人教B版 (2019)2.2.4 均值不等式及其应用课后测评

【特供】2.2.4均值不等式及其应用作业练习

一、单选题

1．若实数a，b满足ab＞0，则的最小值为（    ）

A．8 B．6 C．4 D．2

2．数学里有一种证明方法叫做，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，三角形为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ）

A． B．

C． D．

3．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x（件）与单价P（元）之间的关系为，生产x件所需成本为C（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x的取值范围是

A． B． C． D．

4．已知实数x，y满足，那么的最大值为（    ）

A． B． C．1 D．2

5．已知，，条件，条件，则是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知，则的最小值为（    ）

A．25 B．26 C．27 D．28

7．已知，，若，则的最小值为（    ）

A．14 B．16 C．18 D．20

8．一服装厂生产某种风衣，日产量为件时，售价为元/件，每天的总成本为元，且，，要使获得的日利润不少于1300元，则的取值范围为

A． B．

C． D．

9．若，，且，恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．或

C．或 D．

10．已知，满足，则的最小值是（　　）

A． B． C．2 D．2

11．已知m,n∈R, ,则mn的最大值是

A．100 B．50 C．20 D．10

12．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为

A．12元 B．16元 C．12元到16元之间 D．10元到14元之间

13．已知，那么函数有（    ）

A．最大值2 B．最小值2 C．最小值4 D．最大值4

14．若正数满足，则的最小值是（    ）

A． B． C．5 D．6

15．若正数满足，则的最小值为（    ）

A．4 B．6 C．9 D．16

参考答案与试题解析

1．C

【分析】先用基本不等式得，然后再用基本不等式求得最小值．

【详解】实数a，b满足ab＞0， 则， 当且仅当且，即或时等号成立．

故选：C．

【点睛】本题考查用基本不等式求最值，在多次应用基本不等式时，注意每个地方的等号成立的条件，它们要一致，最后的最值才能取到．

2．A

【分析】由已知条件得出为等腰直角三角形，从而可分别求出图1和图2阴影部分面积，根据阴影部分的面积关系即可求出答案.

【详解】由四边形为矩形，三角形为等腰直角三角形，可推出三角形也为等腰直角三角形，

所以图1的阴影部分面积，

图2阴影部分的面积，

由两图阴影部分面积关系直观得出，即，当且仅当时，等号成立.

故选：A.

3．B

【详解】设该厂每天获得的利润为元，

则，，

根据题意知，，解得：，

所以当时，每天获得的利润不少于元，故选．

点睛：考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．

4．C

【分析】根据重要不等式即可求最值，注意等号成立条件.

【详解】由，可得，当且仅当或时等号成立.

故选：C.

5．A

【分析】利用“1”的妙用探讨命题“若p则q”的真假，取特值计算说明“若q则p”的真假即可判断作答.

【详解】因，，由得：，则，

当且仅当，即，时取等号，因此，，

因，，由，取，则，，即，，

所以是的充分不必要条件.

故选：A

6．A

【分析】利用“乘1法”即得.

【详解】∵，

∴，

当且仅当，即时等号成立．

故选：A.

7．B

【分析】利用“1”代换求解即可.

【详解】因为，，且，

所以，

当且仅当 时，即 时等号成立.

所以的最小值为16.

故选：B.

8．D

【分析】根据题意，首先要明白，利润＝日总收入－日总成本＝售价日产量－日总成本，即可列出函数解析式，再依条件列出不等式求解即可．

【详解】设日利润为元，则，由，解得，即的取值范围为.

故选D．

【点睛】本题主要考查学生数学建模能力以及运用所学知识解决问题的能力，关键点是读懂题意，能找出关系列出方程．

9．A

【分析】先由基本不等式求出的最小值，进而列出关于的一元二次不等式，可求解.

【详解】因为，

由基本不等得

当且仅当时，等号成立，所以的最小值为8

由题可知， 即 ，解得，

故选：A

10．D

【分析】将给定等式变形为，，再代入并结合均值不等式求解作答.

【详解】由，得，而，则有，

因此，，当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值为2.

故选：D

11．B

【分析】直接利用重要不等式求解．

【详解】由题意：m,n∈R，

∵

∴100．

解得：mn≤50

所以：mn的最大值为50．

故选B．

【点睛】本题考查了重要不等式的性质的运用．属于基础题．

12．C

【解析】设销售价定为每件元,利润为,根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于的一元二次不等式,解不等式即可求得每件销售价的范围.

【详解】设销售价定为每件元,利润为

则

依题意,得

即,解得

所以每件销售价应定为12元到16元之间

故选:C

【点睛】本题考查了二次函数与一元二次不等式的关系,一元二次不等式的解法,属于基础题.

13．B

【分析】利用基本不等式，即可得到答案；

【详解】

，等号成立当且仅当，

函数的最小值2，

故选：B.

14．C

【分析】利用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件.

【详解】，当且仅当时等号成立，

∴的最小值是5.

故选：C

15．A

【分析】利用已知条件把变形成积为定值的形式，然后利用基本不等式可求得最小值.

【详解】方法一：由，可得，

所以.

由为正数且，可得，

所以，

当且仅当，即时等号成立.

故选：A.

方法二：由，可得，，

所以，

当且仅当，即时等号成立.

故选：A.

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键是凑出积或和为定值.