高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.4 求导法则及其应用练习

【精编】6.1.4 求导法则及其应用同步练习

一．单项选择

1．数列各项均是正数，，，函数在点处的切线过点，则下列命题正确的个数是（    ）．

①；

②数列是等比数列；

③数列是等比数列；

④．

A．1 B．2 C．3 D．4

2．函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确的是（    ）

A．

B．

C．

D．

3．某个国家某种病毒传播的中期，感染人数和时间（单位：天）在天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数和时间的回归方程类型的是（    ）

A． B． C． D．

4．

不等式组表示的平面区域为，若对数函数的图象上存在区域内的点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

5．函数在处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

6．若直线与曲线相切，则的值为（    ）

A．－1 B． C． D．

7．曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B． C． D．

8．

函数的图象的切线斜率可能为（    ）

A．-4 B．-3 C．-2 D．-1

9．

函数图像的切线斜率为k，则的最小值为（    ）

A． B． C．1 D．2

10．已知函数在点处的切线与函数的图象相切于点，则点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

11．

函数的图象上存在两条相互垂直的切线，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

12．设在可导，则等于（    ）

A． B． C． D．

13．已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为（    ）

A． B． C． D．

14．设曲线(e=2.718为自然对数的底数)在点处的切线及直线和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，则（    ）

A． B． C． D．1

15．若函数，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

参考答案与试题解析

1．【答案】B

【解析】分析：求出函数的导函数，利用导数的几何意义得到，整理得到，利用构造法求出数列的通项，即可判断；

详解：解：由得，

所以，

∴（），

①，，

，，

∴，正确；

②由（）知，

∴首项，，∴是等比数列，正确；

③，首项，不符合等比数列的定义，错误；

④由②对可知：，

两边同除得，

令，∴，．

∴，

，即数列是恒为0的常数列．

∴，故错误．

故选：B．

【点睛】

数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理．变形，变成等差．等比数列，或用累加法．累乘法．迭代法求通项．

2．【答案】B

【解析】分析：分别作出在点A．B处的切线．，及直线，比较三条直线的斜率，并结合导数的几何意义，可选出答案.

详解：由图象可知，函数随着的增大，函数值增大的速度越来越慢，即导函数是减函数，所以，可排除ACD.

本题也可以利用导数的几何意义选出答案：

分别作出在点A．B处的切线．，并作出直线，

根据图象可知三条直线的斜率满足，，

所以，即.

故选：B.

3．【答案】B

【解析】分析：根据散点图据曲线形状判断．

详解：，，

A中是常数，B中是增函数，C中是减函数，D中是减函数，

散点图所有点所在曲线的切线的斜率随的增大，而增大，而四个选项中，A斜率不变，CD的斜率随的增大而减小，只有B满足．

故选：B．

4．【答案】A

【解析】

由约束条件可得平面区域如下图阴影部分所示：

由，解得：，即， 又当时，，

当时，不存在区域内的点，，

当时，若与相切，则切点为，

则，解得：，即，可知平面区域，

当时，存在区域内的点；

综上所述：.

故选：A.

5．【答案】A

【解析】分析：先求导，求出切线的斜率，再利用直线方程的点斜式求解.

详解：由可得，

则，，

故切线方程为，即.

故选：A

【点睛】

方法点睛：函数在点处的切线方程为.

6．【答案】D

【解析】由得，设直线与曲线相切于点，则，所以，切点为，代入得.

故选：D．

7．【答案】A

【解析】分析：求出函数的导数，计算出的值，然后利用点斜式写出所求切线方程.

详解：，，则，

因此，所求切线方程为，

故选：A.

8．【答案】D

【解析】

因为(当时等号成立)，

所以切线的斜率可能为，

故选：D.

9．【答案】B

【解析】

，

当时，即当时，有最小值，最小值为，

故选：B

10．【答案】C

【解析】分析：根据点在函数的图象上，可得，再由导数的几何意义可得函数的切线的方程，再设，利用导数的几何意义列出方程即可求解.

详解：由题意可知，点在函数的图象上，

，，，

函数在点处的切线方程为.

，则.

令点，则，.

点在直线上，

解得，

点，

故选：C.

【点睛】

导数运算及切线的理解应注意的问题：

一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．

二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．

三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.

11．【答案】B

【解析】

因为，所以，

因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线，所以不妨设在和处的切线互相垂直，

则，即①，

因为a的值一定存在，即方程①一定有解，所以，

即，解得或，

又，所以有或，，所以方程①变为，所以，

故选：B.

12．【答案】D

【解析】分析：根据导数的定义，可直接计算出结果.

详解：因为在处可导，

由导数的定义可得：.

故选：D.

13．【答案】C

【解析】分析：分析得出在点处的切线与直线平行，利用导数可求得结果.

详解：如下图所示：

若使得取值最小值，则曲线在点处的切线与直线平行，

对函数求导得，令，可得，

，解得.

故选：C.

14．【答案】B

【解析】分析：由导数的几何意义，求得切线的方程，根据围成的四边形有外接圆，得到切线与直线垂直，列出方程，即可求解.

详解：由题意，函数，可得，则，

即曲线在点处的切线的斜率为，

所以切线方程为，即，

要使得切线与直线和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆，

则满足两直线垂直，即，解得.

故选：B.

15．【答案】B

【解析】分析：由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.

详解：由题意，所以，

所以.

故选：B.