高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册第三章 排列、组合与二项式定理3.1 排列与组合3.1.1 基本计数原理复习练习题

【优选】3.1.1 基本计数原理-1练习

一．单项选择

1．若把单词“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（    ）

A．9 B．18 C．19 D．20

2．从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，从A村经B村去C村，则不同的路线有几条？（    ）

A．5 B．6 C．8 D．9

3．《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设是正四棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正四棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（    ）

A．4 B．8 C．12 D．16

4．设A是集合的子集，只含有3个元素，且不含相邻的整数，则这种子集A的个数为（    ）

A．32 B．56 C．72 D．84

5．算筹是在珠算发明以前我国独创的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如表所示：

表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图所示：

如果把5根算筹以适当的方式全部放入上面的三个格子中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）

A．46 B．44 C．42 D．40

6．把6个仅颜色不同的小球排成一排，其中1个黄球，2个白球，3个黑球，则相同颜色的球都不相邻的不同排法共有（）种

A．3 B．6 C．10 D．12

7．如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙甲地有2条路，从丙地到丁地有4条路.则从甲地到丁地不同的路线有（    ）

A．11条 B．12条 C．13条 D．14条

8．如图的六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有3种不同颜色可供选择，则共有（    ）种不同的染色方案.

A．48 B．64 C．96 D．108

9．从红．黄．蓝三种颜色中选出若干种颜色，给如图所示的四个相连的正方形染色，若每种颜色只能涂一个正方形或两个正方形，且相邻两个正方形所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（    ）

A．12 B．18 C．24 D．36

10．已知，则可表示不同的值的个数为（    ）

A．8 B．9 C．10 D．12

11．四色定理(Fourcolortheorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于年由毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面（含公共棱的平面）不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，那么不同的涂法有（    ）

A．种 B．种 C．种 D．种

12．4位同学报名参加三个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（    ）

A．12种 B．64种 C．81种 D．24种

13．四名学生报名参加五项体育比赛.每人限报一项，不同的报名方法有（    ）种

A． B． C．120 D．20

14．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有（　　）种．

A． B． C．105 D．510

15．如图，某市由四个县区组成，现在要给地图上的四个区域染色，有红？黄？蓝？绿四种颜色可供选择，并要求相邻区域颜色不同，则不同的染法种数有（    ）

A．64 B．48 C．24 D．12

16．“精准扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略．某县为响应国家政策，选派了5名工作人员到三个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（    ）

A．25种 B．60种 C．150种 D．540种

17．2019年9月1日兰州地铁一号线正式开通，两位同学同时去乘坐地铁，一列地铁有节车厢，两人进入车厢的方法数共有（    ）

A．种 B．30种 C．35种 D．36种

18．将4封不同的信投入3个不同的信箱，不同的投法种数为（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】分析：先排字母“e”和“o”，在5个位置中任选2个，再排3个“r”， 结合分步计数原理即可求出所有的排法，减去正确的1种顺序即可求出结果.

详解：单词“error”中有5个字母，其中3个“r”，先排字母“e”和“o”，在5个位置中任选2个，放置字母“e”和“o”，则共有种，再排3个“r”，直接放进剩余的3个位置即可，有1种，结合分步计数原理可得，这5个字母共有种放法，其中正确的有1种，故可能出现的错误写法的种数为种，

故选：C.

2．【答案】B

【解析】分析：根据题意，由分步乘法原理即可得出答案.

详解：解：从A村到B村的道路有3条，从B村到C村的道路有2条，

根据分步乘法原理可得从A村经B村去C村，则不同的路线有条.

故选：B.

3．【答案】B

【解析】分析：先找出包含的底面矩形，再根据图形特征，逐个计数即可.

详解：如图，

若包含的底面矩形为，则顶点可以从，，，中选取，故有四个不同的阳马；

若包含的底面矩形为，则顶点可以从，，，中选取，故有四个不同的阳马；

若包含的底面矩形为，则从，，，中任取一个作为顶点，都不符合阳马，故舍去.

综上可知，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是8个.

故选：B.

4．【答案】B

【解析】分析：分类列举出每一种可能性即可得到答案.

详解：若1,3在集合A内，则还有一个元素为5,6,7,8,9,10中的一个；

若1,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；

若1,8在集合A内，则还有一个元素为10；

共有6+5+4+3+2+1=21个.

若2,4在集合A内，则还有一个元素为6,7,8,9,10中的一个；

若2,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；

若2,8在集合A内，则还有一个元素为10；

共有5+4+3+2+1=15个.

若3,5在集合A内，则还有一个元素为7,8,9,10中的一个；

若3,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；

若3,8在集合A内，则还有一个元素为10；

共有4+3+2+1=10个.

若4,6在集合A内，则还有一个元素为8,9,10中的一个；

若4,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；

若4,8在集合A内，则还有一个元素为10；

共有3+2+1=6个.

若5,7在集合A内，则还有一个元素为9,10中的一个；

若5,8在集合A内，则还有一个元素为10；

共有2+1=3个.

若6,8,10在在集合A内，只有1个.

总共有21+15+10+6+3+1=56个

故选：B.

5．【答案】B

【解析】分析：先按每一位数上算筹的根数分布，再由每一位数上算筹的根数能组成的数字情况即可作答.

详解：按每一位数上算筹的根数分类，一共有15种情况：

(5,0,0)，(4,1,0)，(4,0,1)，(3,2,0)，(3,1,1)，(3,0,2)，(2,3,0)，(2,2,1)，(2,1,2)，(2,0,3)，(1,4,0)，(1,3,1)，(1,2,2)，(1,1,3)，(1,0,4)，

由题图可知，2根及2根以上的算筹可以表示两个数字，则上述情况能表示的三位数的个数分别为

2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2，

故5根算筹能表示的三位数的个数为.

故选：B

6．【答案】C

【解析】分析：按两个白球所在的位置分成两类，分别计算出每一类的排法数即可得解.

详解：符合要求的排法数，先排3个黑球，只有一种方法，排余下3球，分成两类：

2个白球都不在边上，让2个白球把3个黑球间开排成一排，再把黄球放入5球形成的6个间隙中，符合要求，有6种排法，

2个白球恰有一个在边上，有2种排法，其中的每一种排法，黄球与另一白球的排法有2种，符合要求的排法是种，

由分类加法计数原理知，符合要求的不同排法共有种，

所以相同颜色的球都不相邻的不同排法共有10种.

故选：C

7．【答案】D

【解析】分析：分两类：第一类，从甲过乙到丁分两步，第二类，从甲过丙到丁分两步，然后利用分类加原理和分步乘法原理求解即可

详解：从甲到丁分为两类，第一类，从甲过乙到丁分两步，

从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路，

由分步乘法计数原理得，从甲到丁有6种走法；

第二类，从甲过丙到丁分两步，从甲地到丙地有2条路，从丙地到丁地有4条路，

由分步乘法计数原理得，从甲到丁有8种走法，

再由分类加法计数原理得，从甲到丁共有种走法.

故选：D.

8．【答案】C

【解析】分析：区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色，根据图形特点，先考虑涂中间的部分，再考虑三角形的部分即可.

详解：先染中间有3种方法，再染5个三角形有，

则总方法数为：96.

故选：C

9．【答案】C

【解析】分析：先讨论使用颜色种数，再根据题意进行涂色，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理计算即可.

详解：正方形从左到右依次标号1，2，3，4.

若使用2种颜色，则颜色的取法有3种，故正方形1，3颜色相同，2，4颜色相同，有2种涂法，共种方案；

若使用3种颜色，则颜色的取法有1种；故四个正方形有两个不相邻必须同色，即1，3颜色相同，或者1，4颜色相同，或者2，4颜色相同，有3种方案；然后先涂相同色，再涂其余2个，共有种涂法.故共有种方案.

综上，符合要求的不同涂色方案有种.

故选：C.

10．【答案】B

【解析】分析：对的值一一列举即可得到答案.

详解：因为，

所以时，；

时，；

时，；

时，；

时，；

时，；

时，；

时，；

时，；

一共有9个不同结果.

故选：B

11．【答案】B

【解析】分析：先确定底面的涂色种数，然后依次确定侧面．平面的涂色方法种数，对侧面与侧面的所涂颜色是否相同进行分类讨论，确定侧面的涂色方法种数，利用分步和分类计数原理可得结果.

详解：如下图所示：

底面的涂色有种选择，侧面有种选择，侧面有2种选择.

①若侧面与侧面所涂颜色相同，则侧面有种选择；

②若侧面与侧面所涂颜色不同，则侧面有种选择，侧面有种选择.

综上所述，不同的涂法种数为种.

故选：B.

12．【答案】C

【解析】分析：根据分步乘法计算原理，由题中条件，可直接求出结果.

详解：4位同学报名参加三个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（种）.

故选：C．

13．【答案】B

【解析】分析：利用分步计数原理，计数结果.

详解：每名学生有5种方法，根据分步计数原理，4名同学有种方法.

故选：B

14．【答案】D

【解析】分析：以乘客为研究对象，每位乘客下车的方法有5种，结合分步计数原理可得答案.

详解：公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，每位乘客下车的方法有5种，乘客下车的可能方式有510种，

故选：D．

15．【答案】B

【解析】分析：利用分步乘法计数原理即可求解.

详解：先染④有种染法，①有种染法，

③有种染法，②有种染法，

所以不同的染法种数有.

故选：B

16．【答案】C

【解析】分析：先把5名工作人员分成3组，再安排到3个村即可求出结果.

详解：把5个人分成3组，有两类分法：①5=1+1+3，则有种；②5=1+2+2，则有种，所以共有25种分法，根据题意，所求方法数有种，

故选：C.

17．【答案】D

【解析】分析：根据乘法的计数原理，两个同学各有种进入车厢的方法，相乘即可得解.

详解：由于进入车厢并无排他性，

所以两个同学各有种进入车厢的方法，

根据乘法计数原理，

可得两人进入车厢的方法数共有种方法，

故选：D

18．【答案】C

【解析】分析：直接利用分步原理的应用求出结果．

详解：解：根据分步原理的应用，

所以：第一封信的投法有3种，第二封信的投法有3种，第三封信的投法有3种，第四封信的投法有3种，

故一共有种投法．

故选：C．