专题11 反比例函数(精讲精练）-中考数学复习核心考点精讲与分层训练（附思维导图，全国通用版）

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结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的关系式
能画出反比例函数的图像，根据图像和关系式探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况
能用反比例函数解决简单实际问题
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc19186" 考点1：反比例函数的概念、图像与性质 PAGEREF _Tc19186 \h 3
\l "_Tc29396" 考点2：确定函数解析式 PAGEREF _Tc29396 \h 10
\l "_Tc20770" 考点3：反比例函数与几何综合 PAGEREF _Tc20770 \h 19
\l "_Tc18507" 考点4：反比例函数与一次函数综合 PAGEREF _Tc18507 \h 31
\l "_Tc12485" 考点5：实际问题与反比例函数 PAGEREF _Tc12485 \h 43
\l "_Tc16613" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc16613 \h 55
\l "_Tc22923" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc22923 \h 56
考点1：反比例函数的概念、图像与性质
1.反比例函数的概念：
（1）定义：形如y＝eq \f(k,x)(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．
（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝eq \f(k,x)；②; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)
2.反比例函数图像与性质
3.反比例函数的图象特征
（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；
（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；
（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．

｛反比例函数的定义★｝下面的函数是反比例函数的是
A．B．C．D．
【分析】根据反比例函数的定义逐个判断即可．
【解答】解：．不是关于的反比例函数，故本选项不符合题意；．是的是正比例函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；．是关于的反比例函数，故本选项符合题意；．不是关于的反比例函数，故本选项不符合题意；故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义是解此题的关键，注意：形如为常数，的函数，叫反比例函数．
｛反比例函数的定义★｝若函数是反比例函数，则的值是
A．1B．C．2或D．2
【分析】根据反比例函数的意义，得出，且，进而求出的值．
【解答】解：函数是反比例函数，，且，，当时，，不合题意舍去，当时，，，故选：．
【点评】本题考查反比例函数的定义，理解反比例函数的意义，得出，且是解决问题的关键．
【点评】这道题主要考查了反比例的概念，正比例关系是两个量的比值是一个定值，希望加以区分．
｛反比例函数的图像★｝函数与在同一坐标系的图象可能是下列选项中的
A．B．C．D．
【分析】因为的符号不确定，所以应根据的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【解答】解：，直线经过点，故、选项错误；当时，反比例函数的图象在二，四象限，一次函数的图象过二、三、四象限，选项不符合；当时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、三象限，选项符合．故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，正确掌握它们的性质才能灵活解题．
｛反比例函数的性质★｝对于反比例函数，下列说法不正确的是
A．这个函数的图象分布在第一、三象限
B．点在这个函数图象上
C．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D．当时，随的增大而增大
【分析】根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小进行分析即可．
【解答】解：、反比例函数中的，双曲线的两支分别位于第一、三象限，正确，不符合题意；、点在它的图象上，正确，不符合题意；、反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，正确，不符合题意；、反比例函数中的，其在每一象限内随的增大而减小，不正确，符合题意；故选：．
【点评】本题考查反比例函数图象与性质，关键掌握以下性质：反比例函数，当，反比例函数图象在一、三象限，每个象限内，随的增大而减小；当，反比例函数图象在第二、四象限内，每个象限内，随的增大而增大
｛反比例函数的图像★｝已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是
A．B．C．D．
【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此即可得出，，即可得出一次函数的图象经过二三四象限，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：二次函数开口向下，；二次函数的对称轴在轴右侧，左同右异，符号与相异，；反比例函数图象经过一三象限，，，，一次函数的图象经过二三四象限．故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和二次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键．
｛反比例函数的性质★｝已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是
A．图象必经过点B．图象在第一、三象限
C．若，则 D．点，，，图象上的两点，且，则
【分析】直接利用反比例函数的性质结合反比例函数的增减性分别分析得出答案．
【解答】解：．反比例函数，图象必经过点，原说法正确，故此选项不合题意；．反比例函数，图象在第一、三象限，原说法正确，故此选项不合题意；．若，则，原说法错误，故此选项符合题意；．点，，，图象上的两点，且，则，原说法正确，故此选项不合题意；故选：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的增减性是解题关键．
｛反比例函数的定义★｝已知函数是反比例函数，则的值为 ．
【分析】根据反比例函数的定义，即，只需令且即可．
【解答】解：根据题意，，又，，所以．故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式转化为的形式．
｛反比例函数的性质★｝（2021•茶陵县模拟）如图，点是反比例函数与的一个交点，图中阴影部分的面积为，则反比例函数的解析式为 ．
【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得的值．
【解答】解：设圆的半径是，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
解得：．点是反比例函数与的一个交点．
．．，则反比例函数的解析式是：．
故答案是：．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象的对称性，正确根据对称性求得圆的半径是解题的关键．
（2021•荆门）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象是
A．①②B．②③C．②④D．③④
【分析】根据的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．
【解答】解：当时，一次函数经过一、三、四象限，函数的的图象在一、二象限，故选项②的图象符合要求．当时，一次函数经过一、二、四象限，
函数的的图象经过三、四象限，故选项③的图象符合要求．故选：．
【点评】此题考查一次函数的图象和反比例函数的图象，数形结合是解题的关键．
（2021•聊城）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为
A．B．C．D．
【分析】先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知，由抛物线交的正半轴，可知，由当时，，可知，然后利用排除法即可得出正确答案．
【解答】解：二次函数的图象开口向下，，，，
抛物线与轴相交于正半轴，，直线经过一、二、四象限，
由图象可知，当时，，，反比例函数的图象必在二、四象限，
故、、错误，正确；故选：．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
（2021•黔西南州）对于反比例函数，下列说法错误的是
A．图象经过点B．图象位于第二、第四象限
C．当时，随的增大而减小D．当时，随的增大而增大
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：反比例函数，当时，，故选项不符合题意；
，故该函数图象位于第二、四象限，故选项不符合题意；当，随的增大而增大，故选项符合题意；当时，随的增大而增大，故选项不符合题意；故选：．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
（2021•杭州）已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质．以下函数和具有性质的是
A．和B．和C．和D．和
【分析】根据题干信息可知，直接令，若方程有解，则具有性质，若无解，则不具有性质．
【解答】解：．令，则，解得或，即函数和具有性质，符合题意；．令，则，整理得，，方程无解，即函数和不具有性质，不符合题意；．令，则，整理得，，方程无解，即函数和不具有性质，不符合题意；．令，则，整理得，，方程无解，即函数和不具有性质，不符合题意；故选：．
考点2：确定函数解析式
待定系数法：只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.

｛确定反比例函数的解析式★｝一个反比例函数图象过点，则这个反比例函数的解析式是 ．
【分析】设出反比例函数解析式，然后把点的坐标代入求出值，即可得到解析式．
【解答】解：设该反比例函数为，则．该反比例函数的图象经过点，
，该反比例函数的解析式为：．故答案为：．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，灵活运用待定系数法是解题的关键，本题把点的坐标代入函数表达式进行计算即可求解．
｛确定反比例函数的解析式★｝如图，菱形的边在轴上，点，，若反比个例函数的图象经过点，则反比例函数解析式为 ．
【分析】根据菱形的性质和点的坐标可求出，再由锐角三角函数可求出，进而确定点的坐标，再将点的坐标代入函数关系式即可．
【解答】解：四边形是菱形，，，又，，
点，点在反比例函数的图象上，，
反比例函数关系式为，故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，锐角三角函数的定义以及反比例函数图象上点值坐标的特征是解决问题的关键．
｛确定反比例函数的解析式★｝如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象的交于点，连接，若．
（1）反比例函数的解析式为 ；
（2）若直线与轴的交点为，则的面积为 ．
【分析】（1）先根据三角形面积公式求出得到，然后利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，再确定点坐标，然后利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1），
，解得，
，
设反比例函数解析式为，
把代入得，
反比例函数解析式为；
（2）设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为，
当时，，则，
．
故答案为：，（2）2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析式．
｛确定反比例函数的解析式★｝已知平行四边形中，、，，反比例函数是经过线段的中点，则反比例函数解析式为 ．
【分析】因为四边形时平行四边形，所以的中点为，由中点坐标可求反比例函数的解析式．
【解答】解：如图：、、，，，反比例函数为，
四边形是平行四边形，，，，的中点为，
，；反比例函数的解析式为；故答案为．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式与平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，会用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
｛确定反比例函数的解析式★｝如图，反比例函数的图象经过的顶点，为斜边的中点，则过点的反比例函数图象的函数表达式为 ．
【分析】设，利用线段的中点坐标公式得到点坐标为，，然后利用待定系数法求过点的反比例函数解析式．
【解答】解：设，
为斜边的中点，点坐标为，，设过点的反比例函数图象的函数表达式为，
把，代入得，过点的反比例函数图象的函数表达式为．故答案为．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，，然后把一个已知点的坐标代入求出得到反比例函数解析式．
如图，已知反比例函数的图象经过点，过作轴于点．点为反比例函数图象上的一动点，过点作轴于点，直线与轴的负半轴交于点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若，求的面积．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）求出直线的解析式，可得点坐标，求出，即可解决问题．
【解答】解：（1）反比例函数的图象经过点，，反比例函数；
（2）轴，，，，，轴，，，
，设直线的解析式为，则有，解得，
直线的解析式为，，，，．
【点评】本题考查了反比例函数的综合应用，待定系数法、一次函数与坐标轴的交点特征，梯形面积等知识点，熟练掌握一次函数和反比例函数的相关知识是解题关键．
如图，平面直角坐标系中，函数的图象上、两点的坐标分别为，．
（1）求反比例函数和直线的解析式；
（2）连接、，求的面积．
【分析】（1）根据反比例函数系数得出，即，解方程求得、的坐标，进而即可利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）求得的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得．
【解答】解：（1）、两点在的图象上，而，，
，即，解得，
的图象与坐标轴没有交点，舍去，，，，，
设直线的解析式为：，则，解得：
直线的解析式为：，反比例函数解析式为：；
（2）设直线交轴于点，则当时，，，，
的面积为5．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得、点的坐标是解题的关键．
（2020•黔西南州）如图，在菱形中，，，菱形的一个顶点在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为
A．B．C．D．
【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点的坐标，从而可以求得的值，进而求得反比例函数的解析式．
【解答】解：在菱形中，，菱形边长为2，，，过作于，则，，，点的坐标为，顶点在反比例函数的图象上，，得，即，故选：．
【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点的坐标．
（2021•西藏）如图．在平面直角坐标系中，的面积为，垂直轴于点，与双曲线相交于点，且．则的值为
A．B．C．3D．
【分析】过作轴于，可得，根据相似三角形的性质求出，由反比例函数系数的几何意义即可求得．
【解答】解：过作轴于，，，轴，，，，，，双曲线在第二象限，，故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出是解决问题的关键．
（2020•黔南州）如图，正方形的边长为10，点的坐标为，点在轴上，若反比例函数的图象过点，则该反比例函数的解析式为 ．
【分析】过点作轴于，由“”可证，可得，，可求点坐标，即可求解．
【解答】解：如图，过点作轴于，
四边形是正方形，，，，
，，，，
又，，，，，
点，反比例函数的图象过点，，反比例函数的解析式为，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，利用待定系数法求解析式，求出点坐标是本题的关键．
考点3：反比例函数与几何综合
（1）意义：从反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|.
（2）常见的面积类型：

｛反比例函数的几何意义★★｝如图，，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且，两点的横坐标分别是2和3，则的面积是
A．4.5B．3.5C．2.5D．1.5
【分析】过，两点分别作轴于，轴于，由反比例函数解析式求得、的坐标，根据反比例函数系数的几何意义得出，由即可求得．
【解答】解：，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且，两点的横坐标分别是2和3，当时，，即，当时，，即．
如图，过，两点分别作轴于，轴于，则．
，，
．故选：．
【点评】本题考查了反比例函数中的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积的关系即．
｛反比例函数的几何意义★★｝如图，是反比例函数图象上一点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，点在轴上，且，则的值为
A．7B．C．D．5
【分析】根据反比例函数系数的几何意义可得，，根据平行线的性质和三角形的面积公式可得，根据，求出的值即可．
【解答】解：如图，连接、，延长交轴于，则，，
轴，，即，，，，故选：．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义得出是正确解答的关键．
｛反比例函数的几何意义★★｝如图，已知，，，，反比例函数的图象与线段交于，两点，若，则
A．B．4C．3D．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点．由可得出，即，再根据点的坐标即可得出，，设直线的解析式为，由点结合待定系数法求函数解析式即可得出直线的解析式，将反比例函数解析式代入直线解析式中，由根与系数的关系可表示出，结合，，即可求出的值．
【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点．
，，即，，
，．设直线的解析式为，点在直线上，
，解得：，即直线的解析式为．令，即，
则，解得：，故选：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是结合根与系数的关系找出关于的一元一次方程．
｛反比例函数的几何意义★★｝如图，中，，点在轴上，反比例函数的图象过斜边的中点，与交于点．若的面积为3，则的值是
A．1B．C．2D．3
【分析】根据反比例函数系数的几何意义可得，由中点的定义和相似三角形的性质可得，在根据，可求出答案．
【解答】解：过点作于点，则，是的中点，，
，，，，，，
，又，，故选：．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质是解决问题的关键．
｛反比例函数的几何意义★★｝如图，点与点分别在函数与的图象上，线段的中点在轴上．若的面积为3，则的值是 6 ．
【分析】设，，代入双曲线得到，，根据三角形的面积公式求出，即可得出答案．
【解答】解：作轴于，轴于，轴，是的中点，
，设，，代入得：，，，
，，，故选：6．
【点评】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出是解此题的关键．
｛反比例函数的几何意义★★｝如图，、两点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，交于点．若，的面积为1，则的值为 ．
【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论．
【解答】解：设点，，，，轴，
，的面积为1，，
，，，故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
｛反比例函数的几何意义★★｝如图，点、在反比例函数的图象上，直线经过原点，点在轴正半轴上，且，，，则的值为 4 ．
【分析】作轴于，轴于，根据题意得到是等腰直角三角形，即可得出，，通过证得，得出，设，则，，，所以，从而得到，，根据三角形面积公式得到，求得，从而求得，即可求得．
【解答】解：作轴于，轴于，，是等腰直角三角形，
，，点、在反比例函数的图象上，直线经过原点，
，，，，，
，，，，
设，则，，，，，，
，，，，，
故答案为：4．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得的坐标是解题的关键．
｛反比例函数的几何意义★★｝如图，等腰中，底边轴，与轴交于点，点，在函数的图象上，点在函数的图象上，若与的面积差为12．则的值为 24 ．
【分析】设所在的直线为，分别表示出、的坐标，再设，根据可得的值，最后根据面积差可得方程，求解即可得到答案．
【解答】解：设所在的直线为，
当时，，则，；
当时，，则，；
设，
，为中点，
中点，，
，
，，
与的高相同，均为的纵坐标减去，
即：，
，
解得．
故答案为：24．
【点评】此题考查的是反比例函数的几何意义、反比例函数点的坐标的特点、等腰三角形的性质等知识，根据三角形面积差得到方程是解决此题关键．
｛反比例函数的几何意义★★｝如图，曲线是双曲线绕原点逆时针旋转得到的图形，是曲线上任意一点，点在直线上，且，则的面积为 6 ．
【分析】将双曲线逆时针旋转使得与轴重合，等腰三角形的底边在轴上，应用反比例函数比例系数的性质解答问题．
【解答】解：如图，将及直线绕点逆时针旋转，则得到双曲线，直线与轴重合．
双曲线，的解析式为，
过点作轴于点，
，
为中点．
，
由反比例函数比例系数的性质，，
的面积是6
故答案为6．
【点评】本题为反比例函数综合题，考查了反比例函数的轴对称性以及反比例函数比例系数的几何意义．
（2021•玉林）如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是 3 ．
【分析】过点作轴，交与点，设点则，可表示出和的长度，又，即可求出的值．
【解答】
解：过点作轴，交与点，设点则，，是等腰三角形，底边轴，轴，，点的横坐标为，点的纵坐标为，
，，，，故答案为3．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特点，能够利用表示出和的长度是解决本题的关键．
（2021•齐齐哈尔）如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点且与反比例函数的图象交于点，，连接，．若的面积为6，则 ．
【分析】由的面积为6，可求出的面积为2，进而求出的面积为8，再根据反比例函数系数的几何意义可求出，，进而得出答案．
【解答】解：，，，
，
，
又，，，，
，，
，
故答案为：．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键．
（2021•罗湖区）如图，的一条直角边在轴上，双曲线经过斜边的中点，与另一直角边交于点．若，则的值为 6 ．
【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是个定值，即．
【解答】解：如图，过点作轴，垂足为．中，，，为斜边的中点，为的中位线，，．
双曲线的解析式是，即，，
由，得，，，
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比函数的几何意义，过图象上的任意一点作轴、轴的垂线，所得三角形的面积是，是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想．
考点4：反比例函数与一次函数综合
（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（－a,－b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.
（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解
（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.
（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.

｛反比例函数与一次函数★｝（2021•枣庄）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于，两点，其中点的横坐标为1．当时，的取值范围是 或 ．
【分析】由正比例函数与反比例函数的对称性可得点横坐标，然后通过图象求解．
【解答】解：由正比例函数与反比例函数的对称性可得点横坐标为，
由图象可得当时，的取值范围是或．故答案为：或．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数交点问题及与不等式的关系，解题关键是由函数对称性得出点横坐标．
｛反比例函数与一次函数★｝反比例函数与正比例函数图象的一个交点为第三象限内一点．则不等式的解集为 或 ．
【分析】根据函数的对称性可得另一个交点在第一象限，其坐标为，再根据两个函数的交点坐标以及图象的性质得出答案．
【解答】解：由两个函数的对称性可得，
反比例函数与正比例函数图象的另一个交点在第三象限，坐标为，
当反比例函数大于正比例函数值时，自变量的取值范围为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点，理解正比例函数与反比例函数的性质是正确判断的前提．
｛反比例函数与一次函数★｝设函数与的图象的交点坐标为，则的值为 ．
【分析】根据图象上点的坐标特征，求出，，进而求得，代入变形后的代数式即可求出值．
【解答】解：函数与的图象的交点坐标为，
，，，，，
，，故答案为或．
【点评】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用函数解析式得出关于与的关系式是解本题的关键．
｛反比例函数与一次函数★｝如图，已知直线与反比例函数的图象分别交于、两点，连接、，若的面积为4，则值为 ．
【分析】如图，直线与轴交于点，则，设，，利用、为方程的解得到，则，利用三角形面积公式得到，解方程得到，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求的值．
【解答】解：如图，直线与轴交于点，则，设，，、为方程的解，方程整理为，，，，，，解得，，．故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
｛反比例函数与一次函数★｝（2021•巴中）如图，双曲线与直线交于点、，与两坐标轴分别交于点、，已知点，连接、．
（1）求，，的值；
（2）求的面积；
（3）作直线，将直线向上平移个单位后，与双曲线有唯一交点，求的值．
【分析】（1）根据待定系数法，将点的坐标代入函数关系式即可求出、、的值；
（2）根据点的坐标得出三角形的底和高，利用三角形的面积公式进行计算即可；
（3）求出直线的函数关系式，设平移后的关系式与反比例函数关系式组成方程组求解即可．
【解答】解：（1）双曲线过点，，
又直线经过点、，，解得，，
答：，，；
（2）由（1）可得反比例函数的关系式为，直线的关系式为，
当时，，解得，即，，由点可得，
，；
（3）设直线的关系式为，，代入得，
，，，，直线的关系式为，
设平移后的关系式为，由于平移后与有唯一公共点，
即方程有唯一解，
也就是关于的方程有两个相等的实数根，
，
解得，（舍去），
，
答：的值为．
【点评】本题考查反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数与反比例图象交点坐标，把点的坐标代入是求函数关系式常用的方法，将坐标转化为线段的长是正确解答的关键．
｛反比例函数与一次函数★｝如图，若反比例函数与一次函数交于、两点，当时，则的取值范围是 或 ．
【分析】写出反比例函数的图象在一次函数的图象下方的自变量的取值范围即可．
【解答】解：观察图象可知，当时，则的取值范围是或．故答案为或．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
｛反比例函数与一次函数★｝已知正比例函数与反比例函数的图象有一个交点的坐标为，则关于的不等式的解集为 或 ．
【分析】利用反比例函数和正比例函数的性质判断两个交点关于原点对称，然后根据关于原点对称的点的坐标特征写出另一个交点的坐标．根据交点坐标和图象即可得出不等式的解集．
【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象关于原点对称，
正比例函数与反比例函数的图象的交点关于原点对称，一个交点的坐标为，另一个交点的坐标是，如图，则关于的不等式的解集为或，
故答案为：或．
【点评】本题主要考查了比例函数与一次函数的交点问题，注意反比例函数图象和正比例函数具有中心对称性，即关于原点对称，数形结合思想的应用是解题的关键．
｛反比例函数与一次函数★｝如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，在第二象限内，当时，的取值范围是，则 ．
【分析】根据题意知，将反比例函数和一次函数联立，、的横坐标分别为、，代入方程求解得到的值．
【解答】解：由已知得、的横坐标分别为，，
所以有解得，故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，交点坐标适合两个解析式是解题的关键．
｛反比例函数与一次函数★｝（2021•乐山）如图，直线分别交轴、轴于、两点，交反比例函数的图象于、两点．若，且的面积为4．
（1）求的值；
（2）当点的横坐标为时，求的面积．
【分析】（1）由题意求得的面积为2，作轴于，证得，即可求得的面积为1，从而求得，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值；
（2）由，求得，得到为，把代入反比例函数解析式求得的坐标，根据待定系数法求得直线解析式，然后解析式联立，解方程组求得的坐标，最后根据即可求得．
【解答】解：（1），且的面积为4，
的面积为2，
作轴于，
，
，
，即，
的面积为1，
，
，
，
，
；
（2）点的横坐标为，
，
，
，即，
，
，
把代入得，，
，
设直线为，
把、的坐标代入得，解得，
直线为，
解得或，
，
．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数系数的几何意义、三角形的面积公式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）求出的面积；（2）求得点的坐标．
（2021•威海）一次函数与反比例函数的图象交于点，点．当时，的取值范围是
A．B．或C．D．或
【分析】由题可得，当时，或2，根据，两点，画出反比例函数和一次函数草图，直接结合图象，可以得到答案．
【解答】解：一次函数和反比例函数相交于，两点，根据，两点坐标，可以知道反比例函数位于第一、三象限，画出反比例函数和一次函数草图，如图1，由题可得，当时，或2，
由图可得，当时，或，故选：．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数交点问题，根据图象，直接写出答案，考查了数形结合思想．
（2021•通辽）定义：一次函数的特征数为，，若一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于，两点，且点，关于原点对称，则一次函数的特征数是
A．，B．，C．，D．，
【分析】将一次函数的图象向上平移3个单位长度后，得到解析式，联立一次函数与反比例函数解析式，得到关于的一元二次方程，设，，，，所以与是一元二次方程的两根，根据根与系数关系，得到，又，两点关于原点对称，所以，则，得到，根据定义，得到一次函数的特征数是，．
【解答】解：将一次函数向上平移3个单位长度后得到，
设，，，，联立，，和是方程的两根，
，又，两点关于原点对称，，，，
根据定义，一次函数的特征数是，，解法二：由定义可知，一次函数的特征数是，，故排除，．反比例函数的图形是中心对称图形，对称中心是原点，
一次函数的图象向上平移3个单位长度后并经过原点时，与反比例函数的交点关于原点对称，
，即，一次函数的特征数为，．故选：．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，联立两个函数解析式，得到一元二次方程，是解决交点问题的基本方法．
（2021•荆州）已知：如图，直线与双曲线在第一象限交于点，与轴、轴分别交于，两点，则下列结论错误的是
A．B．是等腰直角三角形
C．D．当时，
【分析】利用待定系数法求得，，利用直线的解析式求得，的坐标，可得线段，的长度，利用图象可以判断函数值的大小．
【解答】解：点在双曲线上，
，正确；
选项不符合题意；
．
在直线上，
．
，正确；
选项不符合题意；
直线的解析式为
令，则，
．
．
令，则，
．
．
．
为等腰直角三角形，正确；
选项不符合题意；
由图像可知，当时，．
选项不正确，符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数的图象与反比例函数图象的交点问题，待定系数法，数形结合．利用待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．
考点5：实际问题与反比例函数
1.一般步骤：
（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；
（2设出函数表达式；
（3）依题意求解函数表达式；
（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.

｛反比例函数的应用★★｝某品牌的饮水机接通电源就进入自动程序：开机加热到水温，停止加热，水温开始下降，此时水温与开机后用时成反比例关系，直至水温降至，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温和时间的关系如图所示，水温从降到所用的时间是
A．27分钟B．20分钟C．13分钟D．7分钟
【分析】首先求得两个函数的解析式，然后代入反比例函数求得后减去7即可求得时间．
【解答】解：开机加热时每分钟上升，
从到需要7分钟，
设一次函数关系式为：，
将，代入得，
，令，解得；
设反比例函数关系式为：，
将代入得，
，
将代入，解得；
水温从降到所用的时间是分钟，
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，还有时间的讨论问题．同学们在解答时要读懂题意，才不易出错．
｛反比例函数的应用★★｝某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度随时间（小时）变化的函数图象，其中段是双曲线的一部分，则当时，大棚内的温度约为
A．B．C．D．
【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将代入函数解析式求出的值即可．
【解答】解：点在双曲线上，，解得：．
当时，，所以当时，大棚内的温度约为．故选：．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．
｛反比例函数的应用★★｝为了预防“流感”，某学校对教室采用药熏法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与药物点燃后的时间（分成正比例，药物燃尽后，与成反比例（如图所示），已知药物点燃后6分钟燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为12毫克．
（1）求药物燃烧时和药物燃尽后，与之间的函数表达式；
（2）研究表明：空气中每立方米的含药量不低于6毫克，且持续5分钟以上才能有效杀灭空气中的病菌，请计算说明此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌．
【分析】（1）正比例函数图象过点，利用待定系数法可求解析式；反比例函数图象过点，利用待定系数法可求解析式；
（2）将分别代入两个解析式，可求的值，即可判断此次消毒能否有效杀灭空气中的病菌．
【解答】解：（1）设药物燃烧时，与之间函数的表达式为，
把代入得，，，药物燃烧时的函数表达式为；
设药物燃烧后，与之间函数的表达式为，把代入得，，
药物燃烧时的函数表达式为；
（2）把代入得，，，把代入得，，，
，
此次消毒能有效杀灭空气中的病菌．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求解析式，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
｛反比例函数的应用★★｝为了推进乡村振兴道路，解决特产销售困难的问题，云南某乡政府在芒果成熟后，帮助果农引进芒果经销商．已知某经销商从果农处进购芒果的成本价为4元千克，在销售过程中发现，每天的销售量（千克）与销售单价（元千克）之间的关系如图所示，其中为反比例函数图象的一部分，为一次函数图象的一部分．
（1）求每天的销售量与销售单价之间的函数关系；
（2）当销售单价为多少时，该经销商每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以写出每天的销售量与销售单价之间的函数关系；
（2）根据题意和（1）中的函数关系式，可以分别求得两段对应的利润的最大值，然后比较大小即可解答本题．
【解答】解：（1）当时，设与的函数关系式为，
点在该函数图象上，
，得，
当时，与的函数关系式为，
当时，设与的函数关系式为，
，
解得，
即当时，与的函数关系式为，
由上可得；
（2）设利润为元，
当时，，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，此时，
当时，，
当时，取得最大值，此时，
，
当销售单价为16时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是144元，
答：当销售单价为16时，该经销商每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点评】本题考查反比例函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用数形结合的思想解答．
｛反比例函数的应用★★｝某口罩生产企业于2020年1月份开始了技术改造，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，技术改造完成前是反比例函数图象的一部分，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是
A．4月份的利润为45万元
B．改造完成后每月利润比前一个月增加30万元
C．改造完成前后共有5个月的利润低于135万元
D．9月份该企业利润达到205万元
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【解答】解：、设反比例函数的解析式为，
把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
当时，，
月份的利润为45万元，故此选项正确，不合题意；
、治污改造完成后，从4月到5月，利润从45万到75万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意；
、当时，则，
解得：，
设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：，
当时，，当时，，
则只有2月，3月，4月，5月，6月共5个月的利润低于135万元，故此选项正确，不符合题意．
、设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：，
故时，，
解得：，
则9月份之后该厂利润达到205万元，故此选项不正确，符合题意．
故选：．
【点评】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．
｛反比例函数的应用★★｝为了推动“成渝地区双城经济圈”的建设，某工厂为了推进产业协作“一条链”，自2021年1月开始科学整改，其月利润（万元）与月份之间的变化如图所示，整改前是反比例函数图象的一部分，整改后是一次函数图象的一部分，下列选项正确的有 ，， ．
月份的利润为50万元；
．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元；
．治污改造完成前共有4个月的利润低于100万元；
月份该厂利润达到200万元．
【分析】直接利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式进而分别分析得出答案．
【解答】解：．设反比例函数的解析式为，
把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
当时，，
月份的利润为50万元，故此选项符合题意；
．治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项符合题意；
．当时，则，
解得：，
则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项不合题意．
．设一次函数解析式为：，
则，
解得：，
故一次函数解析式为：，
故时，，
解得：，
则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项符合题意．
故答案为：，，．
【点评】此题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确得出函数解析是解题关键．
｛反比例函数的应用★★｝研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图象如图所示．
（1）求反比例函数的关系式，并求点对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
【分析】（1）设出反比例函数的解析式，根据图中数据用待定系数法求解析式即可；
（2）无论怎么安排都做不到，由图知学生的注意力指标最高为15．
【解答】解：（1）设反比例函数的关系式为，
由图知，反比例函数过点，
代入解析式得，
解得，
反比例函数的关系式为，
当时，，
故点对应的指标值为；
（2）不能，理由如下：
由图知学生的注意力指标最高为15，
故注意力指标达不到36．
【点评】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质及待定系数法求解析式是解题的关键．
｛反比例函数的应用★★｝为了预防“甲型”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，与成反比例，如图所示，现测得药物燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为，请你根据题中提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时，求关于的函数关系式？自变量的取值范围是什么？药物燃烧后与的函数关系式呢？
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？
【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出函数解析式；
（2）利用时分别代入求出答案．
【解答】解：（1）设药物燃烧时关于的函数关系式为，
代入得，
，
设药物燃烧后关于的函数关系式为，
代入得，
，
药物燃烧时关于的函数关系式为药物燃烧后关于的函数关系式为：，
；
（2）有效，理由如下：
把代入，得：，
把代入，得：，
，
这次消毒是有效的．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出函数解析式是解题关键．
（2020•长沙）2019年10月，《长沙晚报》对外发布长沙高铁西站设计方案．该方案以“三湘四水，杜鹃花开”为设计理念，塑造出“杜鹃花开”的美丽姿态．该高铁站建设初期需要运送大量土石方．某运输公司承担了运送总量为土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度（单位：天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间的函数关系式是
A．B．C．D．
【分析】按照运送土石方总量平均运送土石方的速度完成运送任务所需时间，列出等式，然后变形得出关于 的函数，观察选项可得答案．
【解答】解：运送土石方总量平均运送土石方的速度完成运送任务所需时间，
，，故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，理清题中的数量关系是得出函数关系式的关键．
（2020•玉林）南宁至玉林高速铁路已于去年开工建设．玉林良睦隧道是全线控制性工程，首期打通共有土石方总量为600千立方米，设计划平均每天挖掘土石方千立方米，总需用时间天，且完成首期工程限定时间不超过600天．
（1）求与之间的函数关系式及自变量的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，求实际挖掘了多少天才能完成首期工程？
【分析】（1）利用，进而得出与的函数关系，根据完成首期工程限定时间不超过600天，求出的取值范围；
（2）利用实际平均每天挖掘土石方比原计划多0.2千立方米，工期比原计划提前了100天完成，得出分式方程，进而求出即可．（也可以设原计划每天挖掘土石方千立方米，列分式方程，计算量比较小）．
【解答】解：（1）根据题意可得：，，；
（2）设实际挖掘了天才能完成首期工程，根据题意可得：
，解得：（舍或500，
检验得：是原方程的根，答：实际挖掘了500天才能完成首期工程．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．（2022•东营）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为2，点的横坐标为，则不等式的解集是
A．或B．或C．或D．
【分析】根据两函数图象的上下位置关系结合交点横坐标，即可得出不等式的解集，此题得解．
【解答】解：观察函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
不等式的解集为：或，
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
2．（2022•黔西南州）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是
A．一、二、三B．一、二、四C．一、三、四D．二、三、四
【分析】先根据反比例函数的图象位于二，四象限，可得，由一次函数中，，，可知它的图象经过的象限．
【解答】解：由图可知：，
一次函数的图象经过的象限是一、二、四．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的性质，掌握反比例函数与一次函数系数与图象的位置是解本题的关键．
3．（2022•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是
A．B．
C．D．
【分析】分或，根据一次函数与反比例函数的性质即可得出答案．
【解答】解：当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数位于第一、三象限；
当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数位于第二、四象限；
故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象与性质，熟练掌握，图象经过第一、三象限，，图象经过第二、四象限是解题的关键．
4．（2022•黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则的值是
A．2B．1C．D．
【分析】设，根据四边形是平行四边形，推出，表示出点的坐标，求出，再根据平行四边形面积公式列方程，解出即可．
【解答】解：设，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
平行四边形的面积是5，
，
解得，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数比例系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形性质，掌握反比例函数比例系数的几何意义及函数图象上点的坐标特征，设出点的坐标、根据平行四边形面积公式列方程是解题的关键．
5．（2022•德阳）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案．
【解答】解：分两种情况：
（1）当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无选项符合；
（2）当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故选项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
6．（2022•泰安一模）如图，、是双曲线上的两点，过点作轴，交于点，垂足为点，若的面积为1，为的中点，则的值为
A．B．C．3D．4
【分析】根据反比例函数系数的几何意义以及相似三角形的性质可得，进而得出，求出三角形的面积，根据反比例函数系数的几何意义求出答案．
【解答】解：如图，过点作轴，垂足为，
、是双曲线上的两点，过点作轴，
，
，
，
，
又是的中点，
，
，
，
，
又，
，
，
，
解法二：过点作轴于点，则是的中位线．
设，，
，，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．
7．（2022•义乌市模拟）如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是
A．或B．或C．或D．或
【分析】根据和都在反比例函数上，可得，求出的值，根据图象即可确定的取值范围．
【解答】解：和都在反比例函数上，
，
解得，
，
根据图象可知，当时，则的取值范围是：或，
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
8．（2022•罗庄区二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图象上的一个动点，过点作轴交函数的图象于点，点在轴上在的左侧），且，连接，．有如下四个结论：
①四边形可能是菱形；
②四边形可能是正方形；
③四边形的周长是定值；
④四边形的面积是定值．
所有正确结论的序号是
A．①②B．③④C．①③D．①④
【分析】①由轴得到，结合，得到四边形是平行四边形，设点，则，，得到的长，再表示的长，利用菱形的性质列出方程求得的值，即可判断结论；②当时，求得点的坐标，然后判断四边形是否为正方形；③任取两个点的坐标，求得和的长，然后判断四边形的周长是否为定值；④过点作轴于点，过点作轴于点，将四边形的面积转化为四边形的面积，进而利用反比例系数的几何意义判断四边形的面积是否为定值．
【解答】解：①轴，
，
又，
四边形是平行四边形，
设点，则，，
，，
当时，，，
此时，，
随着的变化，可能存在的情况，
四边形可能是菱形，故①正确，符合题意；
②由①得，当时，，，
，
四边形不为正方形，故②错误，不符合题意；
③由①中得，当点的横坐标为5时，，，
，
当点的横坐标为1时，，，，
，，
，
四边形的周长不为定值，故③错误，不符合题意；
④如图，过点作轴于点，过点作轴于点，则四边形为矩形，
，
，
四边形的面积为定值，故④正确，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，正方形的性质，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标特征．
9．（2022•南开区一模）已知反比例函数为常数）图象上三个点的坐标分别是，，，，，，其中，则，，的大小关系的是
A．B．C．D．
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据即可得出结论．
【解答】解：反比例函数为常数）中，，
函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
，
、两点在第四象限，点在第二象限，
．
故选：．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
10．（2022•思明区校级模拟）如图，菱形的对角线，交于点，且过原点，轴，点的坐标为，反比例函数的图象经过，两点，则的值是
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据菱形的性质可得对角线与互相垂直且平分，再根据反比例函数的对称性可得点坐标，进而求得的值，再利用一次函数性质即可求解．
【解答】解：在菱形中，对角线与互相垂直且平分，
，
经过原点，且反比例函数的图象恰好经过，两点，
由反比例函数图象的对称性知：
，
．
过点和点作轴的垂线，垂足为和，
，
，
点的坐标为，
，，
，，
点的坐标为，
．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数与几何综合，解决本题的关键是综合利用相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、菱形的性质等．
11．（2022•甘井子区校级模拟）已知反比例函数，则下列说法正确的为
A．随的增大而增大
B．图象分别位于一、三象限
C．图象经过点
D．若图象经过点，，则
【分析】根据函数的解析式中的得出①在每个象限内，随的增大而增大，②函数的图象在第二、四象限，再逐个判断即可．
【解答】解：．中，
在每个象限内，随的增大而增大，故本选项不符合题意；
．中，
函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；
．，
当时，，
函数图象不经过点，故本选项不符合题意；
．中，
在每个象限内，随的增大而增大，函数的图象在第二、四象限，
函数图象经过点和，
两点都在第四象限，
，
，故本选项符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．
12．（2022•济源校级模拟）已知点，，都在反比例函数的图象上，那么、、的大小关系是
A．B．C．D．
【分析】先判断出是正数，再根据反比例函数图象的性质，比例系数时，函数图象位于第一三象限，在每一个象限内随的增大而减小判断出、、的大小关系，然后即可选取答案．
【解答】解：，
，是正数，
反比例函数的图象位于第一三象限，且在每一个象限内随的增大而减小，
，，都在反比例函数图象上，
，，
．
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，（1），反比例函数图象在一、三象限；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，本题先判断出比例系数是正数是解题的关键．
13．（2022•青秀区校级一模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是
A．水温从加热到，需要
B．水温下降过程中，与的函数关系式是
C．上午8点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水
D．在一个加热周期内水温不低于的时间为
【分析】因为开机加热时，饮水机每分钟上升，所以开机加热到，所用时间为，故不合题意，利用点，可以求出反比例函数解析式，故不符合题意，令，则，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10分钟，令，代入到反比例函数中，求出，即可得到不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于时的时间．
【解答】解：开机加热时每分钟上升，
水温从加热到，所需时间为：，
故选项不合题意；
由题可得，在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点可得，，
水温下降过程中，与的函数关系式是，
故选项不合题意；
令，则，
，
即饮水机每经过40分钟，要重新从开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从加热了10分钟，
令，则，
故选项不符合题意；
水温从加热到所需要时间为：，
令，则，
，
水温不低于的时间为，
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，数形结合，是解决本题的关键．
14．（2022•东西湖区模拟）为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是
A．药物释放过程需要小时
B．药物释放过程中，与的函数表达式是
C．空气中含药量大于等于的时间为
D．若当空气中含药量降低到以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室
【分析】首先根据题意，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（小时）成正比；药物释放完毕后，与的函数关系式为常数），将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；根据题意等式，进一步求解可得答案．
【解答】解：设正比例函数解析式是，
反比例函数解析式是，
把点代入反比例函数的解析式，得：，
解得：，
反比例函数的解析式是．
当时，代入上式得，
把时，代入正比例函数的解析式是，得：，
正比例函数解析式是，
．由图象知，时，，即药物释放过程需要小时，故不符合题意；
．药物释放过程中，与成正比例，函数表达式是，故不符合题意；
．把分别代入和得，和，
解得：和，
，
空气中含药量大于等于的时间为；故不符合题意；
、由题意得，
解得，
所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室，故符合题意，
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
1．（2022•利川市模拟）如图的电路图中，用电器的电阻是可调节的，其范围为，已知电压，下列描述中错误的是
A．与成反比例：
B．与成反比例：
C．电阻越大，功率越小
D．用电器的功率的范围为
【分析】根据物理知识可得：；故当时，、成反比例函数，故有，根据反比例函数的性质可以得到答案．
【解答】解：根据电学知识，当时，有，
即输出功率是电阻的反比例函数，函数解析式为．
从式可以看出，电阻越大则功率越小．
把电阻的最小值代入，
得到输出功率的最大值，
把电阻的最大值代入，
得到输处功率的最小值，
因此用电器的功率的范围为．
可以看出选项是正确的，选项是错误的，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数的定义、性质与运用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用反比例函数的性质得到答案．
2．（2022•衢江区一模）如图，点，是反比例函数的图象上的一个动点，以点为圆心，为半径的圆与轴交于点，延长交圆于点，连结，则的面积是
A．3B．C．D．
【分析】由题意可知，，，且由是直径，可得轴，进而可表达和的长，利用三角形的面积公式可得结论．
【解答】解：根据题意可知，点，是的中点，点，是反比例函数的图象上的一个动点，
，，
是直径，
，即轴，
，
，，
的面积．
故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、垂径定理等知识，运用整体思想是解决本题的关键．
3．（2022•定州市二模）如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点，，连接，，作轴于点，与交于点，为的中点，且，则的值为
A．4B．C．8D．
【分析】先用表示的面积，再求．
【解答】解：如图：
是的中点，
，
作轴于，
．
设，
轴于，交于，
，
是的中点，
，
在双曲线上，
，，
，，，
．
．
故选：．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将的面积用表示是求解本题的依据．
4．（2022•工业园区模拟）如图，菱形的边在轴的正半轴上，，反比例函数的图象经过点，且与相交于点．若的面积为20，则的值为
A．12B．18C．24D．32
【分析】连接，过点作，垂足为，根据菱形的性质可得，，从而可得的面积的面积，然后在中，利用锐角三角函数的定义设，，从而利用勾股定理求出，进而求出的值，即可求出，最后求出的面积，即可解答．
【解答】解：连接，过点作，垂足为，
四边形是菱形，
，，
的面积的面积，
在中，，
设，，
，
，
，
的面积，
点在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了解直角三角形，反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（2022•红花岗区二模）如图，中，，，它的面积为6，与轴的夹角为，双曲线经过点，则的值为
A．B．C．D．
【分析】过点作轴于点，易证，由相似三角形的性质可得，进而可得的面积，再根据反比例函数系数的几何意义可得的值．
【解答】解：在中，，，
设，则，
如图，过点作轴于点，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
的面积为6，
的面积为．
，
．
故选：．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义，含角的直角三角形的边角关系，相似三角形的性质与判定，根据相似比得出的面积是解题关键．
6．（2022•咸宁模拟）如图，，是反比例函数第一象限内图象上的两点，过点作轴，交于点，垂足为．若为的中点，且的面积为3，则的值为
A．2B．4C．8D．16
【分析】先设出点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程，即可得出的值．
【解答】解：设，
是的中点，
，，
轴，
点的横坐标为，
又点在反比例函数图象上，
点的纵坐标为，
，
又的面积为3，
，即，
解得，
故选：．
【点评】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数图象上点的坐标特征解答．
7．（2022•锡山区一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、的交点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点，，且．的面积为15，则的值为
A．10B．20C．7.5D．5
【分析】连接，过点作于，过点作于．证明，推出，推出，可得，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接，过点作于，过点作于．
，，
，
，
，在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明，利用等高模型解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
8．（2022•温州模拟）古希腊数学家帕普斯利用反比例函数的图象及性质解决了三等分角问题，方法如下：如图，在直角坐标系中，锐角的边在轴正半轴上，边与的图象交于点，以为圆心，为半径作圆弧交函数图象于点，取的中点，则．若，则的值为
A．B．C．D．
【分析】由题意可知是等腰三角形，过点作于点，作的平分线交于点，过点作于点，可得．则．设点和点的坐标，表达点的坐标，可得出直线的解析式．过点作轴于点，交于点，由此可得出点的坐标，由此可得轴，则是直角三角形，则．由此可得，结合上述正切值可求出和的长，再由相似可得出的长，进而可得点的坐标，最终可得出的值．
【解答】解：如图，过点作于点，作的平分线交于点，过点作于点，连接．
，，
，，，
点是的中点，
，
点是的中点，
，
由勾股定理可得．
平分，，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
，，
，
，
，，
，
，．
，，
．
故选：．
【点评】本题属于反比例函数与一次函数综合题，角平分线的性质及相似三角形的性质与判定．得出是解题关键．
9．（2022•汉阳区模拟）若点，，在反比例函数是常数）的图象上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【分析】首先判断，得在每一象限随的增大而增大，再根据点所在的象限判断函数值的大小．
【解答】解：，
，
此函数位于二、四象限，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质的应用，比例系数的判定是解题关键．
10．（2022•武昌区模拟）方程的根可视为函数的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程的实数根所在的范围是
A．B．C．D．
【分析】所给方程不是常见的方程，两边都除以可转化为二次函数和反比例函数，画出相应函数图象即可得到实根所在的范围．
【解答】解：方程，
，
它的根可视为和的交点的横坐标，
当时，前者为3，后者为1，在交点的左边，
当时，前者为，后者为2，在交点的左边，
当时，前者为，后者为3，此时在交点右边，
交点在，
故选：．
【点评】本题主要考查函数图象交点的问题，注意方程与函数的转化．解决本题的关键是得到所求的方程为一个二次函数和一个反比例函数的解析式的交点的横坐标．
11．（2022•镇海区一模）如图，反比例函数图象的表达式为，图象与图象关于直线对称，直线与交于，两点，当为中点时，则的值为
A．B．C．D．
【分析】由对称性可得函数的解析式为：，令，组成一元二次方程，设点的横坐标为，点的横坐标为，由根与系数的关系可得出，，再结合点是的中点，可得出和的值，由此可得出结论．
【解答】解：法一、设，，
，关于直线的对称点，在反比例函数图象上，
，
解得，，
．
法二、由对称性可得函数的解析式为：，
令，整理得，，
设点的横坐标为，点的横坐标为，
则和是的两根，
由根与系数的关系可得出①，，
点是的中点，
②，
由①②可知，，，
．
故选：．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数交点问题，函数的对称性，一元二次方程根与系数的关系等知识，求出函数的解析式是解题关键．
12．（2022•无为市校级一模）如图，在中，，点在反比例函数的图象上，点，在轴上，，延长交轴于点，连接，若的面积等于1，则的值为
A．3B．2C．D．4
【分析】作于，连接，根据等腰三角形的性质以及得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据题意求得，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值．
【解答】解：作于，连接，
，
，
，
，
，
，
，
的面积等于1，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了反比例函数系数的几何意义，三角形的面积，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
13．（2022•鼓楼区校级模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点．轴，且．连接交轴于点，连接，交于点．
在下列结论中：
①；
②；
③当时，；
④当时，面积的最小值为7．
其中正确的是 ①②③ ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】先求出、的坐标从而求出，得到，则，证明是等边三角形即可判断①；当时，过点作轴于，设与轴交于，点的坐标为，点的坐标为，证明，得到，即可证明，即可判断②；先证明是等边三角形，得到，然后证明，得到，进而证明，再证明，进而证明即可判断③；先推出，，然后根据完全平方公式得到，进而推出，由此即可判断④．
【解答】解：一次函数与轴交于点，与轴交于点，
点的坐标为，，点的坐标为，
，，
，
，
轴，
，
，
是等边三角形，
，故①正确；
当时，如图所示，过点作轴于，设与轴交于，
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
联立，得，
，即，
，
，
轴，
，，
，
，
，
，即；
同理可证，当时，，故②正确；
，
，
又，
是等边三角形，
，
又是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，故③正确；
，
，，
，
如图，过点作于点，
，
，
，
当时，的面积有最小值为8，故④错误．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求三角形面积等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
14．（2022•思明区二模）已知原点为对角线的中点，轴，若点在反比例函数图象上，点在反比例函数图象上，则以下说法一定正确的是 ①②③④ ．
①点在反比例函数图象上；
②；
③若为矩形，则；
④若为菱形，，则．
【分析】①设点的坐标为，则点，将点的坐标代入得：，即可求解；
②由，即可求解；
③四边形为矩形，则，即可求解；
④由为菱形，，得到为正三角形，则，，即可求解．
【解答】解：①设点的坐标为，则点，
将点的坐标代入得：，
而，
点在反比例函数图象上，故①正确，符合题意；
②设点的坐标为，则点的坐标为，，
则，
故②正确，符合题意；
③设点的坐标为，则点的坐标为，，
为矩形，则，即，
则，故③正确，符合题意；
④设点的坐标为，则点的坐标为，，
为菱形，，
为正三角形，
设交轴于点，则在中，，
则，
，即；
同理：，即，
联立上述两式并整理得：．
故④正确，符合题意；
故答案为①②③④．
【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及到平行四边形和特殊四边形的性质等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
15．（2022•慈溪市一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在、轴上，点的坐标为，反比例函数为常数，的图象分别与边、交于点、，连结，将沿翻折得到△，连结，当时，的值为 3 ．
【分析】作的角平分线交于点，设，易证，由可知，，，，所以，，所以，即，所以，设点到的距离为，则，所以，则，由此建立方程，解方程即可．
【解答】解：如图，作的角平分线交于点，
设，根据折叠的性质可得，，
，
，
，
，
平分，
，
，在反比例函数为常数，的图象上，，矩形的边，分别在，轴上，
则，，，
，，
，
，
，
，
设点到的距离为，则，
，
，
，解得（舍去）或，
故答案为：3．
【点评】本题属于反比例函数与几何综合题，考查折叠的性质，角平分线的性质，两点间的距离公式，根据比例得出关于的方程是解题关键．
1．（2022•丹徒区模拟）如图，平面直角坐标系中，过原点的直线与双曲线交于、两点，在线段左侧作等腰三角形，底边轴，过点作轴交双曲线于点，连接，若，则的值是
A．B．C．D．
【分析】过点作于，设与轴交于，则，由是等腰三角形得到，由、关于点中心对称得到点是的中点，则，即有，设，则，得到点、点和点的坐标，再由的面积求得的值．
【解答】解：如图，过点作于，设与轴交于，
则，
是等腰三角形，且底边轴，
，
过原点的直线与双曲线交于、两点，
、关于原点对称，即为的中点，
点为的中点，
，
，
设，则，，
，，，，
，
，
，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，中心对称性，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知等腰三角形的性质设出点的坐标．
2．（2022•宁波模拟）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，分别过，作轴，轴的垂线，垂足分别为，．若四边形的面积为12，则
A．4B．6C．8D．10
【分析】由题意，根据反比例函数的对称性可知，两点关于原点对称，设，则，，，即可表示出，，，的长，将四边形的面积表示为，进而可得出答案．
【解答】解：根据题意，由反比例函数的对称性可得，两点关于原点对称，
设，
则，，，
，，
四边形的面积为，
即，
解得．
故选：．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数图象的性质是解答本题的关键．
3．（2022•温州模拟）古希腊数学家帕普斯利用反比例函数的图象及性质解决了三等分角问题，方法如下：如图，在直角坐标系中，锐角的边在轴正半轴上，边与的图象交于点，以为圆心，为半径作圆弧交函数图象于点，取的中点，则．若，则的值为
A．B．C．D．
【分析】由题意可知是等腰三角形，过点作于点，作的平分线交于点，过点作于点，可得．则．设点和点的坐标，表达点的坐标，可得出直线的解析式．过点作轴于点，交于点，由此可得出点的坐标，由此可得轴，则是直角三角形，则．由此可得，结合上述正切值可求出和的长，再由相似可得出的长，进而可得点的坐标，最终可得出的值．
【解答】解：如图，过点作于点，作的平分线交于点，过点作于点，连接．
，，
，，，
点是的中点，
，
点是的中点，
，
由勾股定理可得．
平分，，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
．
，，
，
，
，，
，
，．
，，
．
故选：．
【点评】本题属于反比例函数与一次函数综合题，角平分线的性质及相似三角形的性质与判定．得出是解题关键．
4．（2022•咸阳模拟）如图，已知梯形的底边在轴上，，，过点的双曲线交于，且，若的面积等于3，则的值是 ．
【分析】设，．过点作于点．
根据得比例线段表示点坐标；根据的面积等于3得关系式，列方程组求解．
【解答】解：方法一、设，．
则，．
过点作于点．
，，
，相似比为，
，．
点在反比例函数的图象上，且，，
，即，
点在反比例函数的图象上，则，
．
的面积等于3，
，即．
，．
方法二、过点作于点．延长交轴于点，
点，点是上的两点，
，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】此题考查了反比例函数的应用、平行线分线段成比例及有关图形面积的综合运用，综合性较强．
5．（2021•罗湖区校级模拟）以矩形的顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，使点、分别在、轴的正半轴上，双曲线的图象经过的中点，且与交于点，过边上一点，把沿直线翻折，使点落在矩形内部的一点处，且，若点的坐标为，则的值为 ．
【分析】首先证明点是线段的中点，设，则．在中，根据，构建方程求出即可求得点的坐标；延长交轴于，则轴，由勾股定理求得点的坐标；最后结合锐角三角函数的定义求得答案．
【解答】解：连接、．设，则．
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，则，
延长交轴于，则轴，
，，
在中，，即，
，
，
．
解法二：．
故答案是：．
【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、翻折变换、勾股定理等知识，综合性较强，学会利用参数构建方程解决问题．
6．（2022•荷塘区校级模拟）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与轴、轴分别交于、两点．
（1）若点的横坐标为，求的值；
（2）如图，若，求、两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，将一直角三角板的直角顶点放在反比例函数图象的段上滑动，直角边始终与坐标轴平行，且与线段分别交于、两点，设点的横坐标为，的长为．问：是否存在点，使的长为，存在请求出符合条件的的坐标，不存在请说明理由．
【分析】（1）先求出，，代入，即可求得；
（2）设，，且，，如图1，过点作轴于点，过点作轴于点，利用三角函数定义可得，再由轴，可得，即可得出，求得：，，建立方程组可得：，再由，即可求得：，进而求得答案；
（3）把代入，可求得，进而得出，，利用勾股定理可得，由题意可证得：，得出，设，，则，，建立方程求解即可得出答案．
【解答】解：（1）当时，，
，，
把，代入，得，
解得：，
故的值为；
（2）设，，且，，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
则，，，，
，
当时，，
解得：，
当时，，
，，
，，
，
轴，轴，轴轴，
轴，
，
，
，，
，，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，代入得：，
，，
，，
，；
（3）存在点，使的长为．理由如下：
把代入，得，
解得：，
，
当时，，当时，，
，，
在中，，
直角三角板的直角边始终与坐标轴平行，
，，
，
，
设，，则，，
，
，
，
解得：或4，
或；
故存在点或，使的长为．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质；能够熟练掌握函数的性质，添加辅助线构造相似三角形是解题关键．
7．（2022•青白江区模拟）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标为，．
（1）求反比例函数及正比例函数的解析式；
（2）点是反比例函数第三象限图象上一点．且，过点的直线与线段相交，点，点到直线的距离分别为，，试求的最大值；
（3）点，在轴上取一点，，过点作直线的垂线，以直线为对称轴，线段经轴对称变换后得到，当与双曲线有交点时，求的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得答案；
（2）设，过点作轴于点，过点作于点，如图1，则，，，，，可证得，得出，如图1，过点作于点，过点作于点，于点，得出：当和重合时，的值最大，求出的长即可；
（3）求出，得到，，过作轴于，，求出的坐标，根据对称性点在直线上，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式，把反比例函数的解析式，代入上式整理得出方程关于的一元二次方程，求出方程的判别式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：（1）把，代入，得，
解得：，
反比例函数的解析式为；
把，代入，得，
解得：，
正比例函数的解析式为；
（2）由反比例函数和正比例函数图象的对称性可知：，两点关于原点对称，
，
设，过点作轴于点，过点作于点，如图1，
则，，，，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
解得：（舍去），，
，
，
如图1，过点作于点，过点作于点，于点，
则，
四边形是矩形，
，，
，
当和重合时，的值最大，
，，
最大值是；
的最大值为；
（3）如图2，连接，过作轴于，设直线与交于点，
，，，
轴，即，，，
，
，，
，
，，
，
，，
，，
根据对称性可知点在直线上，
设直线的解析式是，把，，代入，
得，
解得：，
①，
反比例函数的解析式为②，
①②联立得，，
即③，
与双曲线有交点，
△，
解得：，．
又，根据对称性得点横坐标是，
当点为直线与双曲线的交点时，
由③得，，
代入，得，
解得，
而当线段与双曲线有交点时，
或，
，
综上所述，的取值范围是．
【点评】本题主要考查了对用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，勾股定理，轴对称变换的性质，解二元一次方程组，解不等式，含30度角的直角三角形的性质，根的判别式等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
8．（2022•成都模拟）如图，直线与坐标轴交于，两点，点为点关于的对称点，连接，，双曲线的图象经过的中点，．
（1）求双曲线的解析式及的值；
（2）为双曲线上任意一点，过作轴的垂线交直线于点，连接．求证：；
（3）在（2）的条件下，若的延长线交双曲线于另一点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，，试判断是否为定值，若是，请求出该定值，若不是请说明理由．
【分析】（1）根据反比例函数系数的几何意义可得：，进而可得双曲线的解析式为，再利用轴对称性质可证得四边形是正方形，可得，再由点是的中点，可得，，代入反比例函数解析式即可求得；
（2）设，，延长、交于点，如图1，则，，，可得：，，再运用勾股定理可得，由轴，可得，，进而可得，即可证得结论；
（3）如图3，过点作轴的垂线交直线于点，由（2）知：，，即，再运用解直角三角形方法可得：，，即，即可得出为定值．
【解答】（1）解：，
，
解得：，
双曲线位于第一象限，
，
双曲线的解析式为，
与坐标轴交于，两点，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
点为点关于的对称点，
，，
四边形是正方形，
，
点是的中点，
，，
，
，
；
（2）证明：设，，延长、交于点，如图1，
则，，，
，，
在中，，
直线的解析式为，
，
解得：，
，，
，
，
，
；
（3）解：是定值．
如图2，过点作轴的垂线交直线于点，
由（2）知：，，
，
轴，轴，轴轴，
轴，
，
，，
，
，，
，
．
【点评】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，本题综合性较强，有一定难度．
9．（2022•成都模拟）如图，直线经过点，并与反比例函数交于点．
（1）求直线和反比例函数的表达式；
（2）点为反比例函数图象第二象限上一点，记点到直线的距离为，当最小时，求出此时点的坐标；
（3）点是点关于原点的对称点，为线段（不含端点）上一动点，过点作轴交反比例函数于点，点为线段的中点，点为轴上一点，点为平面内一点，当，，，四点构成的四边形为正方形时，求点的坐标．
【分析】（1）利用待定系数可得答案；
（2）将直线向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，此时最小，设直线的解析式为，与反比例函数解析式联立，通过△，从而解决问题；
（3）将正方形问题转化为等腰直角三角形，再分为斜边和直角边两种情形，分别画图，利用全等三角形来解决问题．
【解答】解：（1）将代入中得，
，
，
反比例函数的表达式为，
设直线的解析式为，
将与代入得，
，
，
直线的解析式为；
（2）将直线向上平移，当平移后的直线与双曲线只有一个交点时，此时最小，
设直线的解析式为，
方程有两个相等的实数根，
整理得，
△，
解得或，
直线与轴交于正半轴，
舍去，
解方程，得，
，
；
（3）分两种情况讨论：
①当时，如图，作轴交于点，
轴，
，
四边形为正方形，
，，
，
在与中，
，
，
，
与关于原点对称，
，，
，
设直线的解析式为，
则，
，
直线的解析式为，
，点在直线上，
点的横坐标为2，
当时，，
；
②当时，如图，过点作轴的平行线，交于点，过作轴的平行线交于点，
则四边形是矩形，
，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
由①知直线的解析式为与轴交于点，与轴交于点，
，
为等腰直角三角形，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
是的中点，
，
设，则，
，
（舍去）或，
，
，
当时，同理可得，
，，
设，则，
，，
，
解得，
，
综上，点的坐标为或．
【点评】本题是反比例函数与一次函数图象交点问题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与方程的关系，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，构造全等三角形是解题的关键，同时注意分类讨论．