专题14 三角形与全等三角形（精讲精练）-中考数学复习核心考点精讲与分层训练（附思维导图，全国通用版）

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理解三角形、理解三角形的内角、外角
理解三角形的中线、高线、角平分线、了解三角形的稳定性
探索并证明三角形的内角和定理
掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
证明三角形的任意两边之和大于第三边
理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角
掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等
掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等
探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc7128" 第14讲 三角形与全等三角形（精讲） PAGEREF _Tc7128 \h 1
\l "_Tc27283" 考点1：与三角形有关的边 PAGEREF _Tc27283 \h 3
\l "_Tc13292" 考点2：与三角形有关的角 PAGEREF _Tc13292 \h 14
\l "_Tc9655" 考点3：全等三角形 PAGEREF _Tc9655 \h 24
\l "_Tc23429" 课堂总结：思维导图 PAGEREF _Tc23429 \h 37
\l "_Tc31355" 分层训练：课堂知识巩固 PAGEREF _Tc31355 \h 38
考点1：与三角形有关的边
①三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
②角平分线：
（1）角平线上的点到角两边的距离相等
（2）三角形的三条角平分线的相交于一点（内心）
③中线：
（1）将三角形的面积等分
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
④高：
锐角三角形的三条高相交于三角形内部；直角三角形的三条高相交于直角顶点；钝角三角形的三条高相交于三角形的外部

｛三角形的分类★｝如图表示的是三角形的分类，则正确的表示是
A．表示等腰三角形，表示等边三角形，表示三边均不相等的三角形
B．表示等边三角形，表示等腰三角形，表示三边均不相等的三角形
C．表示三边均不相等的三角形，表示等腰三角形，表示等边三角形
D．表示三边均不相等的三角形，表示等边三角形，表示等腰三角形
【分析】根据三角形按边的分类可直接选出答案．
【解答】解：三角形根据边分类如下：三角形故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．三角形按边的关系分为两类：不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又分为底和腰不等的等腰三角形以及等边三角形．另外，三角形还可以按角进行分类．
｛三角形的高★｝如图，在中，边上的高是
A．线段B．线段C．线段D．线段
【分析】根据三角形的高的定义解答即可．
【解答】解：因为点到边的垂线段是，所以边上的高是，故选：．
【点评】此题考查三角形的高，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．
｛与三角形有关的线段★｝在学完八上《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．小峰说：“存在这样的三角形，他的三条高的比为．”小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半．”对以上两位同学的说法，你认为
A．两人都不正确B．小慧正确，小峰不正确
C．小峰正确，小慧不正确D．两人都正确
【分析】要判断是否存在这样的三角形，可以利用反证法，从各自的已知条件入手进行推理，看能否推出矛盾，得出矛盾的说明不存在这样的三角形，不出现矛盾的说明存在这样的三角形．
【解答】解：假设存在这样的三角形，它的三条高的比是，根据等积法，得到此三角形三边比为，这与三角形三边关系相矛盾，故假设错误，所以这样的三角形不存在；
假设存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其他两边和的一半，延长中线成2倍，利用三角形全等，可得到三角形中中线的2倍不小于其它两边和，这与三角形三边关系矛盾，故假设错误，所以这样的三角形不存在．故两人都不正确．故选：．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高；反证法是一种很重要的方法，在解决一些特殊问题时非常有用，注意学习掌握．
｛三角形的角平分线★｝甲、乙两位同学分别用尺规作图法作的平分线，则他们两人的作图方法
A．甲、乙两人均正确B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确D．甲、乙两人均错误
【分析】根据用尺规作图作的平分线的作法即可得到结论．
【解答】解：由图知，甲、乙两位同学分别用尺规作图法作的平分线，则他们两人的作图方法甲正确，乙正确，故选：．
【点评】本题考查了作图基本作图，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
｛三角形的中线★｝如图，已知中，点、分别是边、的中点．若的面积等于8，则的面积等于
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：点是边的中点，的面积等于8，，是的中点，
，故选：．
【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
｛与三角形有关的线段★★｝如图，在中，，为的中点，延长交于．为上一点，于，下面判断正确的有
①是的角平分线；②是边上的中线；
③是边上的高；④是的角平分线和高．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行判断．
连接三角形的顶点和对边中点的线段即为三角形的中线；
三角形的一个角的角平分线和对边相交，顶点和交点间的线段叫三角形的角平分线；
从三角形的一个顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高．
【解答】解：①根据三角形的角平分线的概念，知是的角平分线，故此说法错误；
②根据三角形的中线的概念，知是的边上的中线，故此说法错误；
③根据三角形的高的概念，知为的边上的高，故此说法正确；
④根据三角形的角平分线和高的概念，知是的角平分线和高线，故此说法正确．故选：．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．
｛与三角形有关的线段★★｝如图，直角三角形中，，于点，，，，，，则点到的距离是 1.8 ．
【分析】根据点到直线的距离的概念解答即可．
【解答】解：，，点到的距离为1.8，故答案为：1.8．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
｛与三角形有关的线段★★｝中，下列说法正确的有 ①③ （填序号）
①三条角平分线的交点到三边的距离相等；②三条中线的交点到三边的距离相等；
③三条中垂线的交点到三顶点的距离相等；④三边的高的交点一定在三角形的内部．
【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，三角形的高的交点的位置对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①三条角平分线的交点到三边的距离相等，正确；②三条中线的交点到三边的距离相等，错误；③三条中垂线的交点到三顶点的距离相等，正确；④三边的高的交点一定在三角形的内部，错误，只有锐角三角形的高的交点在三角形的内部；综上所述，说法正确的是①③．故答案为：①③．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，是基础题，熟记概念与与性质是解题的关键．
｛与三角形有关的线段★★｝的两条边的长度分别为2和5，若第三条边为奇数，则的周长为 12 ．
【分析】设第三边长为，利用三边关系确定的范围，然后再确定的值，进而可得周长．
【解答】解：设第三边长为，由题意得：，解得：，
第三条边为奇数，，的周长为：，故答案为：12．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
｛三角形的分类★｝下列关于三角形的分类，正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．
【解答】解：、等腰直角三角形应该是直角三角形，不符合题意；、该选项中的三角形的分类正确，符合题意；、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握分类方法．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．
｛与三角形有关的线段★★｝如图，中，边上的高是线段
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的高的定义解答即可．
【解答】解：因为点到边的垂线段是，所以边上的高是，故选：．
【点评】此题考查三角形的高，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．
｛与三角形有关的线段★★｝下列说法中：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部，其中说法正确的有 个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据三角形的高线、中线、角平分线的定义对各小题分析判断即可得解．
【解答】解：①三角形的角平分线、中线、高都是线段，故本小题正确；
②直角三角形有三条高，故本小题错误；
③三角形的中线一定在三角形的内部，一定不在三角形外部，故本小题错误；
④锐角三角形的高都在三角形内部，钝角三角形有两条在三角形的外部，故本小题正确．
说法正确的有2个．故选：．
【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，注意三角形的高所在的直线的交点要根据三角形的形状而确定．
｛与三角形有关的线段★★｝（2021春•信都区期末）如图，的角平分线，中线交于点，则结论：①是的角平分线；②是的中线．其中
A．①、②都正确B．①、②都不正确
C．①正确②不正确D．①不正确，②正确
【分析】根据三角形的角平分线的定义，三角形的中线的定义可知．
【解答】解：是三角形的角平分线，则是的角平分线，所以是的角平分线，故①正确；是三角形的中线，则是是中点，而不一定是的中点，故②错误．故选：．
【点评】考查了三角形的角平分线和中线的概念．
｛与三角形有关的线段★★｝已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 1 ．
【分析】易得，为面积的一半，同理可得的面积等于面积的一半，那么阴影部分的面积等于的面积的一半．
【解答】解：为中点，根据同底等高的三角形面积相等，
，同理，
，为中点，．故答案为1．
【点评】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等．
｛三角形的三边关系★★｝三角形的三边长分别为2，5，，则的取值范围是 ．
【分析】根据三角形的三边关系列不等式，计算可求解．
【解答】解：由题意得，解得．故答案为．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
（2017•永州）小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点，，，给出三角形，则这块玻璃镜的圆心是
A．，边上的中线的交点 B．，边上的垂直平分线的交点
C．，边上的高所在直线的交点D．与的角平分线的交点
【分析】根据题意可知所求的圆形玻璃是的外接圆，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，所求的圆形玻璃是的外接圆，
这块玻璃镜的圆心是三边垂直平分线的交点，故选：．
【点评】本题考查垂径定理的应用，解答本题的关键是明确三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点．
（2021•淮安）一个三角形的两边长分别是1和4，若第三边的长为偶数，则第三边的长是 4 ．
【分析】利用三角形三边关系定理，先确定第三边的范围，再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值．
【解答】解：设第三边为，根据三角形的三边关系知，，即，又第三边的长是偶数，为4．故答案为：4．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，掌握第三边满足：大于已知两边的差，且小于已知两边的和是解决问题的关键．
（2019•南京）在中，，，，则的长的取值范围是 ．
【分析】作的外接圆，求出当时，是直径最长；当时，是等边三角形，，而，即可得出答案．
【解答】解：作的外接圆，如图所示：，，当时，是直径最长，，，，，，；
当时，是等边三角形，，，长的取值范围是；故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的三边关系、直角三角形的性质、等边三角形的性质；作出的外接圆进行推理计算是解题的关键．
考点2：与三角形有关的角
（1）内角和定理：
①三角形的内角和等180°；
②推论：直角三角形的两锐角互余.
（2）外角的性质：
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.
②三角形的任意一个外角大于任何和它不相邻的内角.

｛与三角形有关的角★★｝在中，，的平分线交于点，若，则 84 度．
【分析】根据三角形内角和定理易得，利用角平分线定义可得，进而利用三角形内角和定理可得度数．
【解答】解：，，，的平分线相交于点，
，，，
，故答案为：84．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
｛与三角形有关的角★★｝如图，平分，平分，与交于，若，，则的度数为 ．
【分析】根据三角形内角和定理可求得的度数，再根据三角形内角和定理及三角形角平分线的定义可求得的度数，从而不难求得的度数．
【解答】解：连接，如图，
，
，
，
，
是的平分线，是的平分线，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键．
｛与三角形有关的角★★｝（2021秋•仙居县期中）如图，将一角折叠，若，则 144 ．
【分析】利用三角形的外角的性质求出，再利用三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：连接．
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查翻折变换，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
｛与三角形有关的角★★｝如图，平分，平分，已知，，则 ．
【分析】连接并延长到点，根据三角形外角的性质得到，得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论．
【解答】解：连接并延长到点，
，，
，
，
，，
，
平分，平分，
，，
，
同理，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形外角的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的外角的性质是解答的关键．
｛与三角形有关的角★★｝当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中称为“希望角”，如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为 或或 ．
【分析】分角是、和既不是也不是三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：①角是，则希望角度数为；
②角是，则，
所以，希望角；
③角既不是也不是，则，所以，，
解得，综上所述，希望角度数为或或．故答案为：或或．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论．
｛与三角形有关的角★★｝如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则 35 ．
【分析】根据角平分线的定义得出，，根据三角形的外角性质得出，再求出答案即可．
【解答】解：是中的平分线，，，
是的外角的平分线，，
，，故答案为：35．
【点评】本题考查了三角形的外角性质和角平分线的定义，注意：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
｛与三角形有关的角★★｝如图，的平分线与的平分线相交于．若，，则 ．
【分析】延长，与交于点．设与相交于，则，可得，代入计算即可．
【解答】解：延长，与交于点．是的外角，，
．是的外角，，
，整理得．
设与相交于，则，，
即．故答案为：．
【点评】本题考查平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识，解题的关键学会添加常用辅助线，利用“8字型”基本图形解决问题．
｛与三角形有关的角★★｝如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点落在四边形的外部的位置，且与点在直线的异侧，折痕为，已知，．若保持△的一边与平行，则的度数 或 ．
【分析】分或两种情况，分别画出图形，即可解决问题．
【解答】解：当时，如图，
，沿折叠到，，
当时，如图，
，由（1）知，，，
沿折叠到，，
综上所述，的度数为：或．故答案为：或．
【点评】本题主要考查了翻折的性质，平行线的性质等知识，能根据题意，运用分类讨论思想分别画出图形是解题的关键．
｛与三角形有关的角★★｝如图，将三角形纸片沿折叠，若，，则的度数为 20 ．
【分析】由折叠的性质可得，，再根据三角形的内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，
将三角形纸片沿折叠，，，，
，，故答案为：20．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，折叠的性质，明确折叠前后对应角相等是解题的关键．
（2021•梧州）在中，，，则等于
A．B．C．D．
【分析】由三角形的内角和定理可得：，再结合所给的条件，可得，从而可求解．
【解答】解：，，在中，，
，，．故选：．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是对三角形的内角和定理的掌握与熟练运用．
（2021•本溪）一副三角板如图所示摆放，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据直角三角形的性质求出，根据三角形的外角性质求出，根据对顶角相等求出，再根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【解答】解：如图，，，，，故选：．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质、直角三角形的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
（2020•湖北）将一副三角尺按如图摆放，点在上，点在的延长线上，，，，，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】由，，，利用三角形内角和定理可得出，由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出的度数，结合三角形外角的性质可得结论．
【解答】解：，，．，，．
，，．故选：．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
考点3：全等三角形
①全等三角形的性质：
(1)全等三角形的对应边、对应角相等．
(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．
(3)全等三角形的周长等、面积等．
②三角形全等的判定

｛全等三角形的判定与性质★｝下列说法正确的是（ ）
A．两个面积相等的图形是全等图形B．两个等边三角形是全等图形
C．两个周长相等的圆是全等图形 D．形状相同的两个图形是全等图形
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而判断得出答案．
【解答】解：A．两个面积相等的图形不一定是全等图形，故此选项不合题意；
B．两个等边三角形不一定是全等图形，故此选项不合题意；
C．两个周长相等的圆是全等图形，故此选项符合题意；
D．形状相同的两个图形不一定是全等图形，故此选项不合题意；故选：C．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等图形的性质是解题关键．
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正确的等式是（ ）
A．AB＝ACB．∠BAE＝∠CADC．BE＝DCD．AD＝DE
【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，即可进行判断．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，故A、B、C正确；AD的对应边是AE而非DE，所以D错误．故选：D．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，根据已知的对应角正确确定对应边是解题的关键．
｛全等三角形的判定与性质★｝如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2y﹣1，若这两个三角形全等，则x+y＝（ ）
A．8B．173或6C．10D．193或6
【分析】根据全等三角形的对应边相等列出方程，解方程分别求出x、y，计算即可．
【解答】解：∵两个三角形全等，∴3x﹣2＝5，2y﹣1＝7或3x﹣2＝7，2y﹣1＝5，解得：x=73，y＝4或x＝3，y＝3，则x+y=193或6，故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，AD和BC相交于O点，已知OA＝OC，以“ASA”为依据说明△AOB≌△COD还需添加（ ）
A．AB＝CDB．∠A＝∠CC．OB＝ODD．∠AOB＝∠COD
【分析】由全等三角形的判定定理可求解．
【解答】解：由题意可得：∠AOB＝∠COD，OA＝OC，∴当∠A＝∠C时，可根据“ASA”可证△AOB≌△COD，故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，点A、D、C、F在同一条直线上，若AB＝DE，BC＝EF，则下列条件中能满足△ABC≌△DEF的是（ ）
A．∠A＝∠EDFB．AD＝CFC．∠BCA＝∠FD．BC∥EF
【分析】利用全等三角形的判定解决问题即可．
【解答】解：∵AB＝DE，BC＝EF，∴添加∠B＝∠E或AD＝CF或AC＝DF，即可证明△ABC≌△DEF．
故选：B．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定，属于中考常考题型．
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，已知△ABC≌△DEF，CD是∠ACB的平分线，已知∠D＝22°，∠CGD＝92°，则∠E的度数是（ ）
A．26°B．22°C．34°D．30°
【分析】根据三角形的内角和定理得到∠DCG＝180°﹣∠D﹣∠CGD＝66°，根据角平分线的定义得到∠ACB＝2∠DCG＝132°，根据全等三角形的性质得到∠DFE＝∠ACB＝132°，于是得到结论．
【解答】解：∵∠D＝22°，∠CGD＝92°，∴∠DCG＝180°﹣∠D﹣∠CGD＝66°，
∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACB＝2∠DCG＝132°，∵△ABC≌△DEF，
∴∠DFE＝∠ACB＝132°，∴∠E＝180°﹣∠D﹣∠F＝26°，故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，已知△ABC≌△DEC，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD交CD于点F，若∠BCE＝60°，则∠CAF的度数为（ ）
A．35°B．30°C．60°D．65°
【分析】根据全等三角形的性质得到∠DCE＝∠ACB，进而求出∠ACD，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠DCE＝∠ACB，∴∠DCE﹣∠ACE＝∠ACB﹣∠ACE，即∠ACD＝∠BCE，∵∠BCE＝60°，∴∠ACD＝60°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF＝90°﹣∠ACD＝90°﹣60°＝30°，故选：B．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，若∠OAD＝64°，当BC∥OA时，∠ABO的度数为（ ）
A．26°B．32°C．36°D．38°
【分析】据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，于是得到结论．
【解答】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝64°，
在△ABC中，∠ABC=12（180°﹣64°）＝58°，∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABO+58°＝90°，∴∠ABO＝32°．故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
｛全等三角形的判定与性质★｝根据下列条件，能画出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°
C．∠A＝60°，∠C＝90°，∠B＝30°D．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
【分析】根据三角形三边关系定理以及全等三角形的判定定理，即可判断能否画出唯一△ABC，从而可以解答本题．
【解答】解：A、∵AB+BC＝3+4＝7＜8＝AC，∴不能画出△ABC；故本选项不符合题意；B、已知两边及其中一边的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；C、已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；D、已知两角及其夹边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意；故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法；判定两个三角形全等的方法有SSS、SAS、ASA、AAS、HL，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，点E，C，F，B在同一条直线上，AC∥DF，EC＝BF，则添加下列条件中的一个条件后，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AC＝DFB．AB＝DEC．∠A＝∠DD．AB∥DE
【分析】先证明∠ACB＝∠DFE，EF＝BC，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】解：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵EC＝BF，∴EC+CF＝BF+CF，即EF＝BC，∴当添加AC＝DF时，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF；当添加∠A＝∠D时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；当添加AB∥DE时，∠B＝∠E，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF．故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了CN∥OA，连接EN，作图痕迹中，△ODM≌△CEN根据的是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
【分析】由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB，用（SSS）证明两个三角形全等，推∠O＝∠NCB，推CN∥OA．
【解答】解：由尺规作图可知OM＝OD＝CN＝CE，MD＝NB，
在△OMD与△CEN中
OM=CNOD=CEMD=NB，
∴△OMD≌△CEN（SSS）；∴∠O＝∠NCB，∴CN∥OA．故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，掌握用（SSS）证明两个三角形全等，看懂尺规作图的方法是解题关键．
｛全等三角形的判定与性质★｝如图，A、C、E三点在向一直线上，△ABC、△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，OC，则有以下四个结论：①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等边三角形；③OC平分∠AOE；④△BPO≌△EDO．其中正确的是（ ）
A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④
【分析】通过全等三角形的性质和判定求解．
【解答】解：∵△ABC、△CDE都是等边三角形．∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．
∴∠ACD＝∠BCE＝120°．∠BCQ＝60°．∴△ACD≌△BCE．故①正确．由①知△ACD≌△BCE．
∴∠CAP＝∠CBQ．∵∠ACP＝∠BCQ＝60°，AC＝BC．∴△ACP≌△BCQ．∴CP＝CQ．
∵∠BCQ＝60°．∴△BCQ是等边三角形．故②正确．由①知△ACD≌△BCE．∴∠CAP＝∠CBQ．
∵∠BOE是△AOB的外角．
∴∠BOE＝∠BAP+∠ABO＝∠BAP+∠ABC+∠CBQ＝∠BAP+∠ABC+∠CAP＝∠BAC+∠BAC＝120°．
∵∠PCQ＝60°．∴∠POQ+∠PCQ＝180°．∴点P，O，Q，C四点共圆．
∵CP＝CQ．∴∠POC＝∠COQ．∴CO平分∠AOE．故③正确．
△BPO与△EDO中无法确定边相等，故不能确定它们全等，故④错误．故选：B．
【点评】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判
｛全等三角形的判定与性质★｝已知：如图，点E，F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．
【分析】根据SAS证明△ABF≌△DCE，由全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，∴BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，AB=CD∠B=∠CBF=CE,∴△ABF≌△DCE（SAS）,∴∠A＝∠D．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考基础题．
（2021•哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．30°B．25°C．35°D．65°
【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠ACB＝∠DCE，∵∠BCE＝65°，∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF+∠ACD＝90°，∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键．
（2020•淄博）如图，若△ABC≌△ADE，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．AC＝DEB．∠BAD＝∠CAEC．AB＝AED．∠ABC＝∠AED
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，AB＝AD，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．故A，C，D选项错误，B选项正确，故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（2021•重庆）如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（ ）
A．AB＝DEB．∠A＝∠DC．AC＝DFD．AC∥FD
【分析】根据全等三角形的判定方法，可以判断添加各个选项中的条件是否能够判断△ABC≌△DEF，本题得以解决．
【解答】解：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，又∵∠B＝∠E，
∴当添加条件AB＝DE时，△ABC≌△DEF（SAS），故选项A不符合题意；
当添加条件∠A＝∠D时，△ABC≌△DEF（AAS），故选项B不符合题意；
当添加条件AC＝DF时，无法判断△ABC≌△DEF，故选项C符合题意；当添加条件AC∥FD时，则∠ACB＝∠DFE，故△ABC≌△DEF（ASA），故选项D不符合题意；故选：C．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．
（2021•攀枝花）如图，一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块，他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具，他带（ ）去最省事．
A．①B．②C．③D．①③
【分析】根据全等三角形的判定方法结合图形判断出带③去．
【解答】解：由图形可知，③有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形，
所以，最省事的做法是带③去．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（2020•黑龙江）如图，Rt△ABC和Rt△EDF中，∠B＝∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 AB＝ED（BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF） ，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．
【分析】本题是一道开放型的题目，答案不唯一，可以是AB＝ED或BC＝DF或AC＝EF或AE＝CF，只要符合全等三角形的判定定理即可．
【解答】解：添加的条件是：AB＝ED，
理由是：∵在Rt△ABC和Rt△EDF中∠B=∠DAB=ED∠A=∠DEF，∴Rt△ABC≌Rt△EDF（ASA），故答案为：AB＝ED．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：两直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
（2021•福建）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．线段EF是由线段AB平移得到的，点F在边BC上，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，且点D恰好在AC的延长线上．
（1）求证：∠ADE＝∠DFC；
（2）求证：CD＝BF．
【分析】（1）由∠ACB＝90°，得∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°，△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，得∠EDF＝90°，∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°，由等量代换得∠ADE＝∠DFC；
（2）证明四边形ABEF是平行四边形，得∠DAE＝∠FCD，AE＝BF，再证△ADE≌△CFD，得AF＝CD，由等量代换得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDF+∠DFC＝90°，
∵△EFD是以EF为斜边的等腰直角三角形，∴∠EDF＝90°，DE＝FD，
∵∠EDF＝∠ADE+∠CDF＝90°，∴∠ADE＝∠DFC；
（2）
连接AE，∵线段EF是由线段AB平移得到的，∴EF∥AB，EF＝AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BC，AE＝BF，∴∠DAE＝∠BCA＝90°，∴∠DAE＝∠FCD，在△ADE和△CFD中，
∠DAE=∠FCD∠ADE=∠DFCDE=FD，∴△ADE≌△CFD（AAS），∴AE＝CD，∵AE＝BF，∴CD＝BF．
【点评】本题考查了三角形全等判定与性质、等腰直角三角形和平移的性质，熟练掌握三角形全等判定与性质是解题的关键．
（2021•福建）如图，在△ABC中，D是边BC上的点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且DE＝DF，CE＝BF．求证：∠B＝∠C．
【分析】由垂直的定义，DE＝DF，CE＝BF证明△BDF≌△CDE，得出对应角相等即可．
【解答】证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°，在△BDF和△CDE中，
DF=DE∠BFD=∠CEDBF=CE，∴△BDF≌△CDE（SAS），∴∠B＝∠C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，能够证明△BDF≌△CDE是解决问题的关键．
课堂总结：思维导图
分层训练：课堂知识巩固
1．如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是
①的面积的面积；
②；
③；
④．
A．①②③④B．①②④C．①②③D．③④
【分析】根据三角形中线的性质可证明①；根据三角形的高线可得，利用三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，可判定②；根据角平分线的定义可求解③；根据已知条件无法判定④．
【解答】解：是的中线，
，
的面积等于的面积，故①正确；
是的高线，
，
，
，
，
，
为的角平分线，
，
，，
，
故②正确；
，
，
，
即，故③正确；
过点作于点，
平分，
，
在中，，
，
故④错误，
故选：．
【点评】本题主要考查三角形的中线，高线，角平分线，灵活运用三角形的中线，高线，角平分线的性质是解题的关键．
2．已知为的中线，且，，则与的周长之差为
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的中线的定义可得，然后求出与的周长之差．
【解答】解：为中线，
，
与的周长之差，
，，
与的周长之差．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的中线，熟记概念并求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键．
3．下列说法：①直线外一点到该直线的垂线段，是这个点到该直线的距离；②同旁内角互补；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；⑤垂直于同一条直线的两条直线平行；⑥三角形的角平分线是线段．其中说法正确的有
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据三角形的高、点到直线的距离定义、平行公理、平行线的判定和性质进行分析即可．
【解答】解：①直线外一点到该直线的垂线段的长度，是这个点到该直线的距离；故原命题错误；
②两直线平行，同旁内角互补；故原命题错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故原命题错误；
④三角形三条高至少有一条在三角形的内部；故原命题正确；
⑤在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；故原命题错误；
⑥三角形的角平分线是线段．故原命题正确；
其中说法正确的有2个，
故选：．
【点评】此题主要考查了三角形的高、平行线的判定和性质，关键是注意点到直线的距离的定义．
4．如图，在中，边上的高为
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的高线的定义解答．
【解答】解：根据三角形的高的定义，为中边上的高．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，熟记概念是解题的关键．
5．如图，在中，，分别是边上的中线和高，点在点的左侧，已知，，，
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的面积公式求出，根据中线的概念求出，计算即可．
【解答】解：，
，即，
解得：，
是边上的中线，
，
，
故选：．
【点评】本题考查的是三角形的中线、高的概念、三角形的面积计算，掌握三角形的中线的概念是解题的关键．
6．如图，是的中线，点是的中点，连接、，若的面积是8，则阴影部分的面积为
A．4B．2C．6D．8
【分析】根据是的中线，点是的中点，得出三角形的面积三角形的面积与三角形的面积的关系即可．
【解答】解：是的中线，
，
点是的中点，
，
，
，，
，
故选：．
【点评】本题主要考查三角形的面积，推导出阴影部分的面积跟三角形的面积之间的关系是解题的关键．
7．如图所示，在中，、、分别为、、的中点，且，则的面积等于
A．B．C．D．
【分析】根据三角形中线的性质，先求得的面积，再求得的面积，即可求得的面积．
【解答】解：，为的中点，
，
为的中点，
，
为的中点，
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形中线的性质，掌握三角形中线平分三角形的面积是解题的关键．
8．的三边分别为，，，若，，的长为偶数，则
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边解答即可．
【解答】解：由三角形三边关系可得：，
即，
故选：．
【点评】此题考查三角形三边关系，关键是根据三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边解答．
9．如图，中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若，则等于
A．B．C．D．
【分析】由中，，，可求得的度数，由折叠的性质可得：，，由三角形外角的性质，可求得的度数．
【解答】解：中，，，
，
由折叠的性质可得：，
，
故选：．
【点评】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
10．如图，在中，点，分别在边，上，将沿折叠至位置，点的对应点为．若，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由折叠的性质可得，，由邻补角定义可解得，继而解得，再由三角形内角和解得，最后由折叠的性质解答即可．
【解答】解：由题意得，，，
，
，
，
，
沿折叠至位置，
，
故选：．
【点评】本题考查三角形的内角和、折叠的性质等知识，掌握相关知识是解题关键．
11．以下说法正确的有
①三角形的中线、角平分线都是射线；
②三角形的三条高所在直线相交于一点；
③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点；
④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；
⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点．
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】三角形的高，中线，角平分线都是线段．
【解答】解：①三角形的中线，角平分线都是线段；②三角形的三条高所在直线相交于一点；
③三角形的三条角平分线在三角形内部交于一点；
④三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分；
⑤直角三角形的三条高相交于直角顶点；
正确的有②③④⑤，共四个，
故选：．
【点评】本题考查了三角形高，中线，角平分线等相关知识，解题关键在于建立模型意识．
12．如图，把沿翻折，叠合后的图形如图，若，，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据折叠的性质，再根据邻补角的定义运用合理的推理，结合三角形内角和定理即可求出答案．
【解答】解：沿翻折，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了折叠的性质，解题关键在于根据轴对称变化关系找到对应边，对应角．
13．如图，是的角平分线，，垂足为．若，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】利用三角形内角和定理求出，利用全等三角形的性质证明即可解决问题．
【解答】解：是的角平分线，
，
，
，
，，
，
在和中，
．
，
在和中，
，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
14．如图，一副直角三角板如图所示摆放，，，．顶点在边上，且，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】延长，交于点，由平行线的性质可得，由三角形的外角性质可求得，再由三角形的内角和即可求的度数．
【解答】解：延长，交于点，如图，
，，
，
，，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，解答的关键是作出正确的辅助线．
15．如图，是的角平分线和的交点，于点．若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】由已知条件可求得，则由三角形的内角和可得，由角平分线可得，，从而可求得，再次利用三角形的内角和即可求的度数．
【解答】解：，，
，
在中，，
是的角平分线和的交点，
，，
，
在中，．
故选：．
【点评】本题主要考查三角形的内角和，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
16．如图，已知，，，则等于
A．B．C．D．
【分析】根据三角形内角和，可以得到和的和，再根据三角形内角和，可以得到和的关系，然后即可求得的度数．
【解答】解：连接，如右图所示，
，，，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
17．如图，在中，平分，平分，平分的外角，连接，若，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】根据全等三角形的判定和性质定理和角平分线的定义和性质解答即可．
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
【点评】此题考查三角形的外角性质，关键是根据三角形外角性质和角平分线的定义解答．
二．填空题（共1小题）
18．如图，已知中，，，为上一点，将沿折叠后，点落在点处，且，则的度数是 25 ．
【分析】由平行线的性质和折叠的性质得到与间关系，再由三角形的内角和定理先求出，利用角的和差关系求出的度数．
【解答】解：是由折叠的，
．
．
，
．
．
，，
．
，，
．
故答案为：25．
【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的内角和定理等知识点，题目综合性较强，掌握平行线的性质、折叠的性质及三角形的内角和定理是解决本题的关键．
1．如图，在中，，，是上两点，且，平分，那么下列说法中不正确的是
A．是的中线B．是的角平分线
C．D．是的高
【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：、，是的中线，正确；
、平分，是的角平分线，正确；
、是的角平分线，
，
是中线，
，
不正确，符合题意；
、，是的高，正确．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的角平分线，高线，中线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．
2．如图，于，于，于，于，在中，边上的高为
A．B．C．D．
【分析】从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，由此即可判定．
【解答】解：边上的高是指过顶点向所在直线作的垂线段，
在于，于，于，于中，只有符合上述条件．
故选：．
【点评】此题主要考查学生对三角形的高这一知识点的理解和掌握，钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
3．如图，中，平分，点在线段上，且交的延长线于点．若，，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】先依据三角形外角与内角的关系求出，再有角平分线性质求出，再由垂直、对顶角关系、三角形内角和定理即可求出的度数．
【解答】解：如图所示，是三角形的一个外角，
，即；
平分，
，
，，
，
，
在直角三角形中，
，
与互为对顶角，
，
．
故选：．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理、三角形外角与内角的关系，角平分线的性质，对顶角，做题的关键是掌握三角形的内角和定理、三角形外角与内角的关系、角平分线的性质、对顶角的定义．
4．中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得和的平分线交于点，则为
A．B．C．D．
【分析】根据角平分线的性质可得，，再根据外角的性质可得，找出规律即可求出．
【解答】解：平分，平分，
，，
，
同理可得，
，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了角平分线的性质与规律的综合，涉及三角形外角性质，找出和之间的规律是解题的关键．
5．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由、是的两个外角知、，据此得，推出得到，根据平分，平分知．利用可得答案．
【解答】解：、是的两个外角，
，，
，
，
即，
，
，
平分，平分，
．
，
．
故选：．
【点评】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．
6．如图在中，，分别平分，，交于，为外角的平分线，的延长线交于点，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是
A．①②③B．①③④C．①④D．①②④
【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，．
【解答】解：为外角的平分线，平分，
，，
又是的外角，
，
，故①正确；
，分别平分，，
，，
，故②、③错误；
平分，平分，
，，
，
是的外角，
，故④正确；
故选：．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义．
7．如图，，，，、相交于点，则度数是
A．B．C．D．
【分析】先根据全等三角形对应角相等求出，，所以，然后求出的度数，再根据和的内角和都等于，所以．
【解答】解：，
，，
又，，
，
，，
，
在和中，，，
．
故选：．
【点评】本题主要利用全等三角形对应角相等的性质，解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
8．在中，，分别是、上的点，过点作，，垂足分别是点，，连接，若，，则下面三个结论：
①；
②；
③．
其中正确的是
A．①③B．②③C．①②D．①②③
【分析】连接，根据垂直定义可得，再根据证明，然后根据全等三角形的性质可得，，即可判断①，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，即可判断②，最后根据，即可判断③．
【解答】解：连接，
，，
，
，，
，
，
故①正确；
，
，
，
，
，
，
故②正确；
，，，
和不全等，
故③不正确；
所以，上面三个结论，其中正确的是①②，
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
9．如图，抗日战争期间，为了炸毁敌人的碉堡，需要测出我军阵地与敌人碉堡的距离，我军战士想到一个办法．他先面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点；然后转过身，保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点上；最后，他用步测的办法量出自己与点的距离，从而推算出我军阵地与敌人碉堡的距离，这里判定的理由是
A．B．C．D．
【分析】根据垂直的定义和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：战士的视线通过帽檐正好落在碉堡的底部点；然后转过身保持刚才的姿势，这时视线落在了我军阵地的点上；
得，
，
，
判定的理由是．
故选：．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等．
10．如图，在等腰三角形中，，，于点，点是的延长线上一点，点在的延长线上，，下面的结论：①；②是正三角形；③；④．其中正确的是
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【分析】如图，设交于点．由，推出，推出，可证①②正确，延长到，使得，证明，推出，可得③正确，推出四边形的面积是定值，可得④错误．
【解答】解：如图，设交于点．
，，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，故①正确，
，
，
，
是正三角形，故②正确，
如图，延长到，使得，连接，
，，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，故③正确，
，
，
定值，
是变化的，
是错误（与上面定值矛盾），
故④错误．
正确的是①②③，
故选：．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．
11．如图，在中，，，于，于，与交于，则 ．
【分析】延长交于点，锐角三角形三条高交于一点，所以，再根据三角形内角和定理得出答案．
【解答】解：延长交于点，
在中，三边的高交于一点，所以，
，且，
，
，
在中，三内角之和为，
，
故答案为．
【点评】考查三角形中，三条边的高交于一点，且内角和为．
12．有一张三角形纸片，已知，，点在边上，请在边上找一点，将纸片沿直线折叠，点落在点处，若与三角形纸片的边平行，则的度数为 或 ．
【分析】分两种情况：①当点在的上方时，②当点在的下方时，根据折叠性质、平行线的性质即可解决问题．
【解答】解：①当点在的上方时，如图：
，，
，
；
②当点在的下方时，如图：
，，
，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
【点评】此题考查的是翻折变换和平行线的性质，掌握翻折的性质是解决此题的关键．
13．如图，在中有两个内角相等，且是的角平分线，，．若，则 或22.5 ．
【分析】通过角的关系设未知数建立方程求解．
【解答】解：，，
设，，则：，，
，
，，
是的角平分线，
，
①当时，由题意得：．
，
，
②当时，由题意得：
．
．
故答案为：或22.5．
【点评】本题考查三角形的内角和，用字母表示三角形的内角，建立方程求解是求解本题的关键．
14．如图，将沿方向平移到、、在同一条直线上），若，与相交于点，和的平分线、相交于点，则 67 ．
【分析】由，，推出，，推出，再由三角形内角和定理可得，由此即可解决问题．
【解答】解：沿方向平移到、、在同一条直线上），
，，
，，
，
，
．
故答案为：67．
【点评】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15．如图，已知长方形的边长，，点在边上，，如果点从点出发在线段上以的速度向点向运动，同时，点在线段上从点到点运动．则当与全等时，时间为 1或4 ．
【分析】由条件分两种情况，当时，则有，由条件可得到关于的方程，当，则有，同样可得出的方程，可求出的值．
【解答】解：
，，，
，，，
当时，则有，即，解得，
当时，则有，即，解得，
故答案为：1或4．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由条件分两种情况得到关于的方程是解题的关键．
16．已知点、，以点、、（点不与点重合）为顶点的三角形与全等，则符合要求的点坐标可以是 或或 ．
【分析】作出图形，根据全等三角形对应边相等解答即可．
【解答】解：如图所示，以、、为顶点的三角形与全等，
则点的坐标为或或．
故答案为：或或．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，坐标与图形的性质，作出图形利用数形结合的思想求解更加简单．
1．如图，在等边中，于，延长到，使，是的中点，连接并延长交于，的垂直平分线分别交，于点，点，连接，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】①根据角的和与差及等腰三角形的性质可判断①正确．
②设，则，表示和的长，可判断②正确；
③作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，证明，可判断③正确；
④分别表示和的长，可判断④不正确；
⑤根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得，由，可得，可判断⑤正确．
【解答】解：是等边三角形，
，，
，是的中点，
，
，
，
，
，
，故⑤正确；
设，则，
，，
中，，，
，
，故②正确；
③如图，过作于，连接，
在等边三角形中，
，
平分，，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，故③正确；
是的垂直平分线，
，
等边中，，
，
，故④错误；
，
，，
，
，
，故①正确；
其中正确的有：①②③⑤，一共4个，
故选：．
【点评】本题属于三角形的综合题，是中考选择题的压轴题，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
2．在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点．以下说法正确的有 个
①；②；③；④；⑤若，则
A．2B．3C．4D．5
【分析】连接，，，根据证得，即可证得，可以判断②正确；由已知，，，从而证得三个直角三角形，即：，，再通过已知，的平分线和对顶角得，即得为等腰三角形，，证明四边形是菱形，可以判断①③正确；根据等腰直角三角形的性质可以判断④错误；根据等底等高的两个三角形面积相等可以判断⑤正确．
【解答】解：如图，连接，
，
，
的平分线交于，
，
在和中，
，
，
，故②正确；
，
，
，，
，
，，
的平分线交于，
，
，
又，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，，故①③正确；
在中，，
，
，故④错误；
四边形是菱形，
，
，，
，
，
，则．故⑤正确．
综上所述：①②③⑤，共4个．
故选．
【点评】此题考查的是菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质、定理是解题的关键．
3．如图，在中，和的平分线、相交于点，交于，交于，过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是
A．①②B．②③C．①②③D．①③
【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；在上取一点，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定②正确；作于，于，根据三角形的面积可证得③正确．
【解答】解：和的平分线相交于点，
，，
，故①错误；
，
，
，分别是与的平分线，
，
，
，
，
如图，在上取一点，使，
是的角平分线，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故②正确；
作于，于，
和的平分线相交于点，
点在的平分线上，
，
，③正确．
综上所述：正确的为：②③．
故选：．
【点评】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，正确作出辅助线证得，得到是解决问题的关键．
4．如图，为的角平分线，为上一点，且于，，给出下列结论：①；②；③；④连接，则；⑤四边形的面积是面积的2倍．其中正确的有 个
A．5B．4C．3D．2
【分析】过点作，垂足为点．证明，，利用全等三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，过点作，垂足为点．连接，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，且，
，
，
，
，故①正确；
在和中，
，
，
，，故②正确；
，
，
，故③正确；
，，
，
，
，
又为的角平分线，
，
，故④正确；
，，
，，
．故⑤正确．
综上可得：①②③④⑤均正确．
故选：．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
5．如图，在中，，、是斜边上两点，且，将绕点顺时针旋转后，得到，连接，下列结论：
①；②；③的面积等于四边形的面积；
④⑤
其中正确的是
A．①②④B．③④⑤C．①③④D．①③⑤
【分析】①根据旋转的性质知，，因为，，所以，可得，由此即可证明；
②当时，该比例式成立；
③根据旋转的性质，，进而得出的面积等于四边形的面积；
④据①知，，，根据勾股定理判断．
⑤根据①知道，得，；由此即可确定该说法是否正确；
【解答】解：①根据旋转的性质知，，
，，
．
，
；
故本选项正确；
②，
；
当时，
，
；
当时，
与不相似，即；
此比例式不一定成立；
故本选项错误；
③根据旋转的性质知，
，即三角形的面积等于四边形的面积；
故本选项正确；
④，
，
绕点顺时针旋转后，得到，
，
，
又，
，
故本选项正确；
⑤根据①知道，得，，
，即，
故本选项错误；
综上所述，正确的说法是①③④；
故选：．
【点评】此题主要考查了图形的旋转变换以及全等三角形的判定等知识，解题时注意旋转前后对应的相等关系．
6．如图，在钝角中，分别以和为斜边向的外侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，平分交于点，取中点，中点，连接、、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论的个数是
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①首先根据是中点，是中点，可得是的中位线，判断出；然后判断出，即可判断出；
②首先根据，可得；然后根据，可得，所以，据此判断即可．
③首先连接、，判断出，，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出．
④首先判断出，，，根据相似计三角形判定的方法，判断出△，即可判断出，然后根据，判断出，再根据，判断出，，即可判断出．
【解答】解：是中点，是中点，
是的中位线，
，且；
三角形是等腰直角三角形，平分交于点，
是的中点，
，
又，
，
结论①正确；
，
，
，
，
，
结论②正确；
如图1，连接、，，
是中点，是中点，
是的中位线，
，且；
三角形是等腰直角三角形，是的中点，
，
又，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
结论③正确；
如图2，连接，，，，
三角形是等腰直角三角形，平分，
是的中点，，
，，，
，
是中点，是中点，
是的中位线，
，且；
三角形是等腰直角三角形，是的中点，
，，，
又，
，
，
，
在和△中，
△，
，
，
，
即，
又，
，
，
，
结论④正确．
正确的结论有4个：①②③④．
故选：．
【点评】（1）此题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，以及相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径，而高又为内切圆的直径．
（3）此题还考查了三角形中位线定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
7．已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接，，则下列五个结论：
①；
②；
③；
④是等边三角形；
⑤平分．
其中，正确的是 ②③④⑤ （只填写序号）
【分析】当是的中点或者平分时，；故①错误；根据等边三角形的性质得，，，，则，利用“”可判断，得到，然后根据“”判断，所以；可以判断③正确；根据三角形内角和定理可得，而，则，然后再利用三角形内角和定理即可得到，由；故③正确；得到，加上，则根据等边三角形的判定即可得到为等边三角形；可以判断④正确；作于，于，如图，由得到，于是根据角平分线的判定定理即可得到平分，进而可以判断⑤正确．
【解答】证明：是等边三角形，
当是的中点或者平分时，；故①错误；
和都是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
；故③正确；
，
而，
，
，
；故②正确；
，
，
而，
为等边三角形；故④正确；
作于，于，如图，
，
，
平分．故⑤正确．
综上所述：正确的是②③④⑤．
故答案为：②③④⑤．
【点评】本题属于中考填空题的压轴题，考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“”、“ ”、“ ”、“ ”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
8．如图，和都是等腰直角三角形，，，，分别与、交于点、．下列结论：①；②；③；④．所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【分析】证明，可得，进而可以判断①正确；然后证明，可以判断③正确；证明和不全等，可得，进而可以判断②错误；根据．．可得筝形面积，进而可以判断④正确．
【解答】解：①，
，
即．
在和中，
，
．
，故①正确；
③，，
，
，
．故③正确；
②，
，
，
和不全等，
，故②错误；
④，
．
．
．故④正确．
综上所述：①③④．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
9．如图，正方形的边长为4，点是边上一点，且，以点为圆心，3为半径的圆分别交、于点、，与交于点．并与交于点，连结、．给出下列四个结论．其中正确的结论有 （1）（3）（4） （填写所有正确结论的序号）．
（1）是的中点
（2）
（3）
（4）
【分析】（1）先证明，得，，由垂径定理，得：，即是的中点；
（2）只要证明题干任意一组对应边不相等即可；
（3）分别过分别作于，于，由余弦三角函数和勾股定理算出了，，再算面积，即得；
（4）余弦三角函数和勾股定理算出了，即可得．
【解答】解：（1）在与中，
，
，
，
，
，
由垂径定理，
得：，
即是的中点，故（1）正确；
（2）如图，过分别作于，于，
，，
，
，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
，
，
是错误的，故（2）不正确；
（3）过分别作于，
由（2）知，，
，
，
，
，故（3）正确；
（4）由（2）知，，
，
，故（4）正确．
【点评】本题是圆的综合题，考查了全等的性质和垂径定理，勾股定理和三角函数解直角三角形，熟练应用三角函数快速计算是本题关键．