高中3.1.3 组合与组合数同步训练题

【特供】3.1.3 组合与组合数-1作业练习

一．单项选择

1．区块链是数据存储？传输？加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有，，，四个点，若图中恰有条边，则满足上述条件的图的个数为（    ）

A． B． C． D．

2．鱼缸里有8条热带鱼和2条冷水鱼，为避免热带鱼咬死冷水鱼，现在把鱼缸出孔打开，让鱼随机游出，每次只能游出1条，直至2条冷水鱼全部游出就关闭出孔，若恰好第3条鱼游出后就关闭了出孔，则不同游出方案的种数为（  ）

A．32  　　　B．36  　　　C．40   　　D．48

3．被9除的余数为（    ）

A． B．1 C．8 D．

4．从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（    ）

A． B． C． D．

5．用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字且至少有两个数字是偶数的四位数，则这样的四位数的个数为（    ）

A．64 B．72 C．96 D．144

6．火车站流动旅客较多，本着“疫情防控不松懈，健健康康过春节”的精神，某火车站安排6名防疫工作人员每天分别在，，三个进出口对旅客进行防护宣传与检查工作，每名工作人员只去1个进出口，进出口安排1名，进出口安排2名，剩下的人员到进出口，则不同的安排方法共有（    ）

A．48种 B．60种 C．100种 D．120种

7．将6张不同的贺卡分给4名同学．每名同学至少1张，则不同的分法有（    ）

A．384种 B．960种 C．1560种 D．1620种

8．甲．乙．丙．丁．戊5个人分到三个班，要求每班至少一人，则甲不在班的分法种数有（    ）

A．160 B．112 C．100 D．86

9．楼道里有9盏灯，为了节约用电，需关掉3盏互不相邻的灯，为了行走安全，第一盏和最后一盏不关，则关灯方案的种数为(    )

A．10 B．15 C．20 D．24

10．从6名男医生，5名女医生中选出3名医生组成一个医疗小组，且至少有一名女医生，则不同的选法共有（　　）

A．130种 B．140种 C．145种 D．155种

11．在6张奖券中有一等奖奖券1张．二等奖奖券2张．三等奖奖券3张．现有3个人抽奖，每人2张，则不同的获奖情况有（    ）

A. 15 B. 18 C. 24 D. 90

12．为了奖励班上进步大的8名学生，班主任购买了5本相同的书和3本相同的笔记本作为奖品分发给这8名学生，每人一件，则不同的分法有（    ）

A．28种 B．56种 C．112种 D．336种

13．今年年初，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎．我市某医院的甲．乙．丙三名医生随机分到湖北的A，B两个城市支援，则每个城市至少有一名医生的概率为（    ）

A． B． C． D．

14．若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状．大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（    ）

A．20 B．90 C．15 D．45

15．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定从3名男性党员．2名女性党员中选派2名去甲村调研，则既有男性又有女性的不同选法共有（    ）

A．7种 B．6种 C．5种 D．4种

16．某天的值日工作由5名同学负责，包括清理讲台，扫地和拖地，每位同学只负责一项任务，每项任务至少有一人负责，则不同的分工共有（    ）

A．60种 B．120种 C．150种 D．240种

17．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造.根据史书的记载和考古材料的发现，古代的算筹实际上是一根根同样长短和粗细的小棍子，一般长为，径粗，多用竹子制成，也有用木头．兽骨．象牙．金属等材料制成的，大约二百七十几枚为一束，放在一个布袋里，系在腰部随身携带.需要记数和计算的时候，就把它们取出来，放在桌上．炕上或地上都能摆弄.在算筹计数法中，以纵横两种排列方式来表示数字.如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则用这6根算筹能表示的两位数的个数为（    ）

A．13 B．14 C．15 D．16

18．要排出高三某班一天中，语文．数学．英语各节，自习课节的功课表，其中上午节，下午节，若要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节不算相邻），则不同的排法种数是（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】D

【解析】先求出A，B，C，D四点最可确定6条边，再由题得到满足条件的图的个数.

详解：如图，

A，B，C，D四点最可确定AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条边.

由题意知恰有3条边且无孤立点，

所以满足条件的图有(个).

故选：D.

【点睛】

本题主要考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2．【答案】A

【解析】

3．【答案】C

【解析】将转化为，利用二项式定理，即可得解.

详解：

可以被9整除，

所以被9除的余数为8.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用二项式定理解决余数问题，将原式变形为是本题的解题关键，属于中档题.

4．【答案】A

【解析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，

正方体表面四点共面不能构成四面体有种，

正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，

所以可得到的四面体的个数为种，

故选：A

5．【答案】C

【解析】由题意把四位数分为含有3个偶数与2个偶数两类,每一类要考虑特殊元素0的安排情况,利用排列组合的应用可分别求出每类四位数的个数,相加即可.

详解：根据题意,数字0，1, 2, 3, 4中有2个奇数,3个偶数.

若组成的四位数要求至少有两个数字是偶数,则四位数中含有2个或3个偶数,分2种情况讨论:

①四位数中含有3个偶数，1个奇数，因为0不能在首位,有3种情况,选取一个奇数有种，与另两个偶数安排在其他三个位置，有种情况，

则有个符合条件的四位数;

②四位数中含有2个偶数,2个奇数;若偶数中有0,在2．4中选出1个偶数,有种取法,其中0不能在首位,有3种情况，将其他3个数全排列,

安排在其他三个位置,有种情况,则有个符合条件的四位数；若偶数中没有0,将其他4个数全排列,有个符合条件的四位数；

则一共有36+36+24=96个符合条件的四位数.

故选：C

【点睛】

本题主要考查分类计数原理及排列组合的运用，注意优先考虑特殊元素的安排情况，属于中档题.

6．【答案】B

【解析】1．从6名工作人员中选1名去进出口，方法数有；

7．【答案】C

【解析】可分为两类：第一类：3位同学各一张，1位同学3张；第二类：2位同学各一张，2位同学各2张，结合排列．组合和分类计数原理，即可求解.

详解：由题意，将6张不同的贺卡分给4名同学．每名同学至少1张，可分为两类：

第一类：3位同学各一张，1位同学3张，共有种不同的分法；

第二类：2位同学各一张，2位同学各2张，共有种不同的分法；

由分类计数原理可得，共有种不同的分法.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了排列．组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合排列．组合和计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.

8．【答案】C

【解析】根据题意有以下三类情况：

9．【答案】A

【解析】将问题等价转化为将盏关着的灯插入盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的个空档之内，进而求得结果.

【详解】

问题等价于将盏关着的灯插入盏亮着的灯所形成的除最左端和最右端的空挡以外的个空档之内

关灯方案共有：种

故选：

【点睛】

本题考查组合数的应用，关键是能够将问题进行等价转化为符合插空法的形式.

10．【答案】C

【解析】分析：由题意知医疗小组中有女医生的情况有名三种情况，分别求出对应的选法数，并加总即可.

详解：1．小组有1名女医生的选法：种；

11．【答案】A

【解析】

12．【答案】B

【解析】根据题意，分析可得只需在8人中任选3人，领取笔记本，剩下5人领取书即可，由组合数公式计算可得答案

详解：解：根据题意，5本相同的书和3本相同的笔记本发给8名学生，每人1本，需要在8人中任选3 人，领取笔记本，剩下5人领取书即可，

则有种不同的分法，

故选：B

【点睛】

此题考查排列组合的应用，考查组合数公式的应用，属于基础题.

13．【答案】A

【解析】首先计算出基本事件总数，要使每个城市至少有一名医生，即其中一个城市1名医生，另一个城市2名医生，求出满足条件的分配方案，再利用古典概型的概率计算公式计算可得；

详解：解：将某医院的甲．乙．丙三名医生随机分到湖北的A，B两个城市支援，则一共有种分配方案，现要求每个城市至少有一名医生，即其中一个城市1名医生，另一个城市2名医生有分配方案，故每个城市至少有一名医生的概率

故选：A

【点睛】

本题考查简单的排列组合问题，以及古典概型的概率计算，属于中档题.

14．【答案】D

【解析】先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，对于剩余的4人，每个人都不能拿自己写的卡片，计算得到答案.

【详解】

根据题意，分2步分析：

①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有种选法，

②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，

所以不同的拿卡片的方法有种.

故选：.

【点睛】

本题考查了组合的应用，意在考查学生的应用能力和理解能力.

15．【答案】B

【解析】根据题意可得选出的2人必为一男—女，分别求出选出1名男性党员和1名女性党员的选法数目，由分步乘法计数原理计算可得答案.

详解：根据题意，选出的2人中既有男性又有女性，必为一男一女，在3名男性党员中任选1人，有3种选法，在2名女性党员中任选1人，有2种选法，则既有男性又有女性的不同选法有3×2=6种，

故选：B

【点睛】

本题主要考查排列组合的应用，涉及分步乘法计数原理的应用，属于基础题.

16．【答案】C

【解析】先将5名同学分成三组，再进行全排列，即可得出结果.

详解：将5名同学分成三组，每组至少一人，

若一组有3人，其余两组各1人，则有种情况；

若一组有1人，其余两组各2人，则有种情况；

将这三组进行全排列，则有种情况，

因此不同的分工共有：种.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查计数原理的应用，熟记两种计数原理即可，属于常考题型.

17．【答案】D

【解析】根据题意，确定6根算筹，可以表示的数字组合，进而可确定每个组合可以表示的两位数，即可得出结果.

详解：根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为（1，5），（1，9），（2，4），（2，8），（6，4），（6，8），（3，3），（3，7），（7，7）；

数字组合（1，5），（1，9），（2，4），（2，8），（6，4），（6，8），（3，7）中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；

而数字组合（3，3），（7，7）每组可以表示1个两位数，共2个两位数；

因此，用这6根算筹能表示的两位数的个数为16个.

故选D

【点睛】

本题主要考查简单的排列组合的应用，熟记排列组合的定义即可，属于常考题型.

18．【答案】C

【解析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案．

详解：根据题意，分两种情况进行讨论：

①语文和数学都安排在上午，要求节语文课必须相邻且节数学课也必须相邻，将节语文课和节数学课分别捆绑，然后在剩余节课中选节到上午，由于节英语课不加以区分，此时，排法种数为种；

②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午.

语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但节语文课不加以区分，节数学课不加以区分，节英语课也不加以区分，此时，排法种数为种.

综上所述，共有种不同的排法.

故选：C．

【点睛】

本题考查排列．组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题．