数学选择性必修 第三册6.1.1 函数的平均变化率课后测评

【精品】6.1.1 函数的平均变化率-3随堂练习

一．填空题

1．已知曲线在处的切线方程为，则___________.

2．设余弦曲线上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是________．

3．已知为偶函数，当时，则在处的切线方程是________.

4．已知函数，若的导数，则______．

5．点是曲线上任意一点，则点到直线的最短距离为_________.

6．已知，为偶函数，若曲线在点处的切线方程为，则__________．

7．已知函数的图象在点处的切线过点，则___________.

8．直线与函数(为自然对数的底数)的图象相切于点，则___________.

9．函数的图象在点处的切线方程为________.

10．若曲线的一条切线与直线：相互垂直，则该切线的方程为__________.

11．已知函数，则在处的切线斜率为___________.

12．直线与的图象相切，则的值为___________.

13．已知函数，满足恒成立的最大整数为__________．

14．曲线的一条切线的斜率为4，则该切线的方程是______．

15．设函数，直线是曲线的切线，则的最大值是___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：求出函数的导函数，由函数在处的导数求解，再求出，把切点坐标代入切线方程求得，进而求得的值.

详解：因为，所以，

由，得，

则，所以，

将代入切线方程，得到，所以，

所以，

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：该题考查的是利用导数研究曲线在某点处的切线方程，正确解题的关键是熟记基本初等函数的求导公式.

2．【答案】

【解析】分析：利用导数的几何意义求出切线的斜率，根据正弦函数的性质求出斜率的取值范围，从而可得直线l的倾斜角的范围.

详解：设，

因为，所以切线的斜率，

所以直线l的倾斜角的范围是.

故答案为：

3．【答案】

【解析】分析：由偶函数定义求得时函数解析式，然后求导数得切线斜率，从而可得切线方程．

详解：因为是偶函数，当时，

所以时，，

，，又，

所以切线方程为，即．

故答案为：．

4．【答案】

【解析】分析：对函数求导，根据列出方程求解，即可得出结果.

详解：因为，所以，

又，所以，解得，

故答案为：.

5．【答案】

【解析】分析：当P为与直线平行且与曲线相切的切线的切点时，点到直线的距离最短，根据导数几何意义求得点P坐标，最后根据点到直线距离公式得结果.

详解：设与函数的图象相切于点P（x0，y0）.

所以，，解得，

∴点到直线的距离为最小距离，

故答案为：.

6．【答案】3

【解析】分析：根据偶函数求出时的解析式，并求出其导数；由导数几何意义得且 联立求得与值.

详解：当时，，，

因为为偶函数，所以，

所以时，，，

因为曲线在点处的切线方程为

所以，所以，，

可得．

故答案为：3

7．【答案】

【解析】分析：根据导数的几何意义可求得结果.

详解：因为，，

则，，

解得.

故答案为：

8．【答案】

【解析】分析：求得的导数，可得切线的斜率，由已知切线方程，可得的方程，两边取自然对数，计算可得所求值．

详解：的导数为，

由已知可得，，

即，可得，

两边取自然对数可得，

整理可得，

故答案为：．

9．【答案】

【解析】分析：利用导数求出切线的斜率，求出切点，即得解.

详解：由题得，

所以切线的斜率为，

因为，所以切点为，

所以切线方程为，即.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

10．【答案】

【解析】分析：首先求出函数的导函数，设切点坐标，依题意两条直线垂直，则两直线的斜率之积为，即可求出切点坐标，从而求出切线方程；

详解：解：依题意，；设切点坐标，则，解得，故，故所求切线的方程为，即．

故答案为：

11．【答案】

【解析】分析：求导，根据导数的几何意义求得在点处的斜率.

详解：，由导数的几何意义，可得.

故答案为：3e2

12．【答案】

【解析】分析：设切点坐标为，求导数，由切线斜率得的关系，再由切点在函数图象可求得参数值．

详解：设切点为，因为，所以切线斜率为，得，又因为切点在的图象上，所以，得，即，所以，即.

故答案为：．

【点睛】

方法点睛：本题考查导数的几何意义，已知函数，，导数为，

（1）若在图象，则函数图象过点的切线方程为；

（2）若求过点的切线方程，则诮设切点为，写出切线方程，然后代入点坐标，求得，从而得切线方程．

13．【答案】2

【解析】分析：已知条件等价于恒成立，临界条件为与有一个交点，即两曲线相切，利用导数的几何意义，求出切点，构造函数，利用零点存在性定理求出，利用对勾函数求出m的取值范围，从而得到答案.

详解：函数的定义域为，

结合指数，对数函数的图像变换知，

当时，恒成立，故考虑的情况

等价于，临界条件为与有一个交点，

设两曲线相切，切点的横坐标为，，

则利用导数的几何意义可知，解得：，即

令，求导，故单调递增，

又，

由零点存在性定理知，存在，使得，即

，令，则

则，，所以函数在上单调递减，

.

所以最大整数为2.

故答案为：2

【点睛】

方法点睛：本题考查不等式的恒成立求参数问题， 不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；

②数形结合( 图像在 上方即可)；

③讨论最值或恒成立.

14．【答案】

【解析】分析：根据函数求导，再由切线的斜率为4，求得切点的坐标，写出切线方程.

详解：因为，

所以，

设切点为，

因为切线的斜率为4，

所以，

解得，

所以该切线的方程是，即

故答案为：

15．【答案】

【解析】分析：设切点坐标为，根据导数的几何意义可求得切线方程，得到，令，利用导数可求得，由此可得结果.

详解：设与曲线相切的切点坐标为，

，切线斜率，

切线方程为：，即，

又切线方程为，，

，

令，，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，即的最大值为.

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：本题考查最值问题的求解，解题关键是能够利用导数的几何意义表示出切线方程，从而将转化为关于的函数的形式，从而利用导数求得最值.