数学选择性必修 第三册5.2.1 等差数列综合训练题

【特供】5.2.1 等差数列-1课时练习

一．填空题

1．已知数列的前项和为，且，则______，_______.

2．数列满足，，则的通项公式为________．

3．记等差数列的前项和为，已知点在直线上，为外一点，若，且，则_____________.

4．已知数列的前n项和，则______．

5．设等差数列满足：，．数列的前项和记为，则的值为__．

6．已知等差数列前项的和为，若，且三点共线(该直线不过点)，则________________

7．已知等差数列的公差，且，则______.

8．把正整数按一定规律排成了如图所示的三角形数表

设是位于这个三角形数表中从上到下数第行．从左到右数第个数，如，若，则____

9．已知公差不为的等差数列的首项，前项和是，且___________（①．．成等比数列，②，③，任选一个条件填入上空），设，求数列的前项和.

10．已知三点共线 (O在该直线外)，数列是等差数列，是数列的前项和．若，则____________．

11．已知数列的前项和为，若，则______．

12．已知等差数列中, ，公差，当的前n项和最大时, n=_______.

13．已知是等差数列，若，则_______.

14．设等差数列的前项和为，若，，则等于______.

15．在等差数列{an}中,S10=10,S20=30,则S30=____________________________ ．

参考答案与试题解析

1．【答案】    8

【解析】根据数列前项和公式定义，令，可求，再求，即可求解.

详解：由题意，

则令，；

；

故答案为：；8

【点睛】

本题考查数列前项和公式定义，考查计算能力，属于基础题.

2．【答案】

【解析】先根据条件得隔项成等差数列，再根据等差数列通项公式得结果.

详解：

相减得

所以当为奇数时，

当为偶数时，

因此

故答案为：

【点睛】

本题考查等差数列通项公式．根据递推关系求通项公式，考查基本分析求解能力，属中档题.

3．【答案】

【解析】分析：由平面向量共线定理可得，结合列出首项与公差的方程，求出首项与公差，利用等差数列求和公式可得结果.

详解：因为在直线上，为外一点，且，

所以    （1），

     （2），

联立（1）（2）可得

所以，

所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，考查了平面向量共线定理的应用，属于中档题.

4．【答案】

【解析】当时，，当时，，经验证，当时，，所以数列的通项公式是

考点：已知求

5．【答案】14

【解析】等差数列的公差设为，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，可得，，计算可得所求和．

详解：等差数列的公差设为，

由，，可得，，

解得，，

可得，

，

则

．

故答案为：14.

【点评】

本题考查等差数列的通项公式和数列的求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

6．【答案】

【解析】分析：由A,B,C三点共线（该直线不过点O）可得,再由等差数列前项和公式求解即可.

详解：因为，且A,B,C三点共线（该直线不过点O）,

所以,

因为等差数列,

所以,

故答案为：

【点睛】

方法点晴：本题主要考查了等差数列的前项和公式以及共线向量定理的应用，属于基础题.解答本题时部分考生找不到解题思路，根本原因是对题目条件的挖掘不够，“且三点共线”，由共线向量定理的推论可知，再由等差数列的前项和公式即可求出的值.

7．【答案】

【解析】将代换成和，代入，求得与的关系，再结合等差数列下标性质得，即可求解

详解：由题可知，，故，解得，

由等差数列的性质可得

故答案为：

【点睛】

本题考查等差数列基本量的求解，下标性质的应用，属于基础题

8．【答案】68

【解析】根据三角形数表的规律：第n行有n个数，假设2020是第n行最后一个数，根据等差数列的前n项和公式，则，然后对n赋值，得到2020所在的行，然后再得到上一行最后一个数，进而得到其所在的行第一个数，然后用等差数列的通项公式得到是第几个数.

详解：由三角形数表可得：第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，则第n行有n个数，

假设2020是第n行最后一个数，则，

当时，，当时，，

所以2020在第64行，且第63行最后一个数为，

则第64行第一个数为2017，

所以，

解得，

所以.

故答案为：68

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项及前n项和公式，还考查了观察分析求解问题的能力，属于中档题.

9．【答案】选①，；选②，；选③，.

【解析】选①，根据已知条件求得等差数列的公差，可求得，然后利用错位相减法可求得；

选②，由计算出数列的通项公式，然后利用错位相减法可求得；

选③，根据已知条件求得等差数列的公差，可求得，然后利用错位相减法可求得.

详解：设等差数列的公差为.

选①，由．．成等比数列，得，即，化简得，

，解得，，于是.

，

，

相减得，

；

选②，当时，；

当时，.

符合上式，所以，，下同①；

选③，，，，

，

，

相减得，

.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了错位相减法，考查计算能力，属于中等题.

10．【答案】1006

【解析】分析：先根据条件将表示成的形式，由此确定出的关系，再根据等差数列的前项和公式求解出的值.

详解：因为三点共线 (O在该直线外)，所以，

所以，所以，所以，

所以，所以，

故答案为：.

【点睛】

结论点睛：已知平面中三点共线 (O在该直线外)，若，则必有.

11．【答案】

【解析】由题意利用数列与的关系可转化条件为，进而可得，利用等比数列的通项公式即可得解.

详解：，，，,

即，

又，数列是首项为，公比为3的等比数列，

，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查了数列与关系的应用，考查了通过构造新数列求数列的通项，属于中档题.

12．【答案】8

【解析】根据已知条件，求出等差数列的前项和，根据其函数性质，即可容易求得结果.

详解：因为数列是等差数列，，公差，

故可得其前项和，又的对称轴为，

故当时，该数列的前项和取得最大值.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列前项和最值的求解，属简单题.

13．【答案】7

【解析】，所以.

故答案为：7

14．【答案】90

【解析】根据，，求得，再代入前n项和公式求解.

详解：设等差数列的公差为d，

因为，，

所以， ，

解得，

所以 ，

故答案为：90

【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的基本运算，属于基础题.

15．【答案】

【解析】根据等差数列的性质,利用成等差数列列式求解即可.

详解：由等差数列的性质可得,成等差数列,.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了等差数列性质的运用,属于基础题.