选择性必修 第三册5.5 数学归纳法同步测试题

这是一份选择性必修 第三册5.5 数学归纳法同步测试题，共13页。试卷主要包含了用数学归纳法证明等式，埃及数学中有一个独特现象等内容，欢迎下载使用。
【精挑】5.5 数学归纳法-1作业练习一．填空题1．用数学归纳法证明等式：，验证时，等式左边=________.2．某个命题与自然数n有关若时该命题成立，则可推得当时该命题也成立，若时该命题不成立，则可推得当_____时，该命题不成立．3．埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式.例如：，它可以这样理解，假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人，不够，每人，余，再将这分成5份，每人，这样每人得.形如的分数的分解，，，按此规律，__________.4．________.5．已知数列满足，…，则数列的前n项和_______．6．已知数列满足，，那么______.7．数列满足，记，若对任意的  恒成立，则正整数的最小值为___________．8．已知，，____________.9．已知等差数列，公差成等比数列，________．．10．设，，，…，，希望证明，在应用数学归纳法求证上式时，第二步从到应添的项是______.11．在等差数列中，，记，则等于______.12．数列中，，则______．13．在等差数列中，，则______．14．利用数学归纳法证明“对任意正整数能被14整除”时，当对于代数式可变形为________．15．在杨辉的《详解九章算法》中载有一个“开方作法本源”图，就是“杨辉三角”．我们可以从中发现下列的等式：第1行：，第2行：，第3行：，第4行：，第5行：，那么由此可得，第2020行的等式等号右侧的数值为_________．（结果保留最简形式）
参考答案与试题解析1．【答案】.【解析】用数学归纳法证明：在验证时，左端计算所得的项.把代入等式左边即可得到答案.详解：解：用数学归纳法证明：时，在验证时，把当代入，左端.故答案为：.【点睛】本小题主要考查数学归纳法的应用．数学归纳法的证明步骤，考查基本知识，属于基础题.2．【答案】4【解析】如果当n=k(k∈N)时该命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立，利用原命题与其逆否命题的等价性可得答案.详解：如果当n=k (k∈N)时该命题成立，那么可推得当n=k+ 1时该命题也成立,其逆否命题为:当n=k+ 1时该命题不成立，则当n=k (k∈N)时该命题也不成立.所以，当n=5时该命题不成立，可推n=4时该命题也不成立,故答案为: 4.【点睛】本题主要考查数学归纳法,熟练应用原命题与其逆否命题的等价性是关键，属于中档题.3．【答案】【解析】由条件归纳可得，化简即可得解.详解：由题意，，依次类推可得.故答案为：.【点睛】本题考查了归纳推理的应用，考查了逻辑推理能力，属于中档题.4．【答案】【解析】将转化为求解.详解：，，，故答案为：【点睛】本题主要考查数列极限的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5．【答案】【解析】根据等差中项可判断数列为等差数列，结合等差数列的前项和公式即可求解.详解：由，…，可知为的等差中项，所以数列为等差数列，首项为公差为，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查利用等差中项判断数列为等差数列及等差数列的前项和公式，属于基础题.6．【答案】2019【解析】根据特值，归纳得到数列的通项公式，即可求得.详解：因为，，故可得，由此归纳总结可得，故可得；事实上，当时，满足题意；当时，成立，则当时，,故当时，也成立.即证当时，成立.故答案为：2019.【点睛】本题考查由数列的递推公式，求数列的通项公式，涉及数学归纳法，属综合中档题.7．【答案】10【解析】先求出数列的通项公式，化简得到数列为递减数列，求得数列的最大项为，得到，即可求解.详解：由题意，数列满足，所以，所以数列是以4为公差，以1为首项的等差数列，可得，所以，令所以数列为递减数列，所以数列的最大项为，因为，解得，又由为正整数，所以，故答案为：.【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及数列的恒成立问题的求解，其中解答中利用数列的递推公式求得数列的通项公式，结合数列的单调性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.8．【答案】【解析】由题意易得，，然后利用叠加法即可得出结论．详解：由题意得：∴.故答案为：．【点睛】本题考查数列的求和，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.9．【答案】【解析】由成等比数列，求得 ，再结合等差数列通项公式，进行化简，即可求解.详解：由成等比数列，可得，即，整理得，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的基本量的运算，以及等比中项的应用，着重考查推理与运算能力.10．【答案】【解析】写出的表达式，通过比较可以知道第二步从到应添的项.详解：当时，,当时，,通过对比可以发现，第二步从到应添的项是.故答案为：【点睛】本题考查了数学归纳法证明过程中添项问题，属于基础题.11．【答案】156【解析】由已知根据等差数列的通项公式列出方程组，求出，根据等差数列的求和公式计算即可.详解：∵， 即，∴，∴.故答案为：156.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及.等差数列的前项和公式，考查计算能力，属于基础题.12．【答案】4951【解析】由递推公式累加利用等差数列的求和公式求解即可.详解：根据题意可得.故答案为：4951【点睛】本题考查递推公式．等差数列求和公式，属于基础题.13．【答案】120【解析】先根据等差数列求，再根据等差数列求和公式得结果.详解：由等差数列的性质,得,已知解得：故答案为：120【点睛】本题考查等差数列性质以及等差数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.14．【答案】【解析】根据数学归纳法要求，化简为的倍数加能被整除的数的形式即可.详解：解：                                        故答案为：.【点睛】本题考查数学归纳法证明时，必须化为的形式，才能正确应用假设，这是数学归纳法的特殊要求，是基础题. 15．【答案】【解析】观察前几行可得规律为，，，可归纳猜想得第行为，得出答案.详解：第1行：，第2行：，第3行：，第4行：，第5行：归纳猜想可得第行为所以第2020行的等式等号右侧的数值为故答案为：【点睛】本题考查归纳推理，根据有限的信息得出规律，归纳出一般结论，考查学生的抽象概括能力，属于中档题.