高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册第五章 数列5.4 数列的应用课后测评

【优选】5.4 数列的应用作业练习

一．单项选择

1．我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有浦生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．浦生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：“今有浦生长1日，长为3尺．莞生长1日，长为1尺．浦的生长逐日减半．莞的生长逐日增加1倍．问几日浦．莞长度相等？”根据上面的已知条件，若浦．莞长度相等时，间浦的长度是（    ）

A．4尺 B．5尺 C．3尺 D．6尺

2．已知函数的图象过点，令.记数列的前n项和为，则（　　）

A． B． C． D．

3．已知等比数列的前n项和为，记，若数列也为等比数列，则（    ）

A．12 B．32 C． D．

4．已知数列满,则（　　）

A．1 B．0 C．1或0 D．不存在

5．根据预测，某地第个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，，则该地第4个月底的共享单车的保有量为（    ）

A．421 B．451 C．439 D．935

6．等比数列中，，，数列，的前项和为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

7．数列满足﹐若，则的前项和为（    ）

A． B． C． D．

8．数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

9．数列满足，则的值为（    ）

A． B． C． D．

10．若不等式对任意恒成立，则最小的整数（    ）

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021

11．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛．马．羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛．马．羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他门各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则羊主人应偿还多少升粟？（    ）

A． B． C． D．

12．已知数列满足，为其前项和，若，则（    ）

A． B． C． D．

13．《算法统宗》，明代数学家程大位所著，是中国古代数学名著.其中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第四天走的路程（单位：里）为（    ）

A．192 B．48 C．24 D．6

14．已知数列满足：，则数列的前项和为（    ）

A． B． C． D．

15．设数列的前项和为，其通项公式为，则（    ）

A．110 B．105 C．100 D．55

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】设x日浦．莞长度相等，根据今有浦生长1日，长为3尺．莞生长1日，长为1尺．浦的生长逐日减半．莞的生长逐日增加1倍，利用等比数列的前n项和公式分别得到x日浦的长度和x日莞的长度，令其相等求解.

详解：设x日浦．莞长度相等，x日浦的长度是，

x日莞的长度是，

由题意知，

解得或（舍去）

∴浦的长度为：，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查等比数列的前n项和及指数运算，属于基础题.

2．【答案】D

【解析】由已知条件推导出，．由此利用裂项求和法能求出．

【详解】

解：由，可得，解得，则.

∴，

故选：

【点睛】

本题考查了函数的性质．数列的“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3．【答案】D

【解析】分析：设等比数列的公比为q，对q分和两种情况进行讨论即可.

详解：解：设等比数列的公比为q，

①当时，，不可能为等比数列；

②当时，，，

，

若数列为等比数列，必有，解得，有．

故选：D.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是（1）要分和两种情况进行讨论；

（2）当时，利用等比数列前n项和公式及分组求和法求出，然后结合等比数列通项公式即可求解.

4．【答案】B

【解析】分别讨论时,和当时, 结合奇数和偶数,以及极限的求法即可解出答案.

详解：解:因为数列满,

①当时,

②当时,

当为奇数时,

当为偶数时,

综上所述,.

故选:B

【点睛】

本题主要考查数列的极限求法,注意运用常见数列的极限.考查计算能力,属于基础题.

5．【答案】D

【解析】分析：根据题意求出前四个月的共享单车投放量，减去前四个月的损失量，即为第四个月底的共享单车的保有量.

详解：由题意可得该地第4个月底的共享单车的保有量为

故选：D.

6．【答案】B

【解析】分析：先求出，从而可得，然后利用裂项相消求和法可求出

详解：由题意得，所以，

所以.

故选：B

7．【答案】C

【解析】分析：由，得，所以可得数列是等差数列，得数列的通项公式，再利用错位相减法求和.

详解：因为，所以，所以数列是公差为，首项为的等差数列，所以，所以，设的前项和为，所以①，②，①-②得，，得.

故选：C

【点睛】

本题的核心是考查错位相减求和，一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解．

8．【答案】B

【解析】分析：将通项裂项为，由裂项相消法可求得结果.

详解：，

的前项和为.

故选：B.

9．【答案】A

【解析】分析：由已知条件计算出数列的通项公式，然后运用裂项求和法求出结果，注意的情况进行分类讨论.

详解：，取，

相减，

，

则推出

当时，

原式

故选：A

【点睛】

方法点睛：在数列求和中的方法：（1）裂项求和法；（2）分组求和法；（3）错位相减法；（4）倒序相加法等.

10．【答案】C

【解析】构造数列，分析的单调性，将问题转化为，从而求解出的取值范围.

【详解】

设，所以，

所以，

所以，所以是单调递减的数列，

所以，所以，所以，

所以.

故选：C.

【点睛】

本题考查根据数列的单调性求解参数，难度较难.证明数列单调性的方法：根据与的关系判断出数列的单调性（当恒为正或者负时，可以考虑利用与的大小关系判断数列单调性）.

11．【答案】C

【解析】设牛．马．羊所吃禾苗分别为，，，是公比为的等比数列，根据等比数列的求和公式求出首项，再根据等比数列的通项公式即可求解.

详解：设牛．马．羊所吃禾苗分别为，，，

则是公比为的等比数列，∴，

解得，∴羊主人应偿还：升粟．

故选：C．

【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式．前和公式，需熟记公式，属于基础题.

12．【答案】C

【解析】分析：已知等式中用替换得，两式相减得数列的递推关系，用分类讨论思想求得数列通项公式，然后分组求和．

详解：因为  ①，

所以  ②

由②－①得：，

所以数列奇数项与偶数项均成公差为的等差数列

当为奇数时，；

当为偶数时，，

又因为，

所以，得，

所以，

所以．

故选：C．

13．【答案】C

【解析】根据题意可知,每天走的里程数为等比数列,由等比数列前n项和公式,即可求得首项,进而由等比数列的通项公式求得第四天走的路程.

【详解】

记每天走的里程数为,易知是以为公比的等比数列,其前项和,

则,

解得,

所以由等比数列通项公式可知.

故选:C.

【点睛】

本题考查了等比数列前n项和的基本量计算,等比数列通项公式的应用,属于基础题.

14．【答案】D

【解析】先由求出，得到，由裂项求和的方法求出.

详解：因为，

所以，

两式作差可得：，即，

又当时，，所以，满足，

因此，

所以，

因此.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查由递推公式求通项，以及数列的前项的应用，熟记裂项求和的方法求数列的和即可，属于常考题型.

15．【答案】A

【解析】分析：利用分组求和，求可将数列的两部分分别求和即得.

详解：由已知条件得，

故选：A.