人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.4 数列的应用课时练习

【精挑】5.4 数列的应用随堂练习

一．单项选择

1．已知数列满足：，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

2．已知数列的通项公式为，则（    ）

A． B． C． D．

3．数列满足，则前40项和为（    ）

A．820 B．940 C．1830 D．1880

4．已知数列满,则（　　）

A．1 B．0 C．1或0 D．不存在

5．已知，若数列的前项和是，设，设，当且仅当时，不等式成立，则实数的范围为（    ）

A． B．

C． D．

6．若数列的通项公式是，则等于（    ）

A．60 B． C．90 D．

7．对于实数x，表示不超过x的最大整数.已知数列的通项公式，前n项和为，则（    ）

A．223 B．218 C．173 D．168

8．执行如图所示的程序框图，则输出的（    ）

A．1002 B．1001 C．1000 D．999

9．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？“则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（    ）

A．多斤 B．少斤 C．多斤 D．少斤

10．对于数列，定义为的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（  ）

A．2022 B．1011 C．2020 D．1010

11．已知数列满足，为其前项和，若，则（    ）

A． B． C． D．

12．设数列{an}满足，若，且数列{bn}的前n项和为，则（    ）

A． B． C． D．

13．定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，.当时，的值域为.记集合中元素的个数为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

14．我国古代很早就有对等差数列和等比数列的研究成果.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一物品堆，从上向下数，第一层有1个货物，第二层比第一层多2个，第三层比第二层多3个，…，以此类推.记第层货物的个数为，则数列的前2021项和为（    ）

A． B． C． D．

15．复利是指一笔资金产生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法，单利是指一笔资金只有本金计取利息，而以前各计息周期内产生的利息在下一个计息周期内不计算利息的计息方法.小闯同学一月初在某网贷平台贷款10000元，约定月利率为1.5%，按复利计算，从一月开始每月月底等额本息还款，共还款12次，直到十二月月底还清贷款，把还款总额记为x元.如果前十一个月因故不还贷款，到十二月月底一次还清，则每月按照贷款金额的1.525%，并且按照单利计算利息，这样的还款总额记为y元.则y-x的值为（ ）(参考数据：1.01512≈1.2)

A．0 B．1200 C．1030 D．900

参考答案与试题解析

1．【答案】D

【解析】先由求出，得到，由裂项求和的方法求出.

详解：因为，

所以，

两式作差可得：，即，

又当时，，所以，满足，

因此，

所以，

因此.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查由递推公式求通项，以及数列的前项的应用，熟记裂项求和的方法求数列的和即可，属于常考题型.

2．【答案】D

【解析】分析：观察得到的周期为，再求出的表达式，进而求解结论，得到答案.

详解：由题意，数列的通项公式为，且函数的周期为，

所以

，

又因为，

所以.

故选：D.

【点睛】

方法点拨：由函数的周期为，根据三角函数的周期性和数列的表达式，求出的值，结合周期性求解.

3．【答案】A

【解析】分析：分别令，得出关系式，化简可得即从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，16为公差的等差数列，利用数列的结构特征，求出的前40项和．

详解：∵，

故，，，，，，

，

从而可得，，，，，

，，，

即从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，

从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，16为公差的等差数列，

故的前项和为，

故选：A.

【点睛】

关键点点睛：本题主要考查了数列和的求法，通过递推式得到数列奇数项和偶数项的规律是解题的关键.

4．【答案】B

【解析】分别讨论时,和当时, 结合奇数和偶数,以及极限的求法即可解出答案.

详解：解:因为数列满,

①当时,

②当时,

当为奇数时,

当为偶数时,

综上所述,.

故选:B

【点睛】

本题主要考查数列的极限求法,注意运用常见数列的极限.考查计算能力,属于基础题.

5．【答案】D

【解析】分析：先由求出，从而可得，然后利用裂项相消求和法求出，再由已知可得，解不等式组可得答案

详解：解：当时，，

当时， ，当时，不满足，

所以，

当时，，

当时，，

所以，

所以

，

因为是递增的，当时，不等式成立，

所以，所以，解得，

故选：D

6．【答案】C

【解析】分析：根据题意得到，结合并项求和，即可求解.

详解：由题意，数列的通项公式是，

则，

所以．

故选：C.

7．【答案】C

【解析】分析：根据递推关系求得，根据表示不超过x的最大整数，分别求出n取不同整数时，对应的，从而求得结果.

详解：∵，

∴，

∴当或2时，，共有2个；当时，，共有5个；

当时，，共有7个；当时，，共有9个；

当时，，共有11个；当时，，共有13个；

当时，，共有3个；

∴

故选：C

8．【答案】B

【解析】分析：根据框图，结合裂项相消相消法可知跳出循环结构时的取值.

详解：由程序框图知，，

所以，

所以，

解得，

即当时，满足，

此时由知，，

故输出，

故选：B

9．【答案】A

【解析】由题意可知各等人所得金数组成等差数列,根据等差数列的性质即可计算出问题答案.

详解：设十等人得金从高到低依次a1,a2,,a10,则{an}为等差数列,

设公差为d,则由题意可知；

∴a2,a9=1,

∴d；

∴a1﹣a9=﹣8d.

即等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多斤.

故选：A.

【点睛】

本题考查了等差数列的性质,等差数列的应用,属于中档题.

10．【答案】B

【解析】由题意，根据，得到，进而求得，作差即可求解.

详解：由，

得，　     ①

，　②

①-②得，即，，

所以.故选B.

【点睛】

本题主要考查了数列的新定义的应用，以及数列知识的综合应用，其中解答中根据新定义，化简得，进而得 ，新作差化简．运算是解答的关键，同时此类问题需要认真审题，合理利用新定义是解答此类问题的基础，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

11．【答案】C

【解析】分析：已知等式中用替换得，两式相减得数列的递推关系，用分类讨论思想求得数列通项公式，然后分组求和．

详解：因为  ①，

所以  ②

由②－①得：，

所以数列奇数项与偶数项均成公差为的等差数列

当为奇数时，；

当为偶数时，，

又因为，

所以，得，

所以，

所以．

故选：C．

12．【答案】D

【解析】分析：由已知可求得，再利用裂项相消法可求得.

详解：由可得，

，，

则可得数列为常数列0，即，，

，

.

故选：D.

13．【答案】D

【解析】分析：先根据条件分析出当时，集合中的元素个数为，进而可得，再结合裂项相消法进行求和可得结果.

详解：因为，所以，

所以在各个区间中的元素个数分别为：，

所以当时，的值域为，集合中元素个数为：

，

所以，

所以，

故选：D.

14．【答案】B

【解析】分析：由题意结合累加法可得，则，由裂项相消法可选出正确答案.

详解：解：由题意知，且，则由累加法可知，

，所以，

当时，，则，则，

记的前项的和为，则

，则，

故选:B.

【点睛】

思路点睛:

本题首先由累加法求出通项公式，再由裂项相消法求出和的表达式.

15．【答案】C

【解析】分析：设小闯同学每个月还款元，则可依次求每次还款元后，还欠本金及利息，由题意可得，求出，从而可求出的值，再利用单利求出，进而可求出的值

详解：解：由题意知，按复利计算，设小闯同学每个月还款元，则小闯同学第一次还款元后，还欠本金及利息为元，

第二次还款元后，还欠本金及利息为，

第三次还款元后，还欠本金及利息为，

依次类推，直到第十二次还款后，全部还清，即

，

即，解得，

故元，

按照单利算利息，12月后，所结利息共元，

故元，

所以，

故选：C