高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题课堂检测

【精选】6.3 利用导数解决实际问题优质练习

一．单项选择

1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　)

A．8    B.    C．－1   D．－8

2．某箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为

A. 30    B. 35    C. 40    D. 50

3．一物体在曲线s=+2t2上运动，则该物体在t=3s时的瞬时速度(位移单位：m，时间单位：s)为　(　　)

A.m/s                       B. m/s

C.m/s                      D.m/s

4．方程有且仅有两个不同零点，则的值为

     A.           B.       C.        D. 不确定 

5．函数的大致图象是

6．在时刻t，通过导线内任一横截面的电量Q(t)(单位：C)与时间t(单位：s)之间的函数关系为Q(t)=t3-2t2+6t+2，则t=0.5s时的电流强度I为　(　　)

A.4.75C/s                    B.6.75C/s

C.- 4.75C/s                   D.-8.75C/s

7．若一球的半径为r，则内接于球的圆柱的侧面积最大为(　　)

A．2πr2    B．πr2      C．4πr2    D. πr2

8．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1=17x2，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2=2x3-x2(x>0)，为使利润最大，应生产(　　)

A.6千台     B.7千台      C.8千台       D.9千台

9．若曲线处的切线分别为的值为

 A．—2 B．2 C． D．—

10．设函数在区间上的导函数为， 在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”．已知，若对任意的实数满足时，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为（   ）

A.     B.     C.     D.

11．一根金属棒的质量y(单位：kg)是长度x(单位：m)的函数，y=f(x)=3，则从4m到9 m这一段金属棒的平均线密度是　(　　)

A.kg/m                       B.kg/m

C.kg/m                       D.kg/m

12．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是(　　)．

A．150  B．200  C．250  D．300

13．若一个四棱锥底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方形的中心, 且该四棱锥的体积为,当其外接球的体积最小时, 它的高为（   ）

A．        B．       C．       D．

14．某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/时）的函数解析式为.若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低，则汽车匀速行驶的速度应为（   ）

A. 60千米/时    B. 80千米/时    C. 90千米/时    D. 100千米/时

15．已知一个球的半轻为3.则该球内接正六校锥的体积的最大值为（    ）

A．10 B． C． D．

参考答案与试题解析

1．【答案】C

【解析】原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.

2．【答案】C

【解析】∵，

∴，

∴当时， 单调递增；

当时， 单调递减．

∴当时， 有最大值，即当箱子的容积最大时，箱子的底面边长为40.

选C．

3．【答案】D

【解析】∵s=-+2t2，∴s′=-++4t，

∴当t=3s时的瞬时速度为m/s.

【解析】

【解析】

6．【答案】A

【解析】Q′(t)=3t2-4t+6，

∴Q′(0.5)=3×(0.5)2-4×0.5+6=4.75(C/s).

7．【答案】A

【解析】如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，

则R＝rcos θ，l＝2rsinθ.

∴S侧＝2πR·l＝2πrcosθ×2rsinθ

＝4πr2sinθcosθ.

∴由S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝0，

得θ＝.∴当θ＝，即R＝r时，S侧最大，

且S侧最大值为2πr2.

8．【答案】A

【解析】设利润为y，则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0)，

∴y′=-6x2+36x=-6x(x-6)，令y′=0，解得x=0或x=6

经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.

9．【答案】A

【解析】，，所以在点P的效率分别为，因为，所以，所以，选A.

10．【答案】C

【解析】由于，所以，因为在区间上为“凸函数”，所以 在区间上恒成立， 对时恒成立，即对恒成立，所以，解得，其对应的可行域如下图所示，则的最大值是，故选C.

考点：1．导数在函数研究中的应用；2．线性规划.

【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用以及线性规划方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：根据题目条件首先对函数进行两次求导，列出关于的不等式组，并且将上述不等式组转换成关于未知数 上的不等式，进而得到关于的不等式，再结合线性规划即可求得的最大值.

11．【答案】B

【解析】平均线密度：==(kg/m).

12．【答案】D

【解析】由题意得，总利润

P(x)＝

令P′(x)＝0，得x＝300，故选D.

13．【答案】A

【解析】设四棱锥底面正方形边长为，四棱锥高为，外接球半径为，

则，所以，因为，

所以时取唯一一个极小值，也是最小值，即外接球的体积最小，因此选A.

考点：导数实际应用

14．【答案】C

【解析】分析：先设速度为x千米/小时，再求出函数f(x)的表达式，再利用导数求其最小值.

详解：当速度为x千米/小时时，时间为小时，

所以f(x)=

所以

令

当x∈（0,90）时，函数f(x)单调递减，当x∈（90,120）时，函数f(x)单调递增.

所以x=90时，函数f(x)取得最小值.

故答案为：C.

点睛：（1）本题主要考查导数的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和解决实际问题的能力.(2) 如果求函数在开区间内的最值，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。

15．【答案】C

【解析】分析：如图，设六棱锥球心为，底面中心为，设，则，令可得，利用导数可求出其最大值.

详解：如图，设六棱锥球心为，底面中心为，设，

则，

，

令，

则，

，

可得时，，单调递增；时，，单调递减，

，

故该球内接正六校锥的体积的最大值为.

故选：C.

【点睛】

关键点睛：本题考查几何体的外接球问题，解题的关键是将体积用函数表示，利用导数进行计算.