人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.4 求导法则及其应用课后复习题

【优选】6.1.4 求导法则及其应用优选练习

一．单项选择

1．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

2．

曲线在处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

3．

若直线是函数的一条切线，则函数不可能是（    ）

A． B． C． D．

4．

已知定义在区间上的函数，，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（    ）

A．2 B．5 C．1 D．0

5．曲线在处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

6．已知函数，若曲线在点处的切线经过原点，则的值为（    ）

A．-2        B．3         C．-1        D．-3

7．

函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列排序正确是（    ）

A．

B．

C．

D．

8．函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，，规定叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”，给出以下命题：①函数图象上两点与的横坐标分别为1，2，则；②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点．是抛物线上不同的两点，则；④设曲线上不同两点，，且，若恒成立，则实数的取值范围是.以上正确命题的序号为（    ）

A．①② B．②③ C．③④ D．②③④

9．已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

10．

若直线与函数的图象相切于点，则（    ）

A． B． C． D．

11．若直线与函数的图象相切于点，则（    ）

A． B． C． D．

12．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

13．已知函数，若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

14．曲线在处的切线方程为（    ）．

A．      B．

C．       D．

15．设曲线与有一条斜率为1的公切线，则（    ）

A． B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】A

【解析】分析：根据导数的几何意义求解切线的斜率，最后写出切线方程即可.

详解：因为，

所以．

因为，

所以曲线在点处的切线方程为，

即．

故选：A.

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，导数在切点处的取值为切线的斜率，这类问题需要注意题目中的关键信息，是在这个点处还是过这个点，注意区别对待.

2．【答案】D

【解析】

由题意得：，

所以切线的斜率，又，

所以切线方程为：，即．

故选：D

3．【答案】D

【解析】

由题设知：若切点为，则，

A：，有；

B：，有；

C：，有；

D：，显然无解.

故选：D.

4．【答案】C

【解析】

根据题意，设两曲线与公共点为，其中，

由，可得，则切线的斜率为，

由，可得，则切线的斜率为，

因为两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，

所以，解得或（舍去），

又由，即公共点的坐标为，

将点代入，可得.

故选：C.

5．【答案】D

【解析】分析：根据导数的几何意义，求处切线的斜率并求对应的函数值，直接写出切线方程即可.

详解：依题意，，则，而当时，，

故所求切线方程为，即，

故选：D.

6．【答案】B

【解析】分析：求得导数，得到及，求得曲线的切线方程，结合切线经过原点，列出方程，即可求解．

详解：由题意，函数，则，

所以，又由，

所以曲线在点处的切线方程为，

因为切线经过原点，可得，解得．

故选：B.

【点睛】

易错警示：注意理解导数的几何意义：函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率．

7．【答案】C

【解析】

因为．分别是函数在．处的切线斜率，

由图可知，

又，，

所以，

故选：C.

8．【答案】B

【解析】分析：①求导确定，及与的坐标，即可求，②以为例即可判断，③设为，而可得，，两点公式求，进而可知的范围，④由题设易得，令则恒成立，即可求范围.

详解：①，所以，，而，则，错误；

②以为例，由，即为常数，正确；

③由，设，则，，可令为，可知，则，正确；

④由题设知：，，而，所以，又，令，要使恒成立，则恒成立，即，错误；

综上有②③正确.

故选：B

【点睛】

关键点点睛：根据各项条件求，以及，结合“弯曲度”的定义，判断正误即可.

9．【答案】A

【解析】分析：求出函数解析式，现求得时导数，及函数值然后可得切线方程．

详解：令，，，即，

，

所以，又，

所以曲线在处的切线方程为，即．

故选：A．

10．【答案】B

【解析】

由可得．由已知可得，，即，可得，两边取自然对数可得，所以.

故选：B．

11．【答案】B

【解析】分析：由切线的斜率计算可得，再对等式变形，两边取对数，即可得答案.

详解：由可得．由已知可得，，即，可得，两边取自然对数可得，所以.

故选：B．

【点睛】

关键点睛：曲线在某点处的切线与过某点的切线是不一样的，要注意区别.由于点是公切点，所以也就等价于都是在某点处的切线.

12．【答案】A

【解析】，，则，

因此，所求切线方程为，

故选：A.

13．【答案】A

【解析】分析：方程有四个不同的实根，函数图象与直线y=kx-1有四个交点，作出它们的图象，观察动直线的变化而得解.

详解：，令y=kx-1，y=kx-1表示过定点(0,-1)，斜率为k的动直线，

当时，当时，；当，

所以在上单调递减，在上单调递增，

当时，，故在上单调递减，在上单调递增，在同一坐标系内作出函数图象与直线y=kx-1，如图所示，

关于的方程有四个不同的实根，等价于函数的图象与直线y=kx-1有四个不同的交点，

当时，的图象在点处切线斜率为，该切线过点时，

满足，解得，所以的图象过点的切线斜-2，

当时，，的图象在点处的切线斜率为，该切线过点时，，因为，解得，

所以的图象过点的切线斜率为2，

由函数图象知，当动直线y=kx-1在直线与所夹不含y轴的对顶角区域内转动(不含边界直线)时，

函数的图象与直线y=kx-1有四个不同的交点，此时的取值范围是.

故选：A

【点睛】

方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：直接法；分离参数法；数形结合法.

14．【答案】D

【解析】因为，所以，所以．

又，所以曲线在处的切线方程为．

15．【答案】B

【解析】分析：由，结合切线的斜率为1，利用导数的几何意义求得切线方程，然后由，利用导数的几何意义求得切点的横坐标，代入切线方程求得切点的纵坐标，然后将切点坐标代入求解.

详解：因为，

所以，

又因为切线的斜率为1，

所以，

解得，

所以切线方程为，

因为，

所以，

解得，代入切线方程得，

再将代入，

解得，

故选：B.