人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.4 求导法则及其应用当堂检测题

【精编】6.1.4 求导法则及其应用优质练习

一．单项选择

1．

函数的图象的切线斜率可能为（    ）

A．-4 B．-3 C．-2 D．-1

2．

若直线与函数的图象相切于点，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为（    ）

A． B． C． D．

4．关于函数，下列判断错误的是（    ）

A．函数的图象在处的切线方程为

B．是函数的一个极值点

C．当时，

D．当时，不等式的解集为

5．抛物线的焦点为F，准线为l，斜率为2的直线m与抛物线C切于一点A，与准线l交于点B，则的面积为（    ）

A．15 B．

C． D．

6．曲线在处的切线方程为（    ）．

A．      B．

C．       D．

7．若函数，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

8．已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

9．已知函数在点处的切线与函数的图象相切于点，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

10．函数的部分图象大致为（    ）

A．  B．

C．  D．

11．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

12．设曲线f(x)＝ax2在点(2，4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，则a＝（    ）

A．2 B．－

C． D．－1

13．曲线在处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

14．

不等式组表示的平面区域为，若对数函数的图象上存在区域内的点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

15．函数在处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】D

【解析】

因为(当时等号成立)，

所以切线的斜率可能为，

故选：D.

2．【答案】B

【解析】

由可得．由已知可得，，即，可得，两边取自然对数可得，所以.

故选：B．

3．【答案】C

【解析】分析：分析得出在点处的切线与直线平行，利用导数可求得结果.

详解：如下图所示：

若使得取值最小值，则曲线在点处的切线与直线平行，

对函数求导得，令，可得，

，解得.

故选：C.

4．【答案】B

【解析】分析：利用导数的几何意义可判断A选项的正误；利用导数与极值的关系可判断B选项的正误，利用导数与函数最值的关系可判断C选项的正误；利用导数研究函数的单调性，由此解不等式，可判断D选项的正误.

详解：对于A选项，，则，所以，，，

所以，函数的图象在处的切线方程为，即，A选项正确；

对于B选项，当时，对任意的，，

此时函数在上单调递增，无极值，B选项错误；

对于C选项，当时，，该函数的定义域为，

.

当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增.

所以，，C选项正确；

对于D选项，当时，，则对任意的恒成立，

所以，函数为上的增函数，

由可得，所以，，

解得，D选项正确.

故选：B.

【点睛】

思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：

（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；

（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；

（3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.

5．【答案】C

【解析】分析：结合导数求得切线方程，进而求得点坐标，从而求得三角形的面积.

详解：设切点，则，，，可求切线为，

则由得，切线与轴的交点为，故.

故选：C

6．【答案】D

【解析】因为，所以，所以．

又，所以曲线在处的切线方程为．

7．【答案】B

【解析】分析：由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.

详解：由题意，所以，

所以.

故选：B.

8．【答案】A

【解析】分析：方程有四个不同的实根，函数图象与直线y=kx-1有四个交点，作出它们的图象，观察动直线的变化而得解.

详解：，令y=kx-1，y=kx-1表示过定点(0,-1)，斜率为k的动直线，

当时，当时，；当，

所以在上单调递减，在上单调递增，

当时，，故在上单调递减，在上单调递增，在同一坐标系内作出函数图象与直线y=kx-1，如图所示，

关于的方程有四个不同的实根，等价于函数的图象与直线y=kx-1有四个不同的交点，

当时，的图象在点处切线斜率为，该切线过点时，

满足，解得，所以的图象过点的切线斜-2，

当时，，的图象在点处的切线斜率为，该切线过点时，，因为，解得，

所以的图象过点的切线斜率为2，

由函数图象知，当动直线y=kx-1在直线与所夹不含y轴的对顶角区域内转动(不含边界直线)时，

函数的图象与直线y=kx-1有四个不同的交点，此时的取值范围是.

故选：A

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法；分离参数法；数形结合法.

9．【答案】C

【解析】分析：根据点在函数的图象上，可得，再由导数的几何意义可得函数的切线的方程，再设，利用导数的几何意义列出方程即可求解.

详解：由题意可知，点在函数的图象上，

，，，

函数在点处的切线方程为.

，则.

令点，则，.

点在直线上，

解得，

点，

故选：C.

【点睛】

导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.

10．【答案】C

【解析】分析：根据函数值符号的变化，以及导函数符号的变化，即可作出判断.

详解：当时，，排除A，

此时，且随着的增大，越来越大，排除B D，

故选：C

11．【答案】A

【解析】分析：求出函数的导数，计算出的值，然后利用点斜式写出所求切线方程.

详解：，，则，

因此，所求切线方程为，

故选：A.

12．【答案】B

【解析】f(x)＝ax2，则

因为在点(2，4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，所以

所以

故选：B

13．【答案】D

【解析】分析：根据导数的几何意义，求处切线的斜率并求对应的函数值，直接写出切线方程即可.

详解：依题意，，则，而当时，，

故所求切线方程为，即，

故选：D.

14．【答案】A

【解析】

由约束条件可得平面区域如下图阴影部分所示：

由，解得：，即， 又当时，，

当时，不存在区域内的点，，

当时，若与相切，则切点为，

则，解得：，即，可知平面区域，

当时，存在区域内的点；

综上所述：.

故选：A.

15．【答案】A

【解析】分析：先求导，求出切线的斜率，再利用直线方程的点斜式求解.

详解：由可得，

则，，

故切线方程为，即.

故选：A

【点睛】

方法点睛：函数在点处的切线方程为.