高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题课时训练

【优质】6.3 利用导数解决实际问题-1作业练习

一．填空题

1．一边长为2的正方形纸板，在纸板的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖方盒.方盒的容积的最大值为_________________ .

2．如图，四边形为直角梯形， ，若边上有一点，使最大，则__________．

3．做一个圆柱形锅炉，容积为V，两个底面的材料每单位面积的价格为a元，侧面的材料每单位面积的价格为b元，当造价最低时，锅炉的底面直径与高的比值为________．

4．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高应为           ．

5．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为           ．

6．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是__________．

7．如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，，，四个点重合于图中的点，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积最大，则的长为________.

8．某汽车启动阶段的位移函数是s(t)=2t3-5t2，则t=2 s时，汽车的加速度是　　　　　　.

9．若存在实数满足，则实数的取值范围是     ．           

10．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图）.当这个正六棱柱容器的底面边长为     时，其容积最大.    

11．现有一块边长为的正方形铁片，在铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，然后做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值是______.

12．从边长为的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为____．

13．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定（A，B）=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：

（1）函数y=x3﹣x2+1图象上两点A．B的横坐标分别为1，2，则（A，B）＞；

（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

（3）设点A．B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则（A，B）≤2；

（4）设曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣，1）；

以上正确命题的序号为　　（写出所有正确的）

14．如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P, 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,若要包装盒容积V(cm3)最大, 则EF长为____ cm ．

15．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，则小正方形的边长为             时，盒子容积最大？。

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据题意，无盖的方盒的底面是正方形，且边长为，高为，得到无盖方盒的容积的函数，利用导数求得函数的单调和最值，即可求解．

【详解】

由于在边长为2的正方形纸板的四个角截去四个边长为的小正方形，做成一个无盖的方盒，

所以无盖的方盒的底面是正方形，且边长为，高为，

则无盖方盒的容积为：，

整理得，，

则，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

所以当时函数取得最大值，最大值为，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了导数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出无盖方盒的函数表达式，利用导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

2．【答案】

【解析】设 ， ，   ，设 ， ，当时， ， 时， ，所以函数在时，函数取得最大值，此时无值，所以，而， ，即 即的最大值时，此时 .

【点睛】本题考查了利用所学知识解决平面几何中的角的最值问题，考查了转化与化归能力，以及计算能力，如果直接用内的边表示，得到的式子会比较麻烦，而利用和它相关的直角三角形表示会比较简单，或是建立坐标系，以点为原点建立坐标系，表示，所以的最大值是，而此时，这样做会更简单.

3．【答案】

【解析】设锅炉的高h与底面直径d的比为k=，运用圆柱的表面积公式和体积公式，结合导数，求得极值点且为最值点，即可得到．

【详解】

设锅炉的高h与底面直径d的比为k=，

由V=h=？kd=kd3，

可得d=，h=kd=，

设造价为y，则y=2π？（）2？a+πdh？b，

则y′=+

令y′=0，解得k=，可得此时y取得最小值．

故当造价最低时，锅炉的高与底面直径的比为．

故答案为：．

【点睛】

本题考查函数在实际问题中的运用，考查导数的运用：求最值，同时考查圆柱的表面积和体积的运用，属于中档题．

4．【答案】 cm

【解析】设圆锥的高为h cm，则V＝ (400－h2)h，h∈(0,20)．

令V′(h)＝ (400－3h2)＝0，得h＝.

5．【答案】3π

【解析】设圆柱的底面半径为r，高为h.

体积为V，则4r＋2h＝l，

∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3(0<r<)．

则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r>0，

∴r＝是其唯一的极值点．

当r＝时，V取最大值，最大值为3π.

6．【答案】

【解析】根据凸函数定义，只需满足在上恒成立即可，采用参变分离的方法将分离出来，然后利用对勾函数的性质分析关于的部分的取值，从而得出的取值范围.

【详解】

∵函数在上是“凸函数”，

∴在上恒成立即

令，显然在上单调递增，

∴

∴t≥．

故答案为：

【点睛】

（1）恒成立，则只需要；

（2）存在成立，则只需要.

7．【答案】

【解析】设cm，根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x的表达式，利用导数研究体积的最大值即可.

详解：设cm，则 cm，包装盒的高为 cm，

因为 cm，，所以包装盒的底面边长为 cm，

所以包装盒的体积为，，

则，令解得，

当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，即当时包装盒容积取得最大值.

故答案为：10

【点睛】

本题考查柱体的体积，利用导数解决面积．体积最大值问题，属于中档题.

8．【答案】14

【解析】汽车的速度为v(t)=6t2-10t，汽车的加速度为v′(t)=12t-10，

∴v′(2)=14.

9．【答案】

【解析】

10．【答案】

【解析】详解：如图，设底面六边形的边长为x，高为d，则

d=（1-x）； 又底面六边形的面积为：

S=6？？x2？sin60°=x2；所以，这个正六棱柱容器的容积为：

V=Sd=x2？（1-x）=(x2-x3)，则对V求导，则

V′=（2x-3x2），令V′=0，得x=0或x=，

当0＜x＜时，V′＞0，V是增函数；当x＞时，V′＜0，V是减函数；∴x=时，V有最大值．

故答案为．

11．【答案】

【解析】根据题意得到方盒底面是正方形，边长为，高为，建立方盒容积的函数模型为，再用导数法求解最值.

详解：由题意得：方盒底面是正方形，边长为，高为，

所以方盒的容积为，

，

当时，，时，，

所以当时，取得最大值，最大值为2.

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查导数的实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

12．【答案】144.

【解析】设小正方形的变长为xcm（0＜x＜5），可表示出盒子的容积，利用导数可求得其最大值．

详解：设小正方形的变长为xcm（0＜x＜5），

则盒子的容积V=（10﹣2x）（16﹣2x）x=4x3﹣52x2+160x（0＜x＜5），

V'=12x2﹣104x+160=4（3x﹣20）（x﹣2），

当0＜x＜2时，V'＞0，当2＜x＜5时，V'＜0，

∴x=2时V取得极大值，也为最大值，等于（10﹣4）（16﹣4）×2=144（cm3），

故答案为：144.

点睛：本题考查导数在解决实际问题中的应用，考查学生的阅读理解能力及利用数学知识解决问题的能力．一般实际应用题目，先根据题意得到 表达式，转化为数学问题，再借助数学知识解决表达式的最值或者范围问题.

13．【答案】（2）（3）．

【解析】解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x，

则，，

y1=1，y2=5，则，

（A，B）=，（1）错误；

对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；

对于（3），设A（x1，y1），B（x2，y2），y′=2x，

则kA﹣kB=2x1﹣2x2，=

=．

∴（A，B）==，（3）正确；

对于（4），由y=ex，得y′=ex，（A，B）==．

t（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．

故答案为：（2）（3）．

14．【答案】20

【解析】设包装盒的高为h（cm），EF＝x（cm），底面边长为a（cm），由已知得a，h,包装盒容积 V＝a2h，利用导数求最大值．

【详解】

设包装盒的高为h（cm），EF＝x（cm），底面边长为a（cm），

由已知得a＝x，h＝＝（30﹣x），0＜x＜30，

包装盒容积 V＝a2h＝2（﹣x3+30x2），

V′＝6（20﹣x），

由V′＝0，得x＝0（舍）或x＝20，

当x∈（0，20）时，V′＞0；

当x∈（20，30）时，V′＜0；

所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．

故EF＝20cm．

故答案为：20.

【点睛】

本题考查包装盒容积V最大时线段长，考查四棱柱体积求法，考查推理论证能力．运算求解能力．空间想象能力，考查函数与方程思想．数形结合思想，是中档题．

15．【答案】1

【解析】设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，）；

盒子容积为：y=（8-2x）？（5-2x）？x=4x3-26x2+40x，

对y求导，得y′=12x2-52x+40，令y′=0，得12x2-52x+40=0，解得：x=1，x=（舍去），

所以，当0＜x＜1时，y′＞0，函数y单调递增；当1＜x＜时，y′＜0，函数y单调递减；

所以，当x=1时，函数y取得最大值18；

所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为18cm3．