高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 用向量方法讨论立体几何中的位置关系一课一练

3.4 向量在立体几何中的应用

一、   概念练习

1.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

2.已知平面内有一个点的一个法向量为,则下列点P中,在平面内的是(   )

A. B. C. D.

3.如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是(   )

A. B. C. D.

4.如图,正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是(   )

A．30° B．45° C．60° D．90°

5.如图，在直三棱柱中，，，点D为BC的中点，则异面直线AD与所成的角为(   )

A. B. C. D.

二、能力提升

6.如图,点为矩形所在平面外一点,平面为线段的中点,,则点到平面的距离为(   )

A. B. C. D.

7.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

8.已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则的值是(   )
A.-6 B.6 C.14 D.-14

9.已知菱形ABCD中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为(   )

A.2 B. C. D.

10.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是()
A. B. C. D.

11.在棱长为2的正方体中，M,N分别是的中点，则直线MN与平面ABCD所成的角的余弦值为__________.

12.如图，在直三棱柱中，，，D为上一点.若二面角的大小为30°，则AD的长为_____________.

13.已知，，若，，且平面ABC，则_____________.

14.如图,和都是边长为2的正三角形,且它们所在平面互相垂直.平面,且.

(1)设P是的中点,求证:平面.

(2)求二面角的正弦值.

15.如图，PO是三棱锥的高，，，E是PB的中点.

（1）求证：平面PAC；

（2）若，，，求二面角正余弦值.

答案以及解析

1.答案：B

解析：如图，设BC的中点为D，连接、AD、，

易知即为异面直线AB与所成的角(或其补角)

设三棱柱的侧棱与底面边长均为1，

则，，，

由余弦定理，得

故选：B.

2.答案：B

解析：对于B,,则,所以,则点在平面内.同理可得,ACD不正确.

3.答案：C

解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，

则根据题意可得，，，，

所以，，

设异面直线AB与CM所成角为，

则.

故选：C.

4.答案：A

解析：如图所示,以为原点建立空间直角坐标系Oxyz.

设，

则.

则，

设平面的法向量为,则，

可求得，

则.

∴，

∴直线与平面所成的角为.

故选A.

5.答案：B

解析：解法一取的中点，连接，.易证，故，所成的角就是AD，所成的角.，，D为BC的中点，，，，又，，，为直角三角形，，即异面直线AD与所成的角为，故选B.

解法二易知AB，AC，两两垂直，以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，即异面直线AD与所成的角为.故选B.

6.答案：B

解析：如图,以为原点,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,.

设平面的一个法向量为,则即

令,则.

点到平面的距离.

7.答案：D

解析：设的中点为,连接,则由题意知平面,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设侧棱长为,则,则.

所以.

8.答案：A

解析：,,故选A.

9.答案：D

解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO、DO，因为，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面ACD，如图建系，则，，，，

所以，，.

设平面BCD的法向量为，则即

令，得，，则，易知平面CDA的一个法向量为，所以，故选D.

10.答案：A

解析：如图，设，则，，，，

，

，

.

故选A.

11.答案：

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则，所以，平面ABCD的一个法向量为,所以，设直线MN与平面ABCD所成的角为，则，所以.

12.答案：

解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则，，，，.设，则点D的坐标为，.

设平面的法向量为，则令，得.又平面的一个法向量为，记为n，则由，解得（负值舍去），故.

13.答案：

解析：因为，所以，

即，所以.

因为平面ABC，

所以，且，

即

解得

所以.

14.答案：(1)见解析

(2)

解析：(1)证明：取的中点O,连接.

是正三角形,

.

∵平面平面,平面平面,

平面.

平面,

.

在中,,

.

又,

为等腰三角形.

是的中点,.

平面,

.

平面平面,

平面.

(2)由(1)知,,

∴四边形为平行四边形,

,

.

以点O为坐标原点,以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系,

则, ,

.

设平面的法向量为,

则即

令,则,

.

设平面的法向量为,

则即

令,则,

.

.

,

∴二面角的正弦值为.

15.答案：（1）证明见解析

（2）

解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.

因为，所以.

因为PO为三棱锥的高，所以平面ABC，
因为平面ABC，所以.

又平面POD，且，所以平面POD.

因为平面POD，所以，
又，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
因为D，E分别为BA，BP的中点，所以，
因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.
又平面ODE，，
所以平面平面PAC.
又平面ODE，所以平面PAC.
（2）连接OA，
因为平面ABC，平面ABC，
所以，，
所以.

易得在中，，
所以，，
又，
所以在中，.
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，

设平面AEC的法向量为，
则，即，
令，则.
设平面AEB的法向量为，
则，即，令，则.
所以.
设二面角的大小为，
则.