高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第三章 排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.3 组合与组合数当堂达标检测题

【优编】3.1.3 组合与组合数-2课堂练习

一．单项选择

1．2020年4月8日武汉解除封城，某社区为预防新冠肺炎疫情反弹，决定从本社区的5男3女骨干干部中，选派2男1女组成一个督查巡视小组，对本社区的后续工作每天进行巡视督导，则不同的选法共有（    ）

A．12种 B．20种 C．30种 D．36种

2．4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，则恰有2个空盒的放法有（    ）

A．144种 B．120种 C．84种 D．60种

3．6名同学到甲．乙．丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（    ）

A．120种 B．90种

C．60种 D．30种

4．安排3人完成5项不同工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式种数为（    ）

A．60 B．150 C．180 D．240

5．某年级有6个班级，3位数学教师，每位教师任教2个班级，则不同分法的种数有（    ）

A．15 B．45 C．90 D．540

6．在新冠病毒疫情爆发期间，口罩成为了个人的必需品.已知某药店有4种不同类型的口罩，，，，其中型口罩仅剩1只（其余3种库存足够）.今甲．乙等5人先后在该药店各购买了1只口罩，统计发现他们恰好购买了3种不同类型的口罩，则所有可能的购买方式共有（    ）

A．330种 B．345种 C．360种 D．375种

7．2020年春节期间，因新冠肺炎疫情防控工作需要，．两社区需要招募义务宣传员，现有．．．．．六位大学生和甲．乙．丙三位党员教师志愿参加，现将他们分成两个小组分别派往．两社区开展疫情防控宣传工作，要求每个社区都至少安排1位党员教师及2位大学生，且由于工作原因只能派往社区，则不同的选派方案种数为（    ）

A．120 B．90 C．60 D．30

8．已知有穷数列（，2，3，，6）满足，且当（i，，2，3，，6）时，.若，则符合条件的数列的个数是（    ）

A． B． C． D．

9．夏日炎炎，雪糕成为很多人的解暑甜品，一个盒子里装有10个雪糕，其中草莓味2个，巧克力味3个，芒果味5个，假设三种口味的雪糕外观完全相同，现从中任意取3个，则恰好有一个是芒果味的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（    ）

A．某学生从中选3门，共有30种选法

B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法

C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法

D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法

11．已知集合，，，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中向量的坐标，则可确定不同向量的个数为（    ）

A．33 B．34 C．35 D．36

12．某学生想在物理．化学．生物．政治．历史．地理．技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法错误的是（    ）

A．若任意选择三门课程，选法总数为

B．若物理和化学至少选一门，选法总数为

C．若物理和历史不能同时选，选法总数为

D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为

13．某班制定了数学学习方案：星期一和星期日分别解决个数学问题，且从星期二开始，每天所解决问题的个数与前一天相比，要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”，则在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

14．在正方体的个顶点中，以任意个顶点为顶点的三棱锥，共有（    ）

A．个 B．个 C．个 D．个

15．从0，2，4，6，8和1，3，5，7，9两组数中各取两个数，组成无重复数字的四位偶数的个数是（    ）

A．720 B．1120 C．1200 D．1680

16．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一．算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠．例如：在十位档拨上一颗上珠和一颗下珠，个位档拨上一颗上珠，则表示数字65.若在个．十．百．千位档中随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（    ）．

A． B． C． D．

17．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有(   )

A．16种 B．36种 C．42种 D．60种

18．某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学，，其中大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门.若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（    ）

A．21种 B．23种 C．25种 D．27种

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】根据组合的知识，分别计算男生的选法数和女生的选法数，然后利用分步乘法计数原理，可得结果.

详解：从5名男干部中选出2名男干部，有种选法，

从3名女干部中选出1名女干部，有种选法，

则共有10×3=30种不同的选法.

故选：C

【点睛】

本题考查排列．组合及分步乘法计数原理，属基础题.

2．【答案】C

【解析】根据题意，先选出两个空盒，之后可以一个盒放1个，另一个盒放3个，还可以每盒2个，得到结果.

详解：根据题意，可分两种情况，

可得，

故选：C.

【点睛】

该题考查的是有关排列组合的综合题，涉及到的知识点有分步乘法计数原理，分类加法计数原理，在解题的过程中，注意分析清楚对应的结果，属于简单题目.

3．【答案】C

【解析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.

详解：首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；

然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；

最后剩下的名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有种.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.

4．【答案】B

【解析】根据题意，分2步进行分析：①．分两种情况讨论将5项工作分成3组的情况数目，②．将分好的三组全排列，对应3名志愿者，由分步计数原理计算可得答案．

详解：解：根据题意，分2步进行分析：

①．将5项工作分成3组，

若分成1．1．3的三组，有种分组方法，

若分成1．2．2的三组，有种分组方法，

则将5项工作分成3组，有种分组方法；

②．将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有种情况，

则有种不同的分组方法；

故选：B．

【点睛】

本题考查排列．组合的应用，注意分组时要进行分类讨论，属于中档题．

5．【答案】C

【解析】根据分步计数原理，三位老师依次选2个班级，可得其结果数，然后进行相乘即可.

详解：由题可知

，

故选C.

【点睛】

本题考查简单组合以及分步计数原理，属基础题.

6．【答案】C

【解析】根据5人中是否有人购买型口罩分类，再按照平均分组和不平均分组计算求值.

详解：若这5人没人购买型口罩，则5人构造剩下4种口罩中的三种，则可以按照2，2，1的分组，共有种方法，或是按照3，1，1的分组，则有 种方法，若这5人有1人购买了型口罩，则剩下的4人购买其他2个类型的口罩，可以按照2，2分组，有种方法，或是按照3，1分组，共有种方法，

综上可知，一共有种方法.

故选：C

【点睛】

本题考查排列组合的应用，重点考查分步分类计数原理的应用，属于中档题型，本题的关键是分类准确，区分平均分组和不平均分组.

7．【答案】C

【解析】本题按照分步乘法计数原理做好分组，再直接求解即可.

详解：解：由于B只能派往M社区，所以分组时不用考虑B.

按照要求分步将大学生和党员教师分为两组，再分别派往两个社区.

第一步：按题意将剩余的5位大学生分成一组2人，一组3人，有种，

第二步：按题意将3位大学生分成一组1人，一组2人，有种，

再分别派往两个社区的不同选派种数：种，

故选：C。

【点睛】

本题考查分步乘法计数原理和组合分组的问题，是中档题.

8．【答案】A

【解析】根据，先选出个数，其顺序固定，有种取法，再从剩余的个数中选个分配给，，，有种取法，由分步计数原理即可求解.

详解：先从个数中任意选出个，

最大的数为，最小的数为，另一个数为，

这样的选法有种，

同理，从剩余的个数中选个，有种选法，

由分步计数原理可知共有种选法.

故选：A

【点睛】

本题考查了排列．组合的应用，考查了分步乘法计数原理，属于基础题.

9．【答案】A

【解析】根据题意得到，计算得到答案.

详解：根据题意：.

故选：A.

【点睛】

本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.

10．【答案】CD

【解析】根据排列组合的相邻关系和不相邻关系，以及有限制排列的关系，逐个分析选项即可.

详解：6门中选3门共有种，故A错误；

课程“射”“御”排在不相邻两周，共有种排法，故B错误；

课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有种排法，故C正确；

课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有种排法，故D正确．

故选：CD

【点睛】

本题考查排列组合的应用，属于基础题.

11．【答案】A

【解析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同的点的个数，进而考虑集合中的相同元素2，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案.

详解：由题意，不考虑限定条件确定的不同点的个数为,

但集合中有相同元素2，

由三个数确定的不同点的个数只有三个，

故所求的个数为个.

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了排列．组合的综合运用，注意从反面分析，并且注意到集合中有相同元素2从而导致出现重复的情况，着重考查分析问题和解答问题的能力.

12．【答案】ABD

【解析】若任意选择三门课程，选法总数为，若物理和化学至少选一门，选法总数为，若物理和历史不能同时选，选法总数为，若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为.

详解：若任意选择三门课程，选法总数为，故A错误

若物理和化学至少选一门，选法总数为，故B错误

若物理和历史不能同时选，选法总数为，故C正确

若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为

故D错误

故选：ABD

【点睛】

当遇到“至多”“至少”型题目时，一般用间接法求会比较简单.

13．【答案】A

【解析】分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，都是0．1．2．3天，共四种情况，利用组合知识可得结论．

详解：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，

所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0．1．2．3天，共四种情况，

所以共有=141种．

故选A．

点睛：本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定中间“多一个”或“少一个”的天数必须相同是关键．

14．【答案】C

【解析】利用间接法可得结果：从正方体的个顶点中任取四个顶点的取法减去四点共面的情形即可得到结果.

详解：从正方体的个顶点中任取四个顶点，共有种，

其中有6个表面和6个对角面中的四个顶点共面，不能构成三棱锥，

所以共有个三棱锥.

故选：C.

【点睛】

本题考查了简单的组合应用题，考查了间接法，属于基础题

15．【答案】B

【解析】根据两组数的特点，按取到0和没有取到0进行讨论，然后直接计算即可.

详解：取到0，则组成无重复数字的四位偶数的个数是

没有取到0，则组成无重复数字的四位偶数的个数是

所以所求的结果数为

故选：B

【点睛】

本题考查特殊元素的排列组合问题，审清题意，细心计算，属基础题.

16．【答案】D

【解析】根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.

详解：依题意得所拨数字共有种可能．

要使所拨数字大于200，则

若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，

有种；

若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个．十．百里选一个下珠，

有种，

则所拨数字大于200的概率为，故选D．

【点睛】

本题考查排列组合的应用，求古典概型概率，涉及分类讨论的思想，属于中档题.

17．【答案】D

【解析】解：某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则有两种情况，

一是在两个城市分别投资1个项目．2个项目，此时有=36种方案，

二是在三个城市各投资1个项目，有=24种方案，

共计有60种方案

18．【答案】C

【解析】报考A大学的选择方案有种，报考B大学的选择方案有种，最后利用分步计数原理计算即可得解.

详解：大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学，故报考A大学的选择方案有种；

大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门，故报考B大学的选择方案有种；

该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有种.

故选：C.

【点睛】

本题考查排列组合的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.