数学选择性必修 第二册4.2.5 正态分布课后作业题

【名师】4.2.5 正态分布课堂练习

一．单项选择

1．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据（单位：）服从正态分布，且，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记不在的人数为，则（    ）

A． B．

C． D．

2．设随机变量的分布列如下：

则下列说法错误的是（    ）

A．当为等差数列时，

B．数列的通项公式可能为

C．当数列满足（）时，

D．当数列满足（）时，

3．随机变量的分布列如下表，其中，且，则（    ）

A． B． C． D．

4．袋中有大小相同的5个球，分别标有1，2，3，4，5五个号码，现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球的号码之和为随机变量X，则X所有可能取值的个数是（    ）

A．5 B．9 C．10 D．25

5．设随机变量服从正态分布，若，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．2

6．已知离散型随机变量的概率分布列如下：

则实数等于（    ）

A． B． C． D．

7．已知随机变量，，则（    ）

A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8

8．泊松分布是一种离散概率分布由法国数学家西莫恩·德尼·泊松于年发表，适合于描述单位时间内随机事件发生的次数.泊松分布的概率函数为，是自然对数的底数，是泊松分布的均值.用于制造核武器和核反应堆的钚是钚的同位素，一纳克钚每秒平均发生次放射性衰变，假设衰变次数服从泊松分布，则秒内一纳克钚恰好发生次放射性衰变的概率约为（    ）（参考数据：，）

A． B． C． D．

9．一道试题，甲解出的概率为，乙解出的概率为.设解出该题的人数为X，则D(X)等于（   ）

A． B．

C． D．

10．袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球.从袋中任取3个球，所取的3个球中至少有1个红球的概率为（    ）

A． B．

C． D．

11．在中国共产党建党100年之际，我校团委决定举办“鉴史知来"读书活动，经过选拔，共10人的作品被选为优秀作品，其中高一年级5人，高二年级5人，现采取抽签方式决定作品播出顺序，则高二年级5名同学的作品在前7顺位全部被播放完的概率为（    ）

A． B． C． D．

12．若随机变量的分布列如表：

则（    ）

A． B． C． D．

13．若随机变量，则有如下结论：，，，X～N（120，100），高二（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩，理论上说在130分～140分之间人数约为（    ）

A．7 B．5 C．10 D．12

14．已知随机变量，若，则等于（）

A． B． C． D．

15．已知随机变量的分布列如下表，若，则（    ）

A． B． C．或 D．或

参考答案与试题解析

1．【答案】D

【解析】分析：根据正态分布求得特定区间的概率；由题知，不在的概率为，则，从而求得期望，方差及概率.

详解：由，则

则，故A错误；

由题知，不在的概率为，则，

则，故B错误；

，故C错误；

，故D正确；

故选：D

2．【答案】C

【解析】分析：由等差数列的求和公式判断A；由裂项相消求和法结合概率之和等于1判断B；根据等比数列的求和公式结合概率之和等于1得出，进而判断C；令，利用前项和与通项的关系结合累乘法得出，再由裂项相消求和法判断D.

详解：对于A，为等差数列，，则，故A正确；

对于B，若数列的通项公式为，，故B正确；

对于C，，，则，故C错误；

对于D，令，则，即，，即，，解得，故D正确；

故选：C

【点睛】

方法点睛：求数列的前n项和的方法

（1）公式法：①等差数列的前项和公式，

②等比数列的前项和公式；

（2）分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差．等比数列，再求解.

（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.

（4）倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.

（5）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.

3．【答案】C

【解析】分析：由分布列可得，结合条件先解出，从而得出答案.

详解：由分布列可得，又，则，

由，即，即

所以，所以

所以

故选：C

4．【答案】B

【解析】分析：根据每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个可得答案.

详解：由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个，故两次抽取球号码之和X的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个.

故选：B.

5．【答案】B

【解析】分析：根据正态分布的特征，可得，求解即可得出结果.

详解：因为随机变量服从正态分布，，

根据正态分布的特征，可得，解得.

故选：B．

【点睛】

方法点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法

①熟记的值．

②充分利用正态曲线的对称性和曲线与轴之间面积为1.

6．【答案】D

【解析】分析：利用分布列的性质，求的值.

详解：据题意得，所以．

故选：D

7．【答案】A

【解析】分析：由有随机变量的分布函数图象关于对称，结合已知条件即可求；

详解：由，知：随机变量的分布函数图象关于对称，

∴；

故选：A

【点睛】

本题考查了正态分布的对称性，利用随机变量的分布函数图象关于对称求概率，属于简单题；

8．【答案】B

【解析】分析：计算出的值，利用泊松分布的概率函数可求得的值.

详解：因为一纳克钚每秒平均发生次放射性衰变，所以秒内一纳克钚发生放射性衰变的均值为次，

因为衰变次数服从泊松分布，所以，

所以，

故选：B.

【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是能够根据题意得到，并能正确计算.

9．【答案】B

【解析】分析：先根据题意写出分布列，再利用公式计算期望和方差即可.

详解：依题意X的可能取值为0，1，2，

甲乙均未答对时，P(X＝0)＝，

甲乙二人一人答对一人答错时，P(X＝1)＝，

甲乙均答对时，P(X＝2)＝.

所以X的分布列为

所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝，

D(X)＝.

故选：B.

【点睛】

思路点睛：

求离散型随机变量的分布列及期望．方差的一般步骤：

（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

（3）根据期望与方差的概念，结合分布列，即可得出期望与方差.

10．【答案】D

【解析】分析：根据题意，该问题符合超几何分布，利用超几何分布概率公式计算所取的3个球中没有1个红球的概率，进而可得答案.

详解：根据题意，该问题符合超几何分布，其基本事件总数为，

其中所取的3个球中没有1个红球的基本事件为，

所求概率为.

故选:D.

11．【答案】A

【解析】分析：若表示抽到高二年级同学的作品数，则服从，根据超几何分布公式求概率即可.

详解：由题意知：若表示抽到高二年级同学的作品数，则服从，可类比：在含有5件次品的10件商品中取7次，恰好将5件次品全部取出的概率，即，

∴.

故选：A.

12．【答案】C

【解析】分析：利用分布列可求得的值.

详解：由分布列可得.

故选：C.

13．【答案】B

【解析】分析：利用对称性求出，从而可得出人数．

详解：，

，，

，

分分之间的人数约为．

故选：．

【点睛】

本题考查了正态分布的特点，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题．

14．【答案】B

【解析】分析：由题知正态分布曲线的对称轴是直线，利用曲线的特点即可计算出结果.

详解：由题知此正态分布曲线的对称轴是直线，

由正态分布的图象的对称性可知，.

故选：B

【点睛】

本题考查正态分布曲线的特点，属于基础题.

15．【答案】C

【解析】分析：根据分布列得，写出期望，根据方差求出，即可得解.

详解：由题：，

若，则，

所以，

整理得：，解得：或符合题意，

所以或，

或.

故选：C