北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 基本计数原理的简单应用一课一练

第五章计数原理

§1　基本计数原理

1.甲、乙两人从4门课程中各选修1门,则甲、乙所选的课程不相同的选法共有(　　).

A.6种 B.12种 C.30种 D.36种

解析:∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门,

∴由分步乘法计数原理可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3=12种.

答案:B

2.由数字0,1,2,3,4可组成无重复数字的两位数的个数是(　　).

A.25 B.20 C.16 D.12

解析:分两步:先选十位,不能选0,有4种选法;再选个位,有4种选法.由分步乘法计数原理,得可组成无重复数字的两位数的个数为4×4=16.

答案:C

3.给一些书编号,准备用3个字符,其中首字符用A,B,后两个字符用a,b,c(允许重复),则不同编号的书共有(　　).

A.8本 B.9本 C.12本 D.18本

解析:完成这件事可以分为3步:第1步,确定首字符,有2种方法;第2步,确定第二个字符,有3种方法;第3步,确定第三个字符,有3种方法.因此,不同编号的书共有2×3×3=18本,故选D.

答案:D

4.有10本不同的数学书、9本不同的语文书、8本不同的英语书,从中任取两本不同类的书,则不同的取法共有(　　).

A.27种 B.54种 C.152种 D.242种

解析:取两本不同类的书,分为3类:第1类,取一本数学书、一本语文书,根据分步乘法计数原理有10×9=90种不同取法;第2类,取一本语文书、一本英语书,有9×8=72种不同取法;第3类,取一本数学书、一本英语书,有10×8=80种不同取法.综合以上三类,利用分类加法计数原理,共有90+72+80=242种不同取法.

答案:D

5.某年级要从3名男生、2名女生中选派3人参加某次社区服务,如果要求至少有1名女生,那么不同的选派方案有(　　).

A.6种 B.7种 C.8种 D.9种

解析:可按女生人数分类:若选派1名女生,有2×3=6种;若选派2名女生,则有3种.根据分类加法计数原理,共有9种不同的选派方案.

答案:D

6.有5列火车停在某车站并排的5条轨道上,若火车A不能停在第1条轨道上,则5列火车的停车方法共有(　　).

A.96种 B.24种 C.120种 D.12种

解析:先排第1条轨道,有4种排法,第2,3,4,5条轨道各有4,3,2,1种排法,由分步乘法计数原理,知共有4×4×3×2×1=96种.

答案:A

7.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数有　　　　　个. 

解析:由题意知b≠0,确定a,b的值,需分2步:第1步,确定b,有6种不同的取值;第2步,确定a,也有6种不同取值.根据分步乘法计数原理,知共有虚数6×6=36个.

答案:36

8.从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取两个,其中一个作为底数,另一个作为真数,则可以得到不同的对数值有　　　　　个. 

解析:由于1只能作为真数,故以1为真数,从其余各数中任取一数为底数,对数值均为0.从除1外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数,能组成8×7=56个对数,其中log24=log39,log42=log93,log23=log49,log32=log94,有4组对数值相等,所以得到不同对数值的个数为1+56-4=53.

答案:53

9.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员,派5名参加比赛,其中3名主力队员要安排在第一、三、五位置,其余7名队员中选2名安排在第二、四位置,则不同的出场安排共有多少种?

解:按出场位置顺序逐一安排:

第一位置有3种安排方法;第二位置有7种安排方法;

第三位置有2种安排方法;第四位置有6种安排方法;

第五位置有1种安排方法.由分步乘法计数原理,知不同的出场安排方法有3×7×2×6×1=252种.

10.已知集合A={2,4,6,8,10},B={1,3,5,7,9},从A中任取一元素m和从B中任取一元素n,组成数对(m,n),问:

(1)有多少个不同的数对?

(2)其中m>n的数对有多少个?

解:(1)分为2步:第1步,从A中任取一元素m,有5种结果;第2步,从B中任取一元素n,有5种结果.根据分步乘法计数原理,共有5×5=25个不同的数对.

(2)在(1)中的25个数对中,m>n的数对可以分类来解.当m=2时,n=1,有1个数对;当m=4时,n=1,3,有2个数对;当m=6时,n=1,3,5,有3个数对;当m=8时,n=1,3,5,7,有4个数对;当m=10时,n=1,3,5,7,9,有5个数对.根据分类加法计数原理,共有1+2+3+4+5=15个数对.