高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.2 等差数列的前n项和练习题

【精挑】5.2.2 等差数列的前n项和-5作业练习

一．填空题

1．数列中，前项和为．若，，（，），则________；________．

2．设等差数列的前项和为，若，，则______，的最大值是______.

3．在数列中，，，，则的值为______，数列（）的前n项和为______.

4．已知数列满足：，，则数列的通项公式是___________；令当为单调递增数列时，实数的取值范围是___________

5．已知数列的前项和是，，且，则数列的通项公式______.

6．设等差数列的前项和为，若，则的值为_______.

7．已知正项数列的前n项和为，且对任意的满足，则______.

8．若等差数列的前n项和，则实数t的值为________；

9．已知数列 的前 项和，则它的通项公式是_____;

10．数列中：则__________

11．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，则an＝_____．

12．等差数列中：，若，则__________

13．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为____（用具体数字作答）

14．已知是的前项和，，对于任意，且，的最大值是______．

15．设数列满足，且，则数列前2020项的和为________．

参考答案与试题解析

1．【答案】    29 

【解析】根据，，（，），往后列举，可得到数列周期，由，，，即得解

详解：由题意，，，（，），

故数列为周期的周期数列

由于

故

故答案为：，29

【点睛】

本题考查了数列周期性的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题

2．【答案】     

【解析】利用等差数列前项和公式，列出方程组，求出首项和公差的值，利用等差数列的通项公式可求出数列的通项公式，可求出的表达式，然后利用双勾函数的单调性可求出的最大值.

【详解】

（1）设等差数列的公差为，则，解得，

所以，数列的通项公式为；

（2），，

令，则且，，

由双勾函数的单调性可知，函数在时单调递减，在时单调递增，

当或时，取得最大值为.

故答案为：；.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式．前项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

3．【答案】32   

【解析】由已知得，可用累加法求得通项公式，从而易得，再用裂项相消法可求得数列的前项和．

详解：由题意，

∴，

∴．

，．

∴．

故答案为：32；．

【点睛】

本题考查用累加法求数列通项公式，考查用裂项相消法求数列的和．在已知数列前后项的差时，可用累加法求得数列的通项公式，若已知前后项的比，则用连乘法求数列通项．

4．【答案】     

【解析】根据累加法以及等差数列求和公式求得数列的通项公式；根据单调性得不等式恒成立，利用变量分离法解得结果.

详解：

当时，

当时，

综上，

因为为单调递增数列，所以 对恒成立,

即对恒成立,

因为

故答案为：，

【点睛】

本题考查利用累加法求数列通项公式．等差数列求和．数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.

5．【答案】

【解析】由可得,两边同除可得,即是首项为,公差为的等差数列,可求得,进而由求解即可,注意检验时的情况.

详解：由题,因为,所以,两边同除可得,

因为,所以数列是首项为,公差为的等差数列,

所以,

所以,

当时,,

当时,,检验,不符合,

所以,

故答案为:

【点睛】

本题考查构造法求通项公式,考查由与的关系求通项公式.

6．【答案】.

【解析】由得，代入中计算可得结果.

【详解】

解：由得，即，

，

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式及前项和公式的应用，是基础题.

7．【答案】

【解析】对任意的n∈N满足4（Sn+1）=（an+1）2，n≥2时，4（Sn-1+1）=(an-1+1)2，相减可得：，根据an>0，可得an-an-1=2，利用等差数列的通项公式可得an．再利用裂项求和方法即可得出结果．

【详解】

∵，

∴当时，，

∵，得，

当时，，

∴，

∴，

∴，

∴，∴，

∴，∴，

所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列，

.

∴

，

∴

故答案为：.

【点睛】

本题考查数列的求和．数列递推式，解本题的关键在于裂项的方法，属于中等题.

8．【答案】-1

【解析】由，得到，又因为是等差数列，再利用等差中项求解.

详解：因为

所以

又因为是等差数列

所以

解得

故答案为：-1

【点睛】

本题主要考查了等差数的前n项和及等差中项，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

9．【答案】

【解析】先根据数列的前项和，求出，再根据当时，求出，并验证当是否也满足，即可求出数列的通项公式．

【详解】

数列的前项和

，,

又，

，检验当时，，

【点睛】

本题考查数列前项和与通项公式之间的关系，易错点是，所以必须要检验是否满足通项，属于基础题，必须掌握

10．【答案】

【解析】根据递推公式，构造等差数列，进而求解通项公式.

【详解】

因为

故，故是首项为1，公差为3的等差数列，

则，解得，即可得.

故答案为：.

【点睛】

本题考查构造数列求解通项公式，属经典题型.

11．【答案】2n

【解析】根据数列的通项与前n项和的关系求解即可.

详解：由题,当时,,

当时,.当时也满足.

故.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了根据数列的通项与前n项和的关系求通项公式的方法,属于基础题.

12．【答案】248

【解析】利用数列前项和的性质，求出偶函数项的和，再求解出.

【详解】

因为

根据等差数列的性质：

故.

故答案为：248.

【点睛】

本题考查等差数列前项和的性质，属基础题.

13．【答案】12288

【解析】设表示第行的第个数，根据等差数列的性质以及递推公式求通项的方法得出，从而得出这个数表中的第11行第7个数.

详解：设表示第行的第个数

由数表可知，每一行成等差数列，且第行的公差为

则

，则

即数列是首项为，公差为的等差数列

则，即

即

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了求等差数列的通项公式以及求等差数列的项，属于中档题.

14．【答案】10

【解析】由题意可知，，当时，利用，得出，根据二次函数图象和性质得出的单调性，根据单调性分别求出的最大值和最小值，从而得出取得最大值.

详解：解：

即，

又当时，，

当时，，即，则递减，

当时，，即，则递增，

当时，，则，则递减，

故，

若使得对任意，取得最大值，

则需且，

.

故答案为：10.

【点睛】

本题考查利用单调性求数列前项和的最值问题以及利用分组求和法求出数列前项和，根据是解决本题的关键.

15．【答案】

【解析】由得到，用累加法求得，从而得到，然后利用裂项相消法求解.

详解：因为,

所以，

左右分别相加得，

所以，

所以，

所以，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查累加法求通项，裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.