人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.2 数列中的递推同步训练题

【优编】5.1.2 数列中的递推-1练习

一．填空题

1．已知数列满足，则______.

2．数列的前n项和，则其通项公式________.

3．普林斯顿大学的康威教授于年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”(Lookandsaysequence)，该数列的后一项由前一项的外观产生.以为首项的“外观数列”记作，其中为．．．．．，即第一项为，外观上看是个，因此第二项为；第二项外观上看是个，因此第三项为；第三项外观上看是个，个，因此第四项为，，按照相同的规则可得其它，例如为．．．．．.给出下列四个结论：

①若的第项记作，的第项记作，其中，则,；

②中存在一项，该项中某连续三个位置上均为数字；

③的每一项中均不含数字；

④对于，，的第项的首位数字与的第项的首位数字相同.

其中所有正确结论的序号是___________.

4．著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，满足，那么是斐波那契数列的第________项．

5．已知数列的前项和为，，，，则______．

6．已知数列满足，则______.

7．已知数列满足，.若从四个条件：①；②；③；④中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列的通项表示为的形式，则___________.

8．已知数列满足 ，则的通项公式为__________________．

9．已知数列，，，则，分别为______，猜想______．

10．已知数列的前项和，则__________．

11．在数列中，，则___________.

12．设数列的前n项和为，，，则___________.

13．已知数列满足，，则的最小值为______.

14．若数列满足递推公式，且，则___________．

15．已知数列中各项是从1．0．－1这三个整数中取值的数列，为其前n项和，定义，且数列的前n项和为，若，则数列的前30项中0的个数为_______个．

参考答案与试题解析

1．【答案】10

【解析】由题得时，；

当时，.

故答案为：10

2．【答案】

【解析】当时，；当时，；得到答案.

详解：当时，；

当时，；

故

故答案为：

【点睛】

本题考查了数列的通项公式，没有考虑的情况是容易发生的错误.

3．【答案】①③④

【解析】分析：列出．的前四项，观察规律，可判断①的正误；利用反证法可判断②的正误；利用②中的结论可判断③的正误；根据和各项首位数字出现的周期性可判断④的正误.

详解：对于①，，，，，，，

，，，，，，

由递推可知，随着的增大，和每一项除了最后一位不同外，其余各数位都相同，

所以，，①正确；

对于②，若中存在一项，该项中连续三个位置上的数字均为，即，

由题中定义可知，中必有连续三个位置上的数字均为，即，.

以此类推可知，中必有连续三个位置上的数字均为，这与矛盾，②错误；

对于③，由②可知，的每一项不会出现某连续三个数位上都是，故中每一项只会出现．．，③正确；

对于④，对于，，有，，，，，，，

由上可知，记数列的首位数字构成数列，则数列为：．．．．．．．，

且当时，；

记的第项记为，则，，，，，，，，，

记数列的首位数字构成数列，则数列为：．．．．．．．．．，

且当时，.

由上可知，，，，，

所以，当时，，④正确.

故答案为：①③④.

【点睛】

关键点点睛：本题考查数列中的新定义，解题时要紧扣“外观数列”的定义，充分利用数列的规律．数列的周期性等基本性质来解决问题.

4．【答案】2022

【解析】分析：根据递推关系逐次化简所给式子为即可求解.

详解：，即为第2022项．

故答案为：2022

5．【答案】4

【解析】分析：归纳出数列的周期，求出一个周期的和，即得解.

详解：由题得，

，

，

,

,

,

所以数列的周期为6，，

，

所以.

故答案为：4

【点睛】

关键点睛：本题的解题关键是想到求数列的周期，归纳出数列的周期.

6．【答案】2020

【解析】分析：先利用判断出为常数列，求出数列的通项公式，即可求出.

详解：因为，所以，

式子两端除以，整理得：，

即为常数列.

因为，所以，

所以，所以.

故答案为：2020

【点睛】

数列求通项公式的方法：①观察归纳法；②公式法；③由求；④由递推公式求通项公式.

7．【答案】或

【解析】分析：由递推关系推出的通项公式，发现周期为2，求出，则排除②，再根据，，的取值，求出，排除④，分别讨论①和③作为条件时是否成立，得到最终的表达式.

详解：解：因为，，则，，，，， ，所以数列周期为2，即，解得，则②不能作为条件，此时，

有 解得：，则④不能作为条件，此时，

当①作为条件时，，，此时，，代入成立，故①可作为条件，此时

当③作为条件时，，则，此时，代入成立，故③可作为条件，此时.

故答案为：或.

【点睛】

思路点睛：（1）本题在求出数列的通项公式后，先根据周期性和特殊值确定和的值，排除部分选项，然后逐一讨论其他选项是否成立； （2）三角函数中解析式的确定，一般由周期确定，由特殊值确定，由最值确定，由对称中心确定.

8．【答案】

【解析】由递推公式可得，即以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式求出的通项公式，即可得解；

详解：解：因为，，

所以，即

所以以为首项，为公比的等比数列，

所以

所以

故答案为：

【点睛】

本题考查由递推公式求数列的通项公式，属于中档题.

9．【答案】，   

【解析】利用数列的递推公式可求得．的值，进而可猜想出数列的通项公式.

详解：且，，，

猜想.

故答案为：，；.

【点睛】

本题考查利用数列的递推公式写出数列中的项，同时也考查了利用观察法写出数列的通项公式，考查计算能力，属于基础题.

10．【答案】

【解析】分析：当时，求得；当时，类比写出，由求出，再将代入检验，即可求出答案.

详解：当时，

     当时，由，得，

        两式相减，，

     将代入上式，，

     通项公式为

故答案为.

点睛：本题主要考查已知数列的前项和，求数列的通项公式的方法.其求解过程分为三步：

（1）当时， 求出；

（2）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；

（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．

11．【答案】

【解析】分析：根据已知条件求得，用累乘法求得.

详解：依题意，，

即，

所以

.

故答案为：

【点睛】

累乘法求数列的通项公式，主要把握住.

12．【答案】

【解析】分析：化简，判断出为等比数列，从而计算出.

详解：由得，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以.

故答案为：

13．【答案】6

【解析】分析：根据题意，利用叠加法求得，得到，结合基本不等式和，进行验证，即可求解.

详解：由题意，数列满足，，

可得

，则

，

当且仅当时，即时，等号成立，

又因为，当时，；

当时，，

所以的最小值为.

故答案为：6

14．【答案】2021

【解析】分析：根据递推关系式，将式子递推到即可.

详解：因为，，

所以

故答案为：2021.

15．【答案】7

【解析】分析：由，设前30项中有个1，则有个，有个0，再根据求得值后可得结论．

详解：设前30项中有个1，因为，则有个，其余的都是0，

所以，解得，因此0的个数是29－2×11＝7个．

故答案为：7.