人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.3 利用导数解决实际问题复习练习题

【精编】6.3 利用导数解决实际问题练习

一．单项选择

1．已知定义在上的奇函数满足，则（   ）

A.     B.

C.     D.

2．一矩形的一边在轴上，另两个顶点在函数的图像上，如图，则此矩形绕轴旋转而成的几何体的体积的最大值是（ ）

A.     B.     C.     D.

3．在外接球半径为4的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥的高（   ）

A． B． C． D．

4．用半径为的圆铁皮剪一个内接矩形，再以内接矩形的两边分别作为圆柱的高与底面半径，则圆柱的体积最大时，则圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为（    ）

A.     B.     C.     D.

5．一艘船的燃料费（单位：元/时）与船速（单位：）的关系是.若该船航行时其他费用为540元/时，则在的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为(    )

A． B． C． D．

6．进价为80元的商品，按90元一个售出时，可卖出400个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，则获得利润最大时售价应为(　　)

A． 90元    B． 95元    C． 100元    D． 105元

7．用Sn与an分别表示区间内不含数字9的n位小数的和与个数．则的值为（　　）

A．   B．  C．  D．

8．质点在半径为的圆周上逆时针作匀角速运动，角速度为.设为起点，那么在时刻，点在轴上射影点的速度为（    ）

A．       B．       C．       D．

9．有一个圆锥，其母线长为,要是体积最大，则该圆锥的高为（   ）

A.        B.        C.        D.

10．当时，不等式            恒成立，则实数的取值范围是

（A）   （ B）  （C）   （D）

11．一个边为的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖方盒，当无盖方盒的容积最大时，的值应为（   ）

A.        B.        C.        D.

12．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为（     ）

A.     B.     C.     D.

13．将长为的铁丝截成12段，搭成一个正四棱柱的骨架，以此骨架做成一个正四棱柱容器，则此容器的最大容积为（    ）

A． B． C． D．

14．某海上油田到海岸线（近似直线）的垂直距离为10海里，垂足为，海岸线上距离处100海里有一原油厂，现计划在之间建一石油管道中转站.已知海上修建石油管道的单位长度费用是陆地上的3倍，要使从油田处到原油厂修建管道的费用最低，则中转站到处的距离应为（   ）

A. 海里    B. 海里    C. 5海里    D. 10海里

15．已知函数f(x)在R上可导，且f(x)=x2+2xf ′(2），则与的大小关系为（   ）

A. f（-1）= f（1）                B. f（-1）＞f（1）

C. f（-1）＜ f（1）               D.不确定

参考答案与试题解析

1．【答案】D

【解析】分析：构造函数，利用导数以及已知条件判断函数的单调性，然后转化求解即可．

详解：设g（x）=，定义在R上的奇函数f（x），所以g（x）是奇函数，x＞0时，

g′（x）=，…，因为函数f（x）满足2f（x）-xf'（x）＞0（x＞0），所以g′（x）＞0，所以g（x）是增函数，

可得：  故选：D.

点睛：本题考查函数的导数的应用，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力．

2．【答案】A

【解析】设是函数图像上两点的横坐标,则,且几何体的高为,半径为,由此可得,即,令,则,几何体的体积为,由于,令可得,故,应选A.

【考点】导数在实际生活中的运用．

【易错点晴】本题重在考查导数在实际生活中的运用.解答本题时,先依据题设条件构建目标函数,进而确定函数的定义域,最后运用导数使得问题巧妙获解.值得强调的是,解答本题的关键是建构目标函数,目标函数中的变量是两个,然后利用纵坐标相等化为一个变量,进而借助换元法将变量进一步化为可导函数的变量,最后借助导数求出函数的最大值是本题获解.

3．【答案】D

【解析】设正三棱锥底面的边长为，高为h，由勾股定理可得，则，三棱锥的体积，对其求导，分析其单调性与最值即可得解.

【详解】

解：设正三棱锥底面的边长为，高为h，根据图形可知

，

则.

又正三棱锥的体积

，

则，

令，

则或（舍去），

函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，V取得最大值，

故选：D.

【点睛】

本题考查球与多面体的关系．三棱锥的体积公式．导数的综合应用，考查空间想象能力及运算求解能力，属于难题.

4．【答案】C

【解析】设矩形的长,宽分别为,则,所以圆柱的体积为,令得,此时,体积取最大值,该圆铁皮面积与其内接矩形的面积比为,故选C.

5．【答案】A

【解析】根据题意列出总费用与航速的关系,再求导分析函数的单调性与最值求解即可.

【详解】

由题, 的航程需要小时,故总的费用.

即.故.

令有.故当时,单调递减,

当时,单调递增. 使得航行的总费用最少,航速应为

故选：A

【点睛】

本题主要考查了利用导数解决实际问题中的最值问题,需要根据题意列出关于航速的函数解析式,再求导分析单调性与最值即可.属于中档题.

6．【答案】B

【解析】设售价为（90+x）元/个时利润为y元，则此时销售量为（400-20x）个，则y=（90+x-80）（400-20x）=-20（x2-10x-200），令y'=-20（2x-10）=0，得x=5.由此能求出结果．

【详解】

∵进价为80元/个的商品，按90元/个售出时，可卖出400个．

这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个

∴设售价为（90+x）元/个时利润为y元，

则此时销售量为（400-20x）个，

则y=（90+x-80）（400-20x）=-20（x2-10x-200），

令y'=-20（2x-10）=0，得x=5.

所以当x=5时，即售价为95元/个时，y取最大值．

故选：B．

【点睛】

本题考查获得利润最大时售价的求法，考查函数性质．导数等基础知识，考查推理论证能力．运算求解能力，考查函数与方程思想．化归与转化思想，是中档题．

7．【答案】D

【解析】

8．【答案】C

【解析】

9．【答案】C

【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则，即，圆锥的体积为，所以，令，则，因为时，，，所以，体积取得最大值，故选C．

【考点】圆锥的体积公式；利用导数研究函数的单调．极值与最值．

【方法点晴】本题主要考查了圆锥的体积公式．利用导数研究函数的单调．利用的导数研究函数的极值与最值等知识点的应用，着重考查了函数与方程思想的综合应用．学生的推理与运算能力及分析问题和解答问题的能力，本题的解答中设圆锥的底面半径为，高为，得出，得到圆锥的体积为，即可利用导数判定处函数的单调性与极值最值．

【解析】

11．【答案】C

【解析】因无盖方盒的底面边长为,高为,其容积,则,当时,,函数单调递增; 当时,,函数单调递减.故当时, 无盖方盒的容积最大,故应选C.

考点：棱柱的体积与导数在实际生活中的运用.

【易错点晴】本题以现实生活中的一个最为常见的无盖方盒的做法为背景,考查的是导函数与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何选取变量建立函数关系,最后再运用导数进行求解.解答时,设无盖方盒的,高为,底面边长为,进而求该无盖方盒的容积,然后运用导数求得当时, 无盖方盒的容积最大,从而使得问题最终获解.

12．【答案】A

【解析】设圆锥的高为h cm，则底面半径，所以底面面积为，则圆锥的体积，∴，令，则，∴，当时， ，当时， ，则当时， 取得最大值，故选A.

13．【答案】C

【解析】设正四棱柱的底面边长为xcm，则正四棱柱的高是（72﹣8x）＝18﹣2x，表示出体积，求导数，即可求出此四棱柱的高，从而得到体积.

【详解】

解：设正四棱柱的底面边长为xcm，则正四棱柱的高是（72﹣8x）＝18﹣2x，

所以体积V＝Sh＝x2（18﹣2x）＝﹣2x3+18x2，

求导，得：V'＝﹣6x2+36x＝﹣6x（x﹣6），

当0＜x＜6时，V是递增的，当x＞6时，V递减，

则x＝6cm，18﹣2x＝6cm时，V的最大值是V＝216cm3

故选：C．

【点睛】

本题考查四棱柱的体积，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

14．【答案】B

【解析】分析：设及单位长度的费用为1，用表示出总费用，再用导数的知识求得最小值点.

详解：设，并单位长度的费用为1，则，，

总费用为，，令，则，在上只有这一个极小值点，显然它是最小值点.

故选B.

点睛：本题考查用导数求应用题中的最值．解应用题关键是选定自变量构造函数式，一般要求什么，就以什么为自变量构造函数，建立函数式后要注意自变量的取值范围，再根据函数式选用适当的方法求最值，如基本不等式．导数等等．

【解析】