高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.2.2 等差数列的前n项和同步训练题

【精选】5.2.2 等差数列的前n项和-1练习

一．填空题

1．在锐角中，分别是角所对的边，，且角顺次成等差数列，则周长的取值范围是___________．

2．等差数列和的前项和分别为和，且，则________．

3．设是等差数列的前项和，若，则公差___________.

4．已知等差数列中，，，则______________．

5．已知数列满足①，②，请写出一个满足条件的数列的通项公式________．（答案不唯一）

6．设为等差数列的前项和，若，则___________.

7．《九章算术》是中国古代张苍．耿首昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹节，下节容量升，上节容量升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第节容量是 _________________升.(结果保留分数)

8．已知等差数列的前项和为，若，则______．

9．已知为等差数列，的前5项和，，则______．

10．已知递增数列的前项和为，且满足（），则首项的取值范围为__________．

11．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示3x3的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数.考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：

①这8个数列有可能均为等差数列；

②这8个数列中最多有3个等比数列；

③若中间一行．中间一列．两条对角线均为等差数列，则中心数必为5；

④若第一行．第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列.

其中所有正确结论的序号是________.

12．已知等差数列的前项和为，若，则的通项公式为_____________

13．已知等差数列，其前项和为，若，，则______.

14．已知是公差为的等差数列，若，则______.

15．已知数列，若数列与数列都是公差不为0的等差数列，则数列的公差是___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：先利用等差数列性质求得，得到利用正弦定理，再计算化简周长，结合锐角三角形中角A的范围，解得周长的取值范围即可.

详解：角顺次成等差数列，则，又，.

又，

所以周长为，

而锐角中，，则，即，

，即，

所以周长的取值范围是.

故答案为：.

2．【答案】

【解析】分析：利用等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，将转化为，求解即可．

详解：解：因为等差数列和的前项和分别为与，且都有，

所以．

故答案为：．

3．【答案】

【解析】分析：将等差数列的求和公式与通项公式代入条件式化简即可消去，解出．

详解：解：，

，即，

解得．

故答案为：．

4．【答案】

【解析】分析：设等差数列的公差为，依题意得到方程，求出公差，再根据等差数列通项公式计算可得；

详解：解：设等差数列的公差为，

因为，，所以，所以，所以

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：判断数列的特征，从等差数列或等比数列入手考虑解答.

详解：，说明数列是递增数列；

由，不妨设该数列为等差数列，

则公差为1，首项为1，

所以.

故答案为：

6．【答案】

【解析】分析：根据列出式子求出公差即可求出.

详解：设等差数列的公差为，

则由可得，即，

，，

.

故答案为：2.

7．【答案】

【解析】分析：记从下部算起第节的容量为，可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式可构造关于的方程组，解方程组求得后，利用通项公式可求得.

详解：记从下部算起第节的容量为，

由题意可知：数列为等差数列，设其公差为，

则，解得：，

，即从下部算起第节容量是升.

故答案为：.

8．【答案】

【解析】分析：根据等差数列的性质结合已知条件得，进而根据求解即可.

详解：解：由等差数列的性质得，

因为，所以，

所以

故答案为：

9．【答案】11

【解析】分析：设等差数列的公差为，则由题意可得，解方程组求出，从而可求出结果

详解：解：设等差数列的公差为，

因为，，

所以，解得，

所以，

故答案为：11

10．【答案】

【解析】分析：根据前项和的公式得到递推公式，进而化简整理得到，从而得列是偶数项以4为公差的等差数列，奇数项从起奇数项也是以4为公差的等差数列，从而知需满足，然后将用表示后，解不等式组即可求出结果.

详解：因为，所以，

当时，，

当时，，

则，

即， 又，故，

所以数列是偶数项以4为公差的等差数列，奇数项从起奇数项也是以4为公差的等差数列，若数列单调递增，所以需满足，

又，

所以，解得，故的取值范围为.

11．【答案】①②③

【解析】分析：①. 由1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中可判断；②. 由1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9，从而可判断；③由，可判断；④举反例即可判断.

详解：①. 如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，则这8个数列均为等差数列，故①正确.

②. 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9.

由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列，同一行或对角线上.

所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故②正确

③. 若三个数成等差数列，则.

根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数相同. 则只能是

由

则中间一行．中间一列．两条对角线四列的数分别为时满足条件;

中心数为其他数时，不满足条件.故③正确.

④. 若第一行为；第一列为，满足第一行．第一列均为等比数列.

第二行为，第二列为，则第二行，第二列为等差数列，此时有两个等差数列.故④不正确

故答案为：①②③

12．【答案】

【解析】分析：由已知条件可得，从而可求出，进而可求出通项公式

详解：解：设等差数列的公差为，

因为，

所以，解得，

所以，

故答案为：

13．【答案】160

【解析】分析：根据等差数列前项和公式,通项公式列方程，解方程得，，进而求得答案.

详解：设等差数列的公差为，因为，，

所以，解得：，，

所以.

故答案为：

14．【答案】1

【解析】分析：直接利用基本量代换建立方程，解出d.

详解：因为是公差为的等差数列，所以.

可化为：

即，解得：d=1.

故答案为：1.

15．【答案】

【解析】分析：设等差数列的公差为且，等差数列的公差为且，进而根据累加法得，，进而整理得，故，即.

详解：解：设等差数列的公差为，且，则，

∴，

∴，

∵为等差数列，∴，(且为公差)

∴，

∴，∵，∴.

故答案为：.

【点睛】

本题考查等差数列的概念，累加法求通项公式，考查运算求解能力，是中档题.本题的关键在于根据已知条件，设出对应的公差，利用累加法求得，再结合为等差数列求解即可.