高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用习题

2.2.4　均值不等式及其应用

必备知识基础练

1.已知0<x<1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为(　　)

A. B. C. D.

2.(多选题)已知a>1,b>1,且ab-(a+b)=1,那么下列结论正确的有(　　)

A.a+b有最大值2+2

B.a+b有最小值2+2

C.ab有最大值+1

D.ab有最小值2+3

3.已知a,b是不相等的正数,x=,y=,则x,y的关系是(　　)

A.x>y B.x<y 

C.x>y D.y<x

4.(多选题)已知a>0,b>0,则下列不等式中正确的是(　　)

A.ab≤ B.ab≤

C. D.

5.(2021广东广州第二中学高一期末)已知x<3,则y=+x的最大值是　　　　. 

6.已知x>0,y>0,且满足=1,则xy的最大值为　　　　　,取得最大值时y的值为　　　　　. 

7.已知a,b,c为正数,求证:≥3.

关键能力提升练

8.(多选题)下列说法正确的是(　　)

A.x+的最小值为2

B.x2+1的最小值为1

C.3x(2-x)的最大值为2

D.x2+的最小值为2-2

9.已知当x=a时,代数式x-4+(x>-1)取得最小值b,则a+b=(　　)

A.-3 B.2 C.3 D.8

10.已知a>b>c,则的大小关系是　　　　　　　　　　. 

11.已知正数x,y满足x+y=2,则的最小值是　　　　　. 

12.已知不等式(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,求正实数a的最小值.

学科素养创新练

13.若a>0,b>0,且(a+b)=1.

(1)求ab的最大值;

(2)是否存在a,b,使得的值为?并说明理由.

参考答案

2.2.4　均值不等式及其应用

1.B　∵0<x<1,∴1-x>0.

∴x(1-x)≤,当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立.

2.BD　令a+b=s,ab=t,由题意可得s>2,t>1,t-s=1,由均值不等式得s≥2,则t-1≥2,由t>1可得t2-2t+1≥4t,则t≥3+2,当且仅当a=b=+1时,等号成立;s≥2,由s>2可得s2-4s-4≥0,则s≥2+2,当且仅当a=b=+1时,等号成立.故选BD.

3.B　x2==a+b,y2=a+b,

∴x2<y2,∵x>0,y>0,∴x<y.

4.ABC　由均值不等式知A,C正确,ab≤变形得到(a-b)2≥0,可知B正确,由≥ab,得ab≤,

∴,故选ABC.

5.-1　因为x<3,所以f(x)=3-(3-x)+≤3-2=3-4=-1.当且仅当3-x=,即x=1时等号成立.故y的最大值是-1.

6.3　2　因为x>0,y>0且1=≥2,所以xy≤3.当且仅当,即x=,y=2时等号成立.

7.证明左边=-1+-1+-1=-3.

∵a,b,c为正数,

∴≥2(当且仅当a=b时等号成立);

≥2(当且仅当a=c时等号成立);

≥2(当且仅当b=c时等号成立).

从而≥6(当且仅当a=b=c时等号成立).

∴-3≥3,

即≥3.

8.BD　当x<0时,x+<0,故选项A错误;∵x2≥0恒成立,∴x2+1≥1,故选项B正确;∵3x(2-x)=-3(x-1)2+3≤3,当x=1时等号成立,∴3x(2-x)的最大值为3,故选项C错误;∵x2+=(x2+2)+-2≥2-2=2-2,当且仅当x2+2=时,等号成立,故选项D正确.故选BD.

9.C　令y=x-4+=x+1+-5,由x>-1,得x+1>0,>0,所以由均值不等式得y=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.

10.　∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴.

当且仅当b=时等号成立.

11.　因为正数x,y满足x+y=2,则+2,当且仅当,即y=x时,等号成立,由y=x且x+y=2解得x=2-2,y=4-2,所以当x=2-2,y=4-2时,取得最小值.

12.解∵(x+y)=1+a+,

又x>0,y>0,a>0,∴≥2=2,

∴1+a+≥1+a+2,

∴要使(x+y)≥9对任意正实数x,y恒成立,只需1+a+2≥9恒成立即可.

∴(+1)2≥9,即+1≥3,∴a≥4,∴正实数a的最小值为4.

13.解(1)∵(a+b)=1,∴(a+b)=.

∵a>0,b>0,∴a+b≥2,当且仅当a=b时,等号成立,

∴≥2,∴ab≤.

当且仅当a=b时取等号,∴ab的最大值为.

(2)不存在.理由如下,

∵a>0,b>0,∴≥2,当且仅当a=b时,等号成立.

∵,∴不存在a,b使得的值为.