高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.3.1 等比数列课后练习题

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【优选】5.3.1 等比数列-3优选练习一．填空题1．设等比数列的前项和为，若，则________.2．已知数列的前项和，则该数列的通项公式______3．设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N)，有下列三个命题：①若{an}既是等差数列又是等比数列，则an＝an＋1；②若Sn＝an(a为非零常数)，则{an}是等比数列；③若Sn＝1－(－1)n，则{an}是等比数列.其中真命题的序号是________.4．在等比数列中，>，且，则_____________.5．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设个月后共有老鼠，只，则__________.6．等比数列的各项均为正数，且，则     .7．如图所示，是毕达哥拉斯（Pythagoras）的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，…，如此继续，若一共能得到1023个正方形.设初始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_____.8．已知为等差数列，其公差为，且是与的等比中项，为的前项和，则的值为__________．9．已知是公比为正数的等比数列，若，，则________.10．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是______.
11．等比数列中，，且，则________.12．已知各项均为正数的等比数列中，，则的值为______________.13．已知等比数列中，，，则________．14．等比数列中，若，，则______.15．已知等比数列，若，，则________.
参考答案与试题解析1．【答案】3【解析】首先根据，求出，再计算即可.详解：当时，，舍去.当时，，即，整理得到，.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查等比数列的前项和的计算，熟练掌握公式为解题的关键，属于简单题.2．【答案】【解析】根据求出；利用得到，证得数列为等比数列；再根据等比数列通项公式写出结果.详解：由得：，即又，则由此可得，数列是以为首项，为公比的等比数列则本题正确结果：【点睛】本题考查等比数列通项公式求解问题，关键是能够利用证得数列为等比数列，即符合递推关系符合等比数列定义的形式.3．【答案】①③【解析】易知①是真命题，由等比数列前n项和知②不正确，③正确．据此可得真命题的序号是①③.4．【答案】5【解析】利用等比数列的性质可得，再利用对数的运算性质即可求解.详解：由数列为等比数列，>，且，则，即，，故答案为：5【点睛】本题主要考查了等比数列的性质．对数的运算性质，属于基础题.5．【答案】【解析】依题意得出第个月老鼠与第个月老鼠总数的关系，再根据等比数列的定义求出数列的通项公式，最后把代入即可求得答案．详解：设个月后共有 只老鼠，且雌雄各半，所以 个月后的老鼠只数 满足：所以，即，又因为，所以，所以数列 是以14为首项7为公比的等比数列，所以，即，当时，，故答案为：．【点睛】本题查了等比数列的通项公式，关键在于理解题意得出数列的递推关系，属于基础题．6．【答案】.【解析】由题意知，且数列的各项均为正数，所以，，．考点：1.考查等比数列的基本性质；2.对数的基本运算．7．【答案】【解析】记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，结合题意得到数列是以为首项，为公比的等比数列，，由此即可求出最小正方形的边长.详解：记初始正方形的边长为，经过次生长后的正方形的边长为，经过次生长后正方形的个数为，由题可知，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由题可知，，令，解得，最小正方形的边长为，故答案为：.【点睛】本题以图形为载体，考查了等比数列的通项公式和求和公式，是数列的应用问题，关键在于提炼出等比数列的模型，正确利用相应的公式，属于中档题.8．【答案】110【解析】根据题意，求出首项，再代入求和即可得．详解：，，，是与的等比中项，，解得，．故答案为：110.【点睛】本题主要考查等差数列．等比数列的通项公式及等差数列求和，是基础题．9．【答案】【解析】由，以及等比数列的通项公式求出公比，再直接写出等比数列的通项公式.详解：设等比数列的公比为，则，因为，，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列通项公式基本量的计算，考查了求等比数列的通项公式，属于基础题.10．【答案】【解析】∵，∴，∴两式相减得：，即，又∵，即，，即，符合上式，∴数列是以3为首项．-1为公比的等比数列，∴．考点：等比数列的证明和通项公式． 11．【答案】4【解析】在等比数列中，将已知转化为首项和公比求得，再将其带入通项公式中，求得答案.详解：因为，所以在等比数列中所以或-3（舍），故故答案为：4【点睛】本题考查等比数列中知三求二，由已知转化为首项和公比，进而表示所求问题，属于简单题.12．【答案】100【解析】根据等比数列的下标和性质，求得，即可得.详解：因为是等比数列，故可得因为，故可得，解得.故.故答案为：100.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，属基础题.13．【答案】16【解析】由等比中项，即得.详解：等比数列，，.故答案为：16【点睛】本题考查等比中项，是基础题.14．【答案】【解析】利用等比数列的通项公式求出公比q，代入中即可得解.详解：即，，则.故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，属于基础题.15．【答案】或【解析】先利用等比数列性质得，再利用等比数列的通项公式列方程求出公比，进而可得.详解：解：由得，，设等比数列的公比为，则由得，解得或，所以或.故答案为：或.【点睛】本题考查等比数列通项公式的基本量的计算，考查学生计算能力，是基础题.