专题07 二次方程(精讲精练）-中考数学复习核心考点精讲与分层训练（附思维导图，全国通用版）

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理解配方法，能用配方法解数字系数的一元二次方程
能用公式法解数字系数的一元二次方程
能用因式分解法数字系数的一元二次方程
经历估计方程解的过程
能用一元二次方程的根的判别式判别方程是否有实数根和两个实根是否相等
*了解一元二次方程根与系数关系
能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型
能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理
★简单； ★★易错； ★★★中等； ★★★★难； ★★★★★压轴
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13678" 考点1：一元二次方程及其根的应用 PAGEREF _Tc13678 \h 2
\l "_Tc21468" 考点2：解一元二次方程（1） PAGEREF _Tc21468 \h 9
\l "_Tc21538" 考点3：解一元二次方程（2） PAGEREF _Tc21538 \h 18
\l "_Tc30283" 考点4：解一元二次方程（3） PAGEREF _Tc30283 \h 21
\l "_Tc17872" 考点5：一元二次方程的应用 PAGEREF _Tc17872 \h 30
\l "_Tc6259" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc6259 \h 41
\l "_Tc29540" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc29540 \h 41
考点1：一元二次方程及其根的应用
（1）定义
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程．
（2）一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项．

｛一元二次方程的定义★｝下列方程是一元二次方程的是
A．B．
C．D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【解答】解：．方程整理，得，是一元一次方程，故本选项不符合题意；．是分式方程，故本选项不符合题意；．是一元二次方程，故本选项符合题意；．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键．
｛一元二次方程的一般形式★｝将方程化成的形式，则，，的值分别为
A．1，6，10B．1，，C．1，，10D．1，6，
【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再求出、、的值即可．
【解答】解：，，，，
所以，，，故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：找各项系数时带着前面的符号．
｛一元二次方程的解★｝根据下列表格的对应值：
由此可判断方程必有一个根满足
A．B．C．D．
【分析】利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个根满足．
【解答】解：时，，时，，时，，即方程必有一个解满足，故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
｛一元二次方程的解★｝已知是方程的一个根，则的值为
A．2018B．2019C．2020D．2021
【分析】由是方程的一个根，将代入方程，得到关于的等式，变形后代入所求式子中计算，即可求出值．
【解答】解：是方程的一个根，，，即，，则．
故选：．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
｛一元二次方程的解★｝若关于的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有根为
A．2019B．2020C．2021D．2022
【分析】对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
【解答】解：对于一元二次方程即，设，所以，而关于的一元二次方程有一根为，所以有一个根为，则，解得，所以一元二次方程必有一根为．故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
｛一元二次方程的定义★｝关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）只含有一个未知数．
【解答】解：关于的方程是一元二次方程，，
解得．故答案为：．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
｛一元二次方程的一般形式★｝一元二次方程化为一般形式后二次项系数是 3 ．
【分析】首先将方程化为一般形式：，然后根据此一般形式，即可求得答案．
【解答】解：方程化成一般形式是，二次项系数为3．故答案为：3．
【点评】此题考查了一元二次方程的一般形式．注意一元二次方程的一般形式是：，，是常数且，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
｛一元二次方程的解★★★｝若关于的方程满足，称此方程为“天宫”方程．若方程是“天宫”方程，求的值是 ．
【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为，则，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得“天宫”方程的一个解为，程是“天宫”方程，
，，，，，
．故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法可简化计算．
｛一元二次方程的解★★｝若是方程的一个实数根，则代数式的值为 10 ．
【分析】根据一元二次方程解的意义将代入求出，进而将方程两边同时除以进而得出答案．
【解答】解：是方程的一个实数根，，，故，
则．故答案为：10．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，能理解一元二次方程的解的定义是解此题的关键．


（2021•黑龙江）关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为
A．0B．C．3D．
【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可．
【解答】解：，，由题意得：，，
解得：，故选：．
【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程二次项系数不为0以及一次项的概念是解题的关键．
（2021•长沙）若关于的方程的一个根为3，则的值为 ．
【分析】把代入方程得出，求出方程的解即可．
【解答】解：把代入方程得：，解得：，故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，能理解方程的解的定义是解此题的关键．
（2020•毕节市）关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是 1 ．
【分析】把代入方程计算，检验即可求出的值．
【解答】解：把代入方程得：，，可得或，
解得：或，当时，，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则的值为1．故答案为：1．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，熟练掌握解一元二次方程的方法是解本题的关键．
考点2：解一元二次方程（1）
（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解.
（2）因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.
（3）公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=（b2－4ac≥0）.
（4）配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法．

｛解一元二次方程-公式法★★｝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则满足要求的方程是
A．B．C．D．
【分析】根据求根公式得到，，，即可得到结论．
【解答】解：是用公式法解一元二次方程得到的一个根，，，，
故选：．
【点评】本题考查公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握应用公式法的条件和要求．
｛解一元二次方程★★｝已知关于的方程，，为常数，的两根分别为，1，那么关于的方程的两根分别为 ， ， ．
【分析】将新方程中类比原方程中的即可得到两个关于的方程，解之即可．根据方程，，为常数，的两根分别为，1，进行转化，即可得到的值，
【解答】解：根据题意知，或，解得，，方程，，为常数，的两根分别为，1，或，或，
，解得，，故答案为：，；0.5．
【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
｛解一元二次方程-新定义★｝规定运算：对于函数为正整数），规定．例如：对于函数，有．已知函数，若，则的值为 ．
【分析】根据新定义得到，然后利用直接开平方法解方程即可．
【解答】解：根据题意得，即，，故答案为：．
【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了阅读理解能力，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
｛解一元二次方程★★｝若一元二次方程的两个根分别是与，则 ．
【分析】根据直接开方法即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，，，，
，故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
｛解一元二次方程★｝（1）（配方法）；（2）（公式法）．
【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1），，，即，
，，．（2），，，，，
△，，，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
｛解一元二次方程★★★｝如图，在中，，，．以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．下列哪条线段的长度是方程的一个根
A．线段的长B．线段的长C．线段的长D．线段的长
【分析】根据勾股定理求出，利用求根公式解方程，比较即可．
【解答】解：由勾股定理得，，，解方程得，线段的长是方程的一个根．故选：．
【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键．
｛解一元二次方程-公式法★★｝是下列哪个一元二次方程的根
A．B．C．D．
【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．
【解答】解：．此方程的解为，不符合题意；．此方程的解为，不符合题意；．此方程的解为，符合题意；．此方程的解为，不符合题意；故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
｛解一元二次方程★｝一元二次方程的解是
A．B．C．，D．，
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：，，则，或，
解得，，故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
｛解一元二次方程★｝若将一元二次方程化成，为常数）的形式，则的值为 ．
【分析】移项，配方，再求出、的值，最后求出即可．
【解答】解：，，配方得：，，
，，，故答案为：11．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程和求代数式的值，能够正确配方是解此题的关键．
｛解一元二次方程★｝在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：☆，★，则方程3☆★12的解为 ．
【分析】根据题中的新定义将方程化为普通方程，利用完全平方公式将方程左边的多项式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：根据题中的新定义得：3☆，★，所求方程化为：，即，解得：．故答案为：
【点评】此题考查了解一元二次方程配方法及因式分解法，利用因式分解法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
｛解一元二次方程★｝如图，点在数轴的负半轴，点在数轴的正半轴，且点对应的数是，点对应的数是，已知，则的值为 ．
【分析】先根据数轴上两点之间的距离公式列出关于的方程，解之求出的值，再结合、的位置取舍即可．
【解答】解：根据题意，得：，整理，得：，，，，
△，则，，，
点在数轴的负半轴，，即，，故答案为：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
｛解一元二次方程★｝解方程：
（1）（配方法）；（2）（公式法）．
【分析】（1）将方程变形为，再将二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；（2）整理成一般式，再利用公式法求解即可．
【解答】解：（1），，，，即，
，，；
（2）整理成一般式，得：，，，，
△，，，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
｛解一元二次方程★｝根据要求解下列一元二次方程：
（1）（配方法）；（2）（公式法）．
【分析】（1）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；
（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】解：（1），移项，得，配方，得，
则，，，；
（2），整理得，，，，，
△，，，．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．


（2021•赤峰）一元二次方程，配方后可变形为
A．B．C．D．
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【解答】解：，，则，即，故选：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程—配方法，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式即可得．
（2020•扬州）方程的根是 ， ．
【分析】根据直接开平方法的步骤先把方程两边分别开方，再进行计算即可．
【解答】解：，，，．故答案为：，．
【点评】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解，本题直接开方求解即可．
（2019•威海）一元二次方程的解是 ， ．
【分析】直接利用公式法解方程得出答案．
【解答】解：，则，故，
解得：，．故答案为：，．
【点评】此题主要考查了公式法解方程，正确掌握公式法是解题关键．
考点3：解一元二次方程*-方法拓展（2）
换元法
1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．

｛解一元二次方程-换元法★★｝已知，则的值为
A．0B．4C．4或D．
【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解．
【解答】解：设，则原方程换元为，，解得：，，
即或（不合题意，舍去），．故选：．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
｛解一元二次方程-换元法★★★｝已知实数满足，那么的值为
A．或1B．或5C．1D．5
【分析】设，将已知方程转化为关于的一元二次方程，然后利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：设，则．整理，得．解得（舍去）或．
即的值为1．故选：．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
｛解一元二次方程-换元法★★｝，则的值是
A．4B．C．4或D．或2
【分析】本题可设，则原式可化为，对方程去括号得，解方程即可求得的值，即的值．
【解答】解：设，则原方程可化为：即解得：或．故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
｛解一元二次方程-换元法★★★｝若，则代数式的值为 3 ．
【分析】设，则原方程化为，求出的值，再求出的值，最后得出答案即可．
【解答】解：，设，则原方程化为：，解得：，
当时，，解得：或；当时，，，
△，此方程无解；所以的值是3，故答案为：3．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能性质适当的方法解方程是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法，换元法等．
｛解一元二次方程-换元法★★｝已知，则的值为
A．或1B．1C．D．7或
【分析】设，则原方程转化为，利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：设，则原方程转化为，整理，得．
所以或．解得（舍去）或．所以的值为1．故选：．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
｛解一元二次方程-换元法★｝已知，则 3 ．
【分析】设，则由原方程得到：，利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：设，则，整理，得，所以，
解得．即：．故答案是：3．
【点评】本题主要考查了换元法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．
考点4：解一元二次方程（3）
①根的判别式：
（1）当Δ＝＞0时，原方程有两个不相等的实数根．
（2）当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根．
（3）当Δ＝＜0时，原方程没有实数根．
（4）当Δ＝≥0时，原方程有两个实数根
②根与系数关系（韦达定理）：
基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分别为x1、x2,则x1+x2=－b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件是△≥0.

｛解一元二次方程-根的判别★★｝若关于的方程有实数根，则满足
A．B．且C．且D．
【分析】根据根的判别式即可求出答案．
【解答】解：当时，，当时，△，
，综上所述，，故选：．
【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．
｛解一元二次方程-韦达定理★★｝已知，，是方程的两根，则的值为 13 ．
【分析】先把方程化为一般式得，再据根与系数的关系得，，接着利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：方程化为一般式得，根据根与系数的关系得，，
所以．故答案为：13．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
｛解一元二次方程-根的判别★★｝（2021•黄石）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△，然后解关于的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，利用整体代入的方法得到，然后解关于的方程即可．
【解答】解：（1）根据题意得△，解得．故的取值范围是；
（2）根据题意得，，，
，即，解得，（舍去）．故的值为．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
｛解一元二次方程-根的判别★★★｝（2018•福建）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，下列判断正确的是
A．1一定不是关于的方程的根
B．0一定不是关于的方程的根
C．1和都是关于的方程的根
D．1和不都是关于的方程的根
【分析】根据方程有两个相等的实数根可得出或，当时，是方程的根；当时，1是方程的根．再结合，可得出1和不都是关于的方程的根．
【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，或．当时，有，此时是方程的根；当时，有，此时1是方程的根．，
，和不都是关于的方程的根．故选：．
【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
｛解一元二次方程-韦达定理★★｝若和是一元二次方程的两根，那么代数式的值为 ．
【分析】根据韦达定理计算即可得到和，再把变形，用和表示，然后整体代入进行计算即可．
【解答】解：和是一元二次方程的两根，，，．
故答案为：．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根分别为，，则，．
｛解一元二次方程-韦达定理★★｝已知、是方程的两个根，则 3 ．
【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，则原式可变形为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：是方程的根，，，
，、是方程的两个根，
，．故答案为3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，．
｛解一元二次方程-根的判别★★｝已知：关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果为正整数，且方程的两个根为不相等的正整数，求的值．
【分析】（1）计算判别式的值得到△，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出方程的解，根据方程的两个根为不相等的正整数结合为正整数，即可求出的值．
【解答】（1）证明：由一元二次方程得，△
，方程总有两个实数根；
（2）解：，即，解得：，．方程的两个根为不相等的正整数，或5．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出原方程的解．
｛解一元二次方程-根的判别★★｝已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若此方程有一个负数根，求的取值范围．
【分析】（1）进行判别式的值得到△，利用非负数的性质得△，然后根据判别式的意义可判断方程总有两个不相等的实数根；
（2）先求出方程的解，再根据题意得出答案即可．
【解答】（1）证明：依题意，得△．，
方程总有两个实数根；
（2），可得，解得，，若方程有一个根为负数，则，故．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式之间的关系是解题的关键．


（2021•烟台）已知关于的一元二次方程，其中，在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【分析】先由数轴得出，与0的关系，再计算判别式的值即可判断．
【解答】解：由数轴得，，，，△，方程有两个不相等的实数根．故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
（2021•荆州）定义新运算“※”：对于实数，，，．有，※，，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：，※，．若关于的方程，※，有两个实数根，则的取值范围是
A．且B．C．且D．
【分析】先根据新定义得到，再整理为一般式，接着根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得，整理得，因为方程有两个实数解，
所以且△，解得且．故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．把有新定义运算的方程化为一元二次方程的一般式是解决问题的关键．
（2021•遵义）在解一元二次方程时，小红看错了常数项，得到方程的两个根是，1．小明看错了一次项系数，得到方程的两个根是5，，则原来的方程是
A．B．C．D．
【分析】先设这个方程的两根是、，根据两个根是，1和两个根是5，，得出，，从而得出符合题意的方程．
【解答】解：设此方程的两个根是、，根据题意得：，，
则以、为根的一元二次方程是．故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
（2020•内江）已知关于的一元二次方程有一实数根为，则该方程的另一个实数根为 ．
【分析】把代入原方程求出的值，进而确定关于的一元二次方程，根据根与系数的关系可求出方程的另一个根．
【解答】解：方程是关于的一元二次方程，即．
把代入原方程得，，即：，解得，，（不合题意舍去），
当时，原方程变为：，即，，由根与系数的关系得：，又，
故答案为：．
【点评】本题考查一元二次方程根的意义和解法，求解一元二次方程是得出正确答案的关键．
考点5：一元二次方程的应用
应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用.
①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量；
②利润问题：利润=售价－成本；利润率=利润/成本×100%；
③传播、比赛问题：
④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程.

｛★｝某口罩厂10月份的口罩产量为25万只，由于市场需求量增大，到12月份第四季度的总产量达到91万只，设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为，根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
【分析】设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为，根据该厂10月份及第四季度的总产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为，则11月份的口罩产量为，12月份的口罩产量为，依题意，得：．故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
｛★★｝某商品原来按进价百分之二十的利润定价，进价受原材料价格影响连续两次下跌，售价相应调整为原来售价的八折，利润恰好与原来持平，设进价两次下跌的平均百分率为，则由题意，可列方程为
A． B．
C． D．
【分析】利用利润销售价格进价，结合调整售价后获得的利润恰好与原来持平，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：，故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
｛★★｝为提高经济效益，某公司决定对一种电子产品进行降价促销．根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低2元，每天可多售出4个．已知每个电子产品的固定成本为100元，如果降价后公司每天获利30000元，那么这种电子产品降价后的销售单价为多少元？设这种电子产品降价后的销售单价为元，则所列方程为
A．
B．
C．
D．
【分析】设这种电子产品降价后的销售单价为元，则每天可售出个，根据总利润每个的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程．
【解答】解：设这种电子产品降价后的销售单价为元，则每天可售出个，依题意得：，故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
｛★★｝某渔具店销售一种鱼饵，每包成本价为10元，经市场调研发现：售价为20元时，每天可销售40包，售价每上涨1元，销量将减少3包．如果想获利408元，设这种鱼饵的售价上涨元，根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
【分析】设这种鱼饵的售价上涨元，则每包的销售利润为元，每天可销售包，利用每天的销售利润每包的销售利润每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设这种鱼饵的售价上涨元，则每包的销售利润为元，每天可销售包，
依题意得：．故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
｛★★｝在一块宽为，长为的矩形空地上修建花坛，如果在四周留出同样宽的小路，余下的部分修建花坛，使花坛的面积为，求小路的宽．设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是
A．B．
C． D．
【分析】设小路宽为米，则花坛的长为米，长为米，所以其面积米，进而即可列出方程，求出答案．
【解答】解：设小路宽为米，根据题意，得．故选：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．
｛★★｝如图所示，某小区规划在一个宽为，长为的矩形地面上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），余下部分种草，耕地面积为，设小路的宽为，那么满足的方程是
A．B．C．D．
【分析】如果设小路的宽度为，那么耕地的总长度和总宽度应该为，；那么根据题意即可得出方程．
【解答】解：设小路的宽度为，那么耕地的总长度和总宽度应该为，；
根据题意即可得出方程为：，整理得：，故选：．
【点评】本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
｛★｝有支球队参加篮球比赛，共比赛66场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是
A．B．C．D．
【分析】利用比赛的总场次数参加比赛的球队数量（参加比赛的球队数量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得：．故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
｛★｝某校初三年级举行班级篮球友谊赛，每两个班都要进行一场比赛，张老师告诉小丽总共要进行120场比赛，小丽想通过列方程求出参与比赛的班级数．设参与比赛的班级有个，则所列方程正确的是
A．B．C．D．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程．
【解答】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，
由题意得，，故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．
｛★★｝股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫做跌停．若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是 ．
【分析】股票一次跌停就跌到原来价格的，再从的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能，设这两天此股票股价的平均增长率为，每天相对于前一天就上涨到，由此列出方程解答即可．
【解答】解：设这两天此股票股价的平均增长率为，由题意得
．故答案为：．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
｛★｝某口罩生产厂家2019年产量为100万个，为支持防疫工作，加大生产，2021年口罩产量为196万个，求该口罩厂家产量的年平均增长率．设该口罩厂家产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
【分析】设该口罩厂家产量的年平均增长率为，根据“2019年产量为100万个，2021年口罩产量为196万个”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该口罩厂家产量的年平均增长率为，依题意得：，故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
｛★｝某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）．
【分析】每件童装降元，每天多销售件，每件利润为元，再根据平均每天销售童装利润为1000元，即销量每件的利润元，即可列出方程．
【解答】解：每降价2元，多销售6件，设降价元，则多销售件；降价后销售件数为件，每件利润为元．则有，整理得．
【点评】理解：只要降价2元，就会多销售6件；那么，降价元，则多销售件．
｛★｝某商店的一种服装，每件成本为50元．经市场调研，售价为80元时，可销售100件；售价每提高1元，销售量将减少5件；售价每降低1元，销售量将增加5件．已知商店销售这批服装获利2000元，问这种服装每件售价是多少元？
【分析】设这种服装每件售价是元，则每件盈利元，可销售件，利用商店销售这批服装获得的总利润每件盈利销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这种服装每件售价是元，则每件盈利元，可销售件，
依题意得：，整理得：，解得：，．
答：这种服装每件售价是60元或90元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
｛★｝商场某种新商品每件进价是40元，在试销期间发现，当每件商品售价50元时，每天可销售500件．当每件商品售价高于50元时，每涨价1元，日销售量就减少10件．规定售价不得超过75元．若商场每天盈利为8000元，求每件商品的售价．
【分析】设商场日盈利达到8000元时，每件商品涨价为元，根据每件商品的盈利销售的件数商场的日盈利，列方程求解即可．
【解答】解：设涨价元，则根据题意列方程得：，整理得出：，
，解得：，故每件商品的销售定价为：（元，（元；售价不得超过75元，每件商品售价为60时，商场日盈利达到8000元．
答：每件商品售价为60元时，商场日盈利达到8000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据每件商品的盈利销售的件数商场的日盈利，列出方程是关键．
｛★｝如图，某建筑工程队在一堵墙边上用20米长的铁栏围成一个面积为60平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是11米，铁栅栏只围三边，且在正下方要造一个2米宽的门．问：以上要求所围成长方形的两条邻边的长分别是多少米？
【分析】设仓库的垂直于墙的一边长为米，而与墙平行的一边开一道2米宽的门，现有能围成20米长的篱笆，那么平行于墙的一边长为米，而仓库的面积为60米，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题．
【解答】解：设仓库的垂直于墙的一边长为米，依题意得，，
，或，当时，；当时，，不合题意舍去．答：该长方形相邻两边长要取10米，6米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
｛★｝在学校劳动基地里有一块长50米、宽30米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图．已知这块矩形试验田中种植的面积为1421平方米，小道的宽为多少米？
【分析】设小道的宽为米，则其他部分可合成长米，宽米的矩形，根据这块矩形试验田中种植的面积为1421平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合，即可得出小道的宽为1米．
【解答】解：设小道的宽为米，则其他部分可合成长米，宽米的矩形，
依题意得：，整理得：，解得：，．又，
，．答：小道的宽为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
｛★｝2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新型冠状病毒倡议书在微信朋友圈传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书，又邀请个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共有931人参与了转发活动，则方程列为
A．B．C．D．
【分析】设邀请了个好友转发倡议书，第一轮转发了个人，第二轮转发了个人，根据两轮转发后，共有931人参与列出方程即可．
【解答】解：由题意，得，故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数，根据两轮总人数为931人建立方程是关键．
｛★｝某小组各人之间互赠礼物一件，全组共赠送礼物182件，如果全组共有名同学，则根据题意所列方程为
A．B．C．D．
【分析】由各人之间互赠礼物一件及全组共有名同学，可得出每人赠送件礼物，再利用全组赠送礼物数人数每人赠送礼物数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：全组共有名同学，且各人之间互赠礼物一件，每人赠送件礼物．又全组共赠送礼物182件，可列方程．故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

（2021•兴安盟）有一个人患流感，经过两轮传染后共有81个人患流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？设每轮传染中平均一个人传染个人，可列方程为
A．B．
C．D．
【分析】平均一人传染了人，根据有一人患了流感，第一轮有人患流感，第二轮共有人，即81人患了流感，由此列方程求解．
【解答】解：设平均一人传染了人，第一轮有人患流感，第二轮共有人，
根据题意得：，故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是得到两轮传染数量关系，从而可列方程求解．
（2021•福建）某市2018年底森林覆盖率为．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，那么，符合题意的方程是
A．B．
C．D．
【分析】设从2018年起全市森林覆盖率的年平均增长率为，根据2018年及2020年的全市森林覆盖率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设从2018年起全市森林覆盖率的年平均增长率为，根据题意得：．
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（2020•衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为
A．B．
C．D．
【分析】若设小道的宽为米，则阴影部分可合成长为米，宽为米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：．故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（2019•宜宾）某产品每件的生产成本为50元，原定销售价65元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降，第二季度又将回升．若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为，根据题意可列方程是 ．
【分析】设每个季度平均降低成本的百分率为，根据利润售价成本价结合半年以后的销售利润为元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设每个季度平均降低成本的百分率为，依题意，得：．故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．（2022秋•南溪区期中）下列方程中，关于的一元二次方程是
A．B．C．D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：．该选项的方程是分式方程，故本选项不符合题意；
．，是一元二次方程，故本选项符合题意；
．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．整理可得，是一元一次方程，故本选项不合题意．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一次未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．（2022•蜀山区校级三模）当时，关于的一元二次方程的根的情况为
A．有两个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
【分析】利用得到△，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：，
，
△，
方程有两个实数解．
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
3．（2022秋•句容市月考）小兵在暑假调查了某工厂得知，该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，设2020年至2022年该产品的预计年平均增长率为，根据题意列出方程得
A．B．
C．D．
【分析】根据该工厂2020年全年某产品的产量为234万吨，经该厂的技术人员预计2022年全年该产品的产量为345万吨，列方程即可．
【解答】解：根据题意，得，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
4．（2022春•岚山区期末）若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是
A．B．2C．0D．或2
【分析】先把代入得，解关于的方程得，，然后根据一元二次方程的定义可确定的值．
【解答】解：把代入得：
，
解得，，
而，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．（2022春•招远市期末）设，是方程的两个实数根，则的值为
A．2020B．2021C．2022D．2023
【分析】先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：是方程的实数根，
，
，
，是方程的两个实数根，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了一元二次方程的根．
6．（2022春•福山区期末）我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．则在下面四个构图中，能正确说明方程解法的构图是
A．B．
C．D．
【分析】根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．
【解答】解：方程，即的拼图如图所示；
中间小正方形的边长为，其面积为25，
大正方形的面积：，其边长为7，
因此，选项所表示的图形符合题意，故选：．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
7．（2022•定远县模拟）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为，那么满足的方程是
A．B．
C．D．
【分析】由题意根据增长后的量增长前的量增长率），如果该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么可以用分别表示五、六月份的产量，进而即可得出方程．
【解答】解：设该厂五、六月份平均每月的增长率为，那么得五、六月份的产量分别为、，
根据题意得：．故选：．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程的增长率问题，注意掌握其一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量，为增长率．
8．（2022春•瑶海区期末）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为
A．B．1C．D．2
【分析】把代入方程，即可得到的值．
【解答】解：关于的一元二次方程的一个解是，，．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9．（2022秋•乌鲁木齐期中）如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（单位：，现在其中修建一条观花道（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．设观花道的直角边（如图所示）为，则可列方程为
A．B．
C．D．
【分析】利用直角三角形面积求法列出方程求解即可．
【解答】解：由题意可得：，即．故选：．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图意列出方程，难度不大．
10．（2022•大方县二模）春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽，设小路的宽为，则可列方程
A．B．
C．D．
【分析】根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的，即可得出关于的一元二次方程，
【解答】解：设小路的宽为米，则绿化区域的长为米，宽为米，
故选：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．
1．（2022秋•建邺区期中）关于的一元二次方程一个实数根为2022，则方程一定有实数根
A．2022B．C．D．
【分析】根据一元二次方程根的定义：将代入方程中，再两边同时除以2022，可得结论．
【解答】解：关于的一元二次方程一个实数根为2022，
，
，
，
是方程的实数根．
故选：．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，熟练掌握等式的性质和一元二次方程解的定义是解本题的关键．
2．（2022春•钱塘区期末）已知关于的方程，则下列说法正确的是
A．不存在的值，使得方程有两个相等的实数解
B．至少存在一个的值，使得方程没有实数解
C．无论为何值，方程总有一个固定不变的实数根
D．无论为何值，方程有两个不相等的实数根
【分析】先计算△的值，利用的值，可作判断．
【解答】解：关于的方程，
△，
、当时，△，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；
、因为△，所以不存在的值，使得方程没有实数解．故此选项错误；
、解方程得：，，所以无论为何值，方程总有一个固定不变的实数根，故此选项正确；
、当时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；
故选：．
【点评】本题考查了根的判别式，计算△的值判断方程根的情况是解题的关键．
3．（2022•安国市一模）可以用如图所示的图形研究方程的解：在中，，，，以点为圆心作弧交于点，使，则该方程的一个正根是
A．的长B．的长C．的长D．的长
【分析】在中，利用勾股定理进行计算，可得，从而可得的长该方程方程的一个正根．
【解答】解：，
，
在中，，
，
，
，
，
与方程相同，且的长度是正数，
的长该方程的一个正根，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，利用勾股定理及各边长得出是解题的关键．
4．（2022•鹿城区校级模拟）下面是某同学在一次测验中解答的填空题：
（1）若，则（2）方程的解为．（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5．其中答案错误的题目个数为
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】根据一元二次方程的解法、勾股定理计算，判断即可．
【解答】解：（1）若，则，故本小题计算错误；
（2）方程的解为，，故本小题计算错误；
（3）若直角三角形有两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，故本小题说法错误；
故选：．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握一元二次方程的解法、勾股定理是解题的关键．
5．（2022春•咸阳月考）对于已知，则
A．2B．C．D．
【分析】先将等式左边配方，再求值．
【解答】解：，
．
．
，，
，，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查配方法的应用，正确配方是求解本题的关键．
6．（2022春•淄川区期中）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的
A．①②B．①②④C．①②③④D．①②③
【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．
【解答】解：①若，则是方程的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：△，故①正确；
②方程有两个不相等的实根，
△，
则方程的判别式△，
方程必有两个不相等的实根，
故②正确；
③是方程的一个根，
则，
，
若，等式仍然成立，
但不一定成立，
故③不正确；
④若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：，
，
，
故④正确．
故正确的有①②④，
故选：．
【点评】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．
7．（2022•芜湖一模）已知实数满足，则代数式的值是
A．7B．C．7或D．或3
【分析】由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出的值就可以求出结论．
【解答】解：，
，
或，
或．
当时，，
，
此方程无实数解．
当时，
故选：．
【点评】本题考查了整体思想在一元二次方程的解法中的运用，因式分解法解一元二次方程的运用，代数式求值的运用，解答时因式分解法解一元二次方程是关键．
8．（2022春•蜀山区校级月考）若实数满足方程，那么的值为
A．或4B．4C．D．2或
【分析】设，则原方程化为，求出，即可得出选项．
【解答】解：设，则原方程化为，
解得：或，
当时，，此时方程有解，
当时，，此时方程无解，舍去，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．
9．（2022•章丘区二模）已知等腰的底边长为3，两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根，则的周长为
A．6.5B．7C．6.5或7D．8
【分析】先根据两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根，求得，进而得到一元二次方程为，进而得到两腰之和为，进而得出的周长为．
【解答】解：两腰长恰好是关于的一元二次方程的两根，
△，
解得，
一元二次方程为，
两腰之和为，
的周长为，
故选：．
【点评】本题主要考查了根的判别式以及三角形三边关系，一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的实数根；②当△时，方程有两个相等的实数根；③当△时，方程无实数根．
10．（2022秋•武侯区校级月考）已知关于的方程．若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 16或22 ．
【分析】首先证明△，再利用求根公式计算出方程的两根，，则可设，，然后讨论：当、为腰；当、为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长即可．
【解答】解：△，
，
，
无论取什么实数值，，
△，
即无论取什么实数值，方程总有实数根；
解方程，
因式分解得：，
解得：，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，而，，所以三角形的周长为：；
当、为腰，则，解得，
，因为6，2，2不构成三角形，所以这种情况不成立；
当、为腰 则，
，
三角形的周长为：．
综上，三角形的周长为16或22．
故答案为：16或22．
【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，分为腰长以及底边长两种情况考虑是解题的关键．
11．（2022秋•宽甸县校级月考）对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的 ．
．只有①②④
．只有①②③
．①②③④
．只有①②
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①当时，，那么一元二次方程有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时成立，那么①一定正确．
②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．
③由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，那么③不一定正确．
④，由，得．由是一元二次方程的根，则成立，那么④正确．
综上：说法正确的有①②④．
故选：．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
12．（2022秋•顺德区期中）若关于的方程的两根满足，，，均为常数，，则关于的方程的两根，满足的取值范围分别是 ， ．
【分析】把方程看作关于的一元二次方程，利用关于的方程的两根满足，，得到或，从而得到方程的两根，满足的取值范围．
【解答】解：把方程看作关于的一元二次方程，
关于的方程的两根满足，，
或，
或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，理解两个方程的根的关系是关键．
1．（2021秋•孟村县期末）如图，在中，，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形的面积为时，点的运动时间为
A．B．或C．D．或
【分析】设当四边形的面积为时，点的运动时间为，由题意：四边形的面积为11 ，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：由题意得：，，
则，
设当四边形的面积为时，点的运动时间为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意舍去），
，
即当四边形的面积为时，点的运动时间为，
故选：．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及三角形面积公式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
2．（2022秋•来安县期中）设，，为实数，且满足，，则下列结论正确的是
A．B．且
C．且D．且
【分析】由二次函数的性质，当时，，当时，，从而得出图象的大体位置，再进行判断即可．
【解答】解：设二次函数，
，，
方程有两个不相等的实数根，
即．
故选：．
【点评】本题考查了抛物线和轴的交点问题，抛物线和轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根．
3．（2016•雁峰区校级自主招生）如图，若将图1正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，设，则
A．B．C．D．
【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为，右图是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，而，代入即可得到关于的方程，解方程即可求出．
【解答】解：依题意得，
而，
，
，而不能为负，
．
故选：．
【点评】此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．
4．（2019秋•金牛区校级期中）若，，是实数，且，则 17 ．
【分析】将等式右边的部分移到左边，然后配方，利用偶次方的非负性，可得，，的值，从而可求得的值．
【解答】解：
，，
，，
，，
，，
故答案为：17．
【点评】本题考查了配方法在二次根式中 应用，熟练掌握配方法并明确偶次方的非负性，是解题的关键．
5．（2016•潍坊模拟）如图，将矩形沿图中虚线（其中剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则的值等于 ．
【分析】根据三角形的相似很容易证明对应边的相似比，③所在的小直角三角形和，③②构成的大直角三角形相似，根据相似比可求出值．
【解答】解：三角形相似对应边成比例．
，
．
解得：（舍去），．
故答案为：．
【点评】本题考查理解题意能力，关键是在图中找到相似比构造方程求解．
6．（2015•成都）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的是 ②③ （写出所有正确说法的序号）
①方程是倍根方程．
②若是倍根方程，则；
③若点在反比例函数的图象上，则关于的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为．
【分析】①解方程得：，，得到方程不是倍根方程，故①错误；②由是倍根方程，且，，得到，或，或于是得到，故②正确；③由点在反比例函数的图象上，得到，解方程得：，，故③正确；④由方程是倍根方程，得到，由相异两点，都在抛物线上，
得到抛物线的对称轴，于是求出，故④错误．
【解答】解：①解方程得：，，
方程不是倍根方程，故①错误；
②是倍根方程，且，，
，或，
，，
，故②正确；
③点在反比例函数的图象上，
，
解方程得：，，
，故③正确；
④方程是倍根方程，
设，
相异两点，都在抛物线上，
抛物线的对称轴，
，
，
，故④错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，反比例函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，正确的理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
7．（2020•大冶市模拟）已知关于的一元二次方程；
（1）求证：不论任何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两根为、且满足，求的值．
【分析】（1）要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明△即可．
（2）因为，所以由根与系数的关系可得，解方程可得的值．
【解答】解：（1）证明：△
，
不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2），即，
由根与系数的关系可得①，
解得，
经检验得出是方程①的根，
即的值为．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的情况与判别式△的符号的关系，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题，体现了转化的数学思想．
8．（2019春•九龙坡区校级月考）每年的3月8日是国际劳动妇女节，是世界各国妇女争取和平、平等、发展的节日，沙坪坝某商店抓住这一机会，将、两种巧克力进行降价促销活动，在这一天前来购买这两种巧克力的顾客共有400名，每名顾客均购买了一盒巧克力，其中、两种的巧克力的销售单价分别为90元和50元．
（1）若选择购买种巧克力的人数不超过购买种巧克力数的0.6倍．求至少有多少人选择购买种巧克力？
（2）“七夕”节是中国的情人节，该商店估计当天购买巧克力的人会比较多，于是提高了种巧克力的售价，结果发现“七夕”节当天前来购买巧克力的顾客人数出现了下降，经统计发现与（1）问中选择种巧克力的人数最少时相比，种巧克力每上涨3元，购买种巧克力的人数会下降5人，同时购买种巧克力的人数也下降3人，但是种巧克力的售价没变，最终“七夕”节期间两种巧克力的总销售额与（1）问中选择种巧克力的顾客最少时的两种巧克力的总销售额持平，求“七夕”节当天种巧克力的售价．
【分析】（1）设购买、两种巧克力的人数分别为、，则，即可求解；
（2）“七夕”节当天种巧克力涨价元，由题意得：购买甲乙巧克力的人数分别为250人、150人，则，即可求解．
【解答】解：（1）设购买、两种巧克力的人数分别为、，
则，
解得：，
故至少有250人选择购买种巧克力；
（2）“七夕”节当天种巧克力涨价元，
由题意得：购买甲乙巧克力的人数分别为250人、150人，
则，
解得：或0（舍去，
故“七夕”节当天种巧克力的售价为120元．
【点评】根据利润单个的利润销售总量，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
9．（2019春•北碚区校级月考）西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验成长玩出你的稀缺竞争力”，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要、两种材料，已知种材料单价32元套，种材料单价24元套，活动需要、两种材料共50套计划购买、两种材料总费用不超过1392元．
（1）若按计划采购，最多能购买种材料多少套？
（2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买种材料的计划相比，实际采购种材料数量的增加了，种材料的数量减少、材料的数量均为整数），实际采购种材料的单价减少了，种材料的单价增加，且实际总费用比按（1）中最多购买种材料的总费用多了16元，求．
【分析】（1）设购买材料套，则购买材料为套，由题意得：，即可求解；
（2）由题意得：，即可求解．
【解答】解：（1）设购买材料套，则购买材料为套，
由题意得：，
解得：，
则最大购买材料24套（购买材料26套）；
（2）由题意得：，
化简得：，解得：或不合题意舍去），解得：．
【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
1
1.1
1.2
1.3
0.84
2.29