的解集为.

9.解设x1,x2是[-1,+∞)内的任意两个不相等的实数,且-1≤x1<x2,则有f(x2)-f(x1)=(+2x2)-(+2x1)=()+2(x2-x1)=(x2-x1)(x1+x2+2).

∵-1≤x1<x2,∴x2-x1>0,x1+x2+2>0.

∴(x2-x1)(x1+x2+2)>0.∴f(x2)>f(x1).

∴函数y=x2+2x在[-1,+∞)内是增函数.

假设存在符合条件的区间[a,b],则有

解得

又-1≤a<b,∴

∴函数y=x2+2x在[-1,+∞)内是闭函数,符合条件的区间是[-1,0].