高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.5 数学归纳法课时练习

【基础】5.5 数学归纳法随堂练习

一．单项选择

1．用数学归纳法证明“”能被整除”的第二步中时，为了使用假设，应将变形为（    ）

A． B．

C． D．

2．用数学归纳法证明等式（n∈N）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）

A．

B．

C．

D．

3．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（    ）

A． B．

C． D．

4．用数学归纳法证明“n3＋（n＋1）3＋（n＋2）3（n∈N）能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开__________.

5．在平面直角坐标系中，函数在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作，把轴上的区间等分成个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数的图像上.若用，表示第个矩形的面积，表示这个矩形的面积总和.

（Ⅰ）求的表达式；

（Ⅱ）请用数学归纳法证明等式：；

（Ⅲ）求的值，并说明的几何意义.

6．已知数列满足，，，求证：数列是递增数列.

7．已知，证明不等式时，比多的项数是（    ）

A．项 B．项 C．项 D．以上都不对

8．设，是否存在一次函数，使得对的一切自然数都成立，并试用数学归纳法证明你的结论.

9．用数学归纳法证明，则从到时左边添加的项是（    ）

A． B． C． D．

10．数列，3，，，，…，则9是这个数列的第（    ）

A．12项 B．13项 C．14项 D．15项

11．凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)为（ ）

A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n

C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2

12．已知数列中，，.

（1）写出的值，猜想数列的通项公式；

（2）用数学归纳法证明（1）中你的结论.

13．已知数列满足：

（1）求：，

（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明；

（3）若且对于恒成立，求实数的取值范围

14．汉诺塔问题是源于印度一个古老传说的益智游戏.这个游戏的目的是将图（1）中按照直径从小到大依次摆放在①号塔座上的盘子，移动到③号塔座上，在移动的过程中要求：每次只可以移动一个盘子，并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从①号塔座移动到③号塔座所需要的最少次数为an.

（1）试写出a1，a2，a3，a4值，并猜想出an；（无需给出证明）

（2）著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图（2）的形状，此时小石子的数目分别为1，4，9，16，由于小石子围成的图形类似正方形，于是称bn＝n2这样的数为正方形数.当n≥2时，试比较an与bn的大小，并用数学归纳法加以证明.

15．用数学归纳法证明时，由到时，不等式左边应添加的项是（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】根据数学归纳法的证明过程，结合题意，即可容易判断选择.

详解：根据数学归纳法，

当时，

应将变形为，

此时，和都可以被3整除.

故该变形是合理的.

故选：.

【点睛】

本题考查数学归纳法证明整除问题，属基础题.

2．【答案】B

【解析】由数学归纳法知第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到

考点：推理与证明

3．【答案】C

【解析】列出当时等式的左边，与时等式的左边作比较，可得出结果.

详解：当时，左端等于，

因此在的基础上加上，

故选：C.

【点睛】

数学归纳法证题的两个步骤缺一不可，证明成立时，必须用成立的结论．用数学归纳法证题的过程可以总结为“两个步骤一个结论”．用数学归纳法证明等式时其过程也是“两个步骤一个结论”．

4．【答案】（k＋3）3

【解析】根据要证明的问题，为了利用时的结论，只需展开新增的项即可.

【详解】

假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋（k＋1）3＋（k＋2）3能被9整除；

当n＝k＋1时，（k＋1）3＋（k＋2）3＋（k＋3）3

为了能用上面的归纳假设，只需将（k＋3）3展开，让其出现k3即可.

故答案为：（k＋3）3

【点睛】

本题考查数学归纳法，涉及证明过程中为了利用已知，需要作出的选择，属基础题.

5．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析（Ⅲ），的几何意义表示函数的图象与轴，及直线和所围曲线梯形的面积.

试题分析：（1）第个矩形的高为，然后直接求出第个矩形的面积；

（2）当时，命题成立，假设时命题成立，证得时命题成立，即可得到结论；

（3）求得，求出极限，然后说明极限的几何意义.

详解：（Ⅰ）由题意第个矩形的高是，所以

（Ⅱ）（i）当时，，命题成立，

（ii）假设时命题成立，即，

则时，

，

∴时命题成立，

综上，时，命题成真，即，

（Ⅲ）由（1）可求得

，

则，

所以的几何意义表示函数的图象与轴，及直线和所围曲线梯形的面积为.

【点睛】

本题主要考查了数学归纳法，数列的求和，以及数列的极限的应用，其中解答中熟记数学归纳法的证明方法，以及合理利用极限进行计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

【解析】

6．【答案】证明见解析.

试题分析：若，要证是递增数列．即证对任意成立，然后利用数学归纳法的证明步骤证明即可．

详解：证明：若，要证是递增数列.

即，即证对任意成立.

下面用数学归纳法证明：

当时，对任意成立.

①当时，，结论成立

②假设当（，）时结论成立，即

因为函数在区间内单调递增，

所以，

∴当时，成立.

由①，②知，对任意，成立.

因此，，即是递增数列.

【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用，数学归纳法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

【解析】

7．【答案】C

【解析】利用即可判断出结果.

详解：因为，，

所以，

所以比多的项数是.

故选：C.

【点睛】

本题考查了对数学归纳法的正确理解，作差判断是解题关键，属于基础题.

8．【答案】存在，证明见解析.

试题分析：假设存在一次函数g(x)＝kx＋b(k≠0)，令则，可得k=1，b=0，故猜想g(x)=x;然后用数学归纳法加以证明．

详解：假设存在一次函数，使得

对的一切自然数都成立，

则当时有，，

又∵，，

∴，即①

当时有，，

又∵，，，

∴，即②

由①②可得，，所以猜想：，

下面用数学归纳法加以证明：

（1）当时，已经得到证明：

（2）假设当时，结论成立，即存在，使得

对的一切自然数都成立，

则当时，，

，

又∵，∴，

∴，

∴当时，命题成立.

由（1）（2）知，对一切n，有，

使得都成立.

【点睛】

本题主要考查猜想和数学归纳法，还考查了逻辑推理和转化求解的能力，属于中档题.

【解析】

9．【答案】D

【解析】根据式子的结构特征，求出当时，等式的左边，再求出 时，等式的左边，比较可得所求．

详解：当时，等式的左边为，

当 时，等式的左边为，

故从“到”，左边所要添加的项是．

故选：D．

【点睛】

本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从到项的变化．

10．【答案】C

【解析】根据已知数列中前若干项，可以归纳总结出数列的通项公式，进而构造关于n的方程，解方程得到答案.

详解：数列，3，，，，…，可化为：，，，，，…，

则数列的通项公式为：

当时，

故选：C

【点睛】

本题考查了归纳法求数列的通项公式，考查了学生数学归纳，数学运算的能力，属于基础题.

11．【答案】C

【解析】凸多边形边数增加1条，即增加一个顶点，自这一顶点向其它不相邻的k-2个顶点可引k-2条对角线，原来一条边变为对角线，所以共增加k-1条，故选C．

考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤，多边形．

点评：简单题，注意认真分析图形的变化．

12．【答案】（1），，，猜想（2）见解析

试题分析：（1）依递推公式计算，并把各分子都化为3，可归纳出；

（2）用数学归纳法证明即可．

详解：解：（1），，∴，，，

猜想

（2）用数学归纳法证明如下：

①当时，由知猜想成立；

②假设时，猜想成立，即

则

∴时，猜想成立，

根据①②可知，猜想对一切正整数都成立.

【点睛】

本题考查归纳推理，考查数学归纳法，属于基础题．在用数学归纳法证明时，在证明时的命题时一定要用到时的归纳假设，否则不是数学归纳法．

【解析】

13．【答案】（1）；（2），证明见详解；（3）

【解析】（1）通过赋值，结合已知条件，即可求得；

（2）根据数列的规律，进行归纳总结，再遵循数学归纳法的证明过程即可证明；

（3）先求，将问题转换为恒成立问题，再求最值即可.

【详解】

（1）

因为，故

（2）由（1）猜想

①当时，，显然成立

②假设当时成立，即

则当时，

即证当时候，猜想成立；

综上所述：对任意正整数都成立.

（3）因为，故：

若对于恒成立，则只需满足恒成立即可

当时，恒成立满足题意；

当时，显然不可能成立；

当时，对称轴

故在单调递减，

故

解得，又，

故当时，满足题意.

综上所述，时，对于恒成立.

【点睛】

本题考查数学归纳法证明通项公式，涉及裂项求和，恒成立问题的转化，属综合题.

14．【答案】（1），，，，；（2）当时，：当时，，证明见解析.

试题分析：（1）直接由题意求得的值，并猜想出；

（2）求出的值，的值，可得当时，，猜想：当时，，即，然后利用数学归纳法证明即可.

详解：（1）由题意得，，，，，

猜想：.

（2），，，，，，，，，，

则当时，，猜想：当时，，即，

下面利用数学归纳法证明：

①当时，，，，结论成立；

②假设时结论成立，即，

那么当时，，

而时，，即，

所以，

所以当时，结论也成立.

由①②可知，当时，结论成立.

综上，当时，，当时，，即.

【点睛】

本题考查了不完全归纳法，考查了利用数学归纳法证明不等式，属于中档题.

【解析】

15．【答案】D

【解析】分别写出不等式在n＝k，n＝k+1时的式子，两式相减，即可得到所求结论．

详解：当n＝k时，有不等式，

当n＝k+1时，不等式为，

将上面两式的左边相减可得，由n＝k到n＝k+1时，不等式左边应添加的项是.

故选：D

【点睛】

本题考查数学归纳法的运用，考查由n＝k到n＝k+1时，不等式的左边的变化，考查运算能力，属于基础题．