高中数学5.3.2 等比数列的前 n项和课时练习

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【优编】5.3.2 等比数列的前n项和-3练习一．填空题1．已知数列为正项等比数列，，则的最小值为________.2．记项正项数列为，其前项积为，定义为“相对积叠加和”，如果有2020项的正项数列的“相对积叠加和”为2020，则有2021项的数列的“相对积叠加和”为______.3．已知等比数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2+an+1，则a1＝________．4．我们把叫“费马数”（费马是十七世纪法国数学家），设，表示数列的前n项之和，则使不等式成立的最大正整数n的值是_______5．已知等比数列的前项和，，若命题“，”为真，则实数的最大值为______.6．已知集合A＝{x|x＝6n﹣1，n∈N}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，将A∪B的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，若Sm＝3014，则正整数m值为_____．7．已知数列的前项和为且，则______.8．已知数列满足，，则________.9．若是无穷等比数列，首项，则的各项的和_______.10．已知数列的前项和为，，，，则____________.11．复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①所有规格的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…；如此对开至规格.现有纸各一张.若纸的幅宽为，则纸的面积为____，这张纸的面积之和等于____.12．设等比数列的公比为，其前项和为，若，，则__.13．等比数列中，，，则______（用数字作答）.14．在各项均为正数的等比数列中，若，则________．15．已知数列满足：，，则______.
参考答案与试题解析1．【答案】27【解析】分析：利用等比数列的性质求得，结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.详解：由等比数列的性质可知，则，.当且仅当时取得最小值.故答案为：.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，涉及均值不等式求和的最小值，属综合基础题.2．【答案】4041【解析】有2020项的正项数列的“相对积叠加和”为：有2021项的数列的“相对积叠加和”为：故答案为：40413．【答案】【解析】根据题设中递推关系可得，从而可得等比数列的公比，故可计算的值.详解：因为，故，所以即，故等比数列的公比.又，故 ，故答案为：.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，一般地，我们常利用来实现之间的转化，本题属于基础题.4．【答案】5【解析】由题意得，，所以，则，所以 ，由，可得，解得，所以最大正整数n的值为5，故答案为：55．【答案】24【解析】分析：由等比数列的前n项和公式可知，原不等式恒成立可化为，换元根据对勾函数的性质求解.详解：由是等比数列，，则，，由对恒成立，则恒成立，令，则，由，当时，，当时，，则，则,故答案为：24【点睛】本题主要考查了等比数列的求和公式，对勾函数的性质，换元法，属于难题.6．【答案】37【解析】设集合A中的元素从小到大依次排列构成数列{bn}，设集合B中的元素从小到大依次排列构成数列{cn}，列举出数列{bn}．{cn}中的一些项，根据列出的项，找到满足其前m项和等于3014的项数m即可．详解：设集合A中的元素从小到大依次排列构成等差数列{bn}，其前n项和为Tn，设集合B中的元素从小到大依次排列构成等比数列{cn}，其前n项和为Dn，则数列{bn}：5，11，17，23，29，35，41，47，53，59，65，71，77，83，89，95，101，107，113，119，125，131，137，143，149，155，161，167，173，179，…，数列{cn}：2，4，8，16，32，64，128，256，…，故数列{an}：2，4，5，8，11，16，17，23，29，32，35，41，47，53，59，64，65，71，77，83，89，95，101，107，113，119，125，128，131，137，143，149，155，161，167，173，179，…，∵T30+D73014＝Sm，∴m＝37.故答案为：37.【点睛】本题主要考查利用等差．等比数列的前n项和公式求数列的和，属于基础题．7．【答案】【解析】根据公式得数列是以为公比，的等比数列，再写出的通项公式，最后利用通项公式求解即可.详解：解：根据公式得当时，，解得；当时，，即，所以，所以数列是以为公比，的等比数列，所以所以故答案为：【点睛】本题考查等比数列与的关系，是中档题.8．【答案】100【解析】根据所给等式，化简变形即可知道数列为以1为首项为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式，即可求出答案。详解：因为，又.所以数列为以1为首项,为公比的等比数列，即故填：100【点睛】本题考查等比数列的定义．等比数列的通项，解本题的关键在于：熟练掌握对数的运算性质，将所给等式化简为等比数列的定义形式，属于基础题。9．【答案】.【解析】直接由无穷递缩等比数列的和的公式计算．详解：．故答案为：．【点睛】本题考查无穷递缩等比数列的和，掌握无穷递缩等比数列的和的公式是解题关键．10．【答案】【解析】根据，即可求出数列的通项公式，再根据，即可求出结果.详解：当时，；当时，因为，所以所以；所以；所以当时，是以2为公比的等比数列；所以，所以；所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了与的关系，熟练掌握是解题关键.11．【答案】        【解析】根据题意，的长．宽分别为，的长．宽分别为，的长．宽分别为，的长．宽分别为，的长．宽分别为，所以的面积为纸张的面积是以为首项，公比为的等比数列，所以这张纸的面积之和等于故答案为：；12．【答案】或.【解析】根据题意，设其公比为，分析可得和，两式相减，变形可得，解可得的值，即可得答案.详解：根据题意，等比数列中，设其公比为，若，，则，则有，①，，②②①，变形可得：，解可得或.故答案为：或.【点睛】本题考查等比数列前项和公式的应用，注意前项和的意义.13．【答案】81【解析】已知为等比数列，且，，根据等比数列的通项公式即可求详解：等比数列，，∴由等比通项公式，知：故答案为：81【点睛】本题考查了等比数列，根据等比数列的通项公式求项，属于简单题14．【答案】2【解析】根据等比数列性质直接求解.详解：因为各项均为正数的等比数列，所以故答案为：2【点睛】本题考查等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【答案】【解析】利用待定系数法得出数列是以为首项，以为公比的等比数列，可求出等比数列的通项公式，即可求出.详解：设，可得，，得，，则，且.所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用待定系数法求数列的通项，同时也考查了等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.