人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题课堂检测

【精编】6.3 利用导数解决实际问题课堂练习

一．单项选择

1．函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为（   ）

A.     B.     C.     D.

2．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．(　　)

A．105    B．110

C．115    D．120

3．从长，宽的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，若使箱子的容积最大，则剪去的正方形边长为（ ）

A． B． C． D．

4．把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自摆成一个正三角形，那么这两个正三角形的面积之和的最小值是

(　　)．

A. cm2   B．4  cm2

C．3 cm2   D．2 cm2

5．某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第小时，原油温度（单位： ）为，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为（    ）

A.     B. 0    C. -1    D. 8

6．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为(　　)

A． 900元    B． 840元    C． 818元    D． 816元

7．某汽车的紧急刹车装置需在遇到紧急情况2s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)=t3-4t2+20t+15，则s′(1)的实际意义为(　　)

A.汽车刹车后1 s内的位移

B.汽车刹车后1 s内的平均速度

C.汽车刹车后1 s时的瞬时速度

D.汽车刹车后1 s时的位移

8．设底为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为(　　)．

A.    B.  

C.    D．2

9．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)；生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，则应生产(　　)

A．6千台    B．7千台

C．8千台    D．9千台

10．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为(　　)

A．32米，16米   B．30米，15米

C．40米，20米   D．36米，18米

11．如图所示，一质点在平面上沿曲线运动，速度大小不变，其在轴上的投影点的运动速度的图象大致为(    )

12．曲线在点（1，2）处的切线方程为 (      )

 A．               B．

 C．                  D．

13．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元.如果销售额函数是 （是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（    ）

A．6万斤 B．8万斤 C．3万斤 D．5万斤

14．如图1，将一个实心小球放入玻璃杯（不计厚度）中，已知玻璃杯的侧面可以看成由图2的曲线绕轴旋转一周所形成，若要求小球接触到玻璃杯底部，则小球的最大半径为（   ）

A.     B.     C.     D.

15．某公司在甲．乙两地销售一种品牌车,利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15 x 2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（     ）

A．45.606 B．45.6 C．45.56 D．45.51

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】分析：根据导函数在函数上点的斜率为导函数的性质，可求得切线方程为，求出切线方程与x轴．y轴的交点即可求出三角形面积。

详解：因为 ，所以函数在处的切线斜率为

当时， ，所以点的坐标为

所以切线方程为

切线与 轴交点为 ，与 轴交点为

所以围成的三角形面积为

所以选C

点睛：本题考查了导函数的简单应用，导函数的意义为在某一点切线方程的斜率，关键是区分点是否在曲线上，属于简单题。

2．【答案】C

【解析】利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，这时利润最大为7225元．

3．【答案】A

【解析】设剪去的正方形的边长为,求出体积关于的函数，利用导数可得结果.

详解：设剪去的正方形的边长为,

则做成的无盖的箱子的底是长为,宽为的矩形,

箱子的高为,

所以箱子的容积,

,

当时,只有一个解,

在附近,是左正右负,

在处取得极大值即为最大值,

所以，若使箱子的容积最大,则剪去的正方形边长为.

故选A.

【点睛】

本题主要考查导数的实际应用，意在考查对基础知识的掌握与灵活应用，属于中档题.

4．【答案】D

【解析】设一个正三角形的边长为x cm，则另一个正三角形的边长为(4－x)cm，则这两个正三角形的面积之和为S＝x2＋ (4－x)2＝ [(x－2)2＋4]≥2 (cm2)，故选D.

5．【答案】B

【解析】解：由题意可知，温度的瞬间变化率为： ，

结合二次函数的性质可知，

当 时，原油温度的瞬时变化率的最小值为 .

本题选择B选项.

6．【答案】D

【解析】设箱底一边的长度为，箱子的总造价为元，得到关于的函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可得到答案．

【详解】

设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，

根据题意，得＝15×＋12×2＝240＋72 (x>0)，

72.

令0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．

当0<x<4时， <0；当x>4时， >0.

故当x＝4时， 有最小值816.

因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．

故选D.

【点睛】

本题主要考查了导数的实际应用问题，其中解答中认真审题，得到造价关于的函数，利用导数求解函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

7．【答案】C

【解析】s′(t)表示运动物体在时刻t的速度即在t的瞬时速度.

8．【答案】C

【解析】设底面边长为x，侧棱长为l，则V＝x2·sin 60°·l，∴l＝，

∴S表＝2S底＋3S侧＝x2·sin 60°＋3·x·l＝x2＋，

S′表＝x－.令S′表＝0，∴x3＝4V，即x＝.又当x∈时，S′表<0；当x∈，S′表>0，

∴当x＝时，表面积最小．

9．【答案】A

【解析】设利润为y(万元)，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，∴y′＝－6x2＋36x＝－6x·(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．故选A.

10．【答案】A

【解析】要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，如图所示，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长度L＝2x＋ (x>0)，

则L′＝2－.令L′＝0，得x＝±16.

∵x>0，∴x＝16.

当x＝16时，L极小值＝Lmin＝64，

∴堆料场的长为＝32(米)．

11．【答案】B

【解析】

12．【答案】A

【解析】由导数的几何意义知：切线的斜率为3，所以切线方程为，选A.

13．【答案】A

【解析】设销售的利润为，得，当时，，解得，得出函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.

【详解】

由题意，设销售的利润为，得，

即，当时，，解得，

故，则，

可得函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，利润最大，

故选A.

【点睛】

本题主要考查了导数在实际问题中的应用，其中解答中认真审题，求得函数的解析式，利用导数得出函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

14．【答案】D

【解析】分析：首先将原问题转化为函数交点的问题，然后利用导函数研究函数的性质即可求得最终结果.

详解：绘制截面图如图所示，设圆的方程为，

与联立可得：，

当时有：，

构造函数，

原问题等价于函数与函数至多只有一个交点，

且：，据此可知：

函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

函数的最小值为：.

则的最大值为,即小球的最大半径为.

本题选择D选项.

点睛：本题主要考查导数的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

15．【答案】B

【解析】主要考查构建函数模型，利用导数解决生活中的优化问题．

解：设甲地销售辆，依题意L1+L2=5.06－0.15 +2（15－）==，所以当取整数10时，最大利润为45.6，故选B．