高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.1 等式2.1.1 等式的性质与方程的解集精练

【优选】2.1.1等式的性质与方程的解集作业练习

一、单选题

1．若多项式可以因式分解为，则实数的值为（    ）

A．5 B． C．11 D．

2．已知集合，则满足条件的集合的个数为（  ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知关于的方程的解集为，则实数的值（    ）

A．0 B．1

C． D．

4．下列变形错误的是（    ）

A．如果，则 B．如果，则

C．如果，则 D．如果，则

5．设集合，若，则

A．1 B． C． D．-1

6．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是（    ）

A． B．

C． D．

7．一元二次方程的解集是（    ）

A． B． C． D．

8．下列变形中错误的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

9．某市长期追踪市民的经济状况，依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.统计数据表明该市高收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍，且高收入市民中每年有会转变为低收入市民.那么该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比是（    ）

A． B． C． D．

10．不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知则该方程的整数解有（    ）组．

A．1 B．2 C．3 D．4

11．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子来量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是

A． B．

C． D．

12．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ）

A．如果，那么 B．如果 ，那么

C．如果，那么  D．如果，那么

13．已知集合，，则

A． B． C． D．

14．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ）

A．如果，那么 B．如果，那么

C．如果，那么 D．如果，那么

15．若实数、满足，，则的值是（    ）

A． B．2 C．2或 D．

参考答案与试题解析

1．A

【分析】将展开，由此求得实数的值.

【详解】由题意得，

.故选:A.

【点睛】本小题主要考查多项式乘法的展开运算，属于基础题.

2．D

【详解】求解一元二次方程，得

，易知.

因为，所以根据子集的定义，

集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4，

原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.

【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.

3．C

【分析】先对方程整理得，再由解集为空集可得，从而可求出实数的值

【详解】由，得，

因为关于的方程的解集为，

所以，得，

故选：C

4．B

【解析】A．等式两边同时加上或减去一个相同数，等号保持不变，据此分析；

B．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析；

C．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析；

D．等式两边同时乘以一个数，等号保持不变，据此分析.

【详解】A、，两边都加，得，故A正确；

B、时，两边都除以无意义，故B错误；

C、因为，方程两边同除以，得，故C正确；

D、两边都乘以，故D正确；

故选：B．

5．A

【分析】由得且，把代入二次方程求得，最后对的值进行检验.

【详解】因为，所以且，

所以，解得.

当时，，显然，所以成立，故选A.

【点睛】本题考查集合的交运算，注意求出参数的值后要记得检验.

6．D

【分析】根据题意可得等量关系：绳索长竿长尺，竿长绳索长的一半尺，根据等量关系可得方程组．

【详解】解：因为绳索长尺，竿长尺，由题意得：

，

故选：D

7．C

【分析】将一元二次方程因式分解后，求得方程的解集.

【详解】，即，所以或，

解得，.

故选:C.

【点睛】本小题主要考查提公因式法求一元二次方程的解集，属于基础题.

8．D

【分析】根据等式的性质对选项逐一分析，由此确定变形错误的选项.

【详解】根据等式的性质易知A，B，C正确；对于D，当时，两边都除以无意义，故本选项错误.

故选:D.

【点睛】本小题主要考查等式的性质，考查等式的恒等变换，属于基础题.

9．C

【分析】设原来低收入市民人口为，则高收入市民人口为，设该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比为，然后由题意列方程可求得结果

【详解】解：设原来低收入市民人口为，则高收入市民人口为，设该市每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比为，

则由题意可得，

解得，

故选：C

10．D

【分析】原方程可化为，所以即，再列举每种情况即可.

【详解】设此方程的解为有序数对，

因为

所以

当或时，等号是不能成立的，

所以即，

（1）当时，即

（2）当时，即或

（3）当时，即

综上所述，共有四组解

故选：D

11．A

【分析】绳索长尺，竿长尺，根据索比竿子长一托.折回索子来量竿，却比竿子短一托，即可得到关于，的二元一次方程组．

【详解】绳索长尺，竿长尺，由绳索比竿长5尺可得；

由绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺可得，

由此可得方程组

故选A.

【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．

12．B

【分析】A.由时判断；B.由等式的性质判断；C.由时判断；D.由，得到或判断.

【详解】如果，当时，那么不成立，故A错误；

如果 ，由等式的性质知，故B正确；

如果当时，那么 不成立，故C错误；

如果，那么或，故D错误.

故选：B.

【点睛】本题主要考查等式的性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.

13．D

【分析】求得集合，，根据集合的并集运算，即可求解，得到答案．

【详解】由题意，集合，，

所以.故选D.

【点睛】本题主要考查了集合的表示，以及集合的并集运算，其中解答中正确求解集合，准确利用集合的并集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

14．D

【分析】取，可判断A；或，可判断B；取，可判断C；利用等式的性质，可判断D

【详解】选项A，当时，显然不成立；

选项B，如果，那么或，显然不成立；

选项C，当时，无意义，不成立；

选项D，如果，则，故，即，成立

故选：D

15．C

【分析】当时，计算出所求表达式的值为，当时，根据已知可知是方程的解，由此写出根与系数关系，化简所求表达式，由此求得表达式的值.进而求得正确选项.

【详解】①当时，；

②当时，因为实数、满足，所以、可看成是方程的解，所以，.

，

把，代入得.

综上，的值为2或.

故选C.

【点睛】本小题主要考查根与系数关系，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.