人教B版 (2019)选择性必修 第三册第六章 导数及其应用6.1 导数6.1.1 函数的平均变化率达标测试

【名师】6.1.1 函数的平均变化率-1随堂练习

一．填空题

1．设函数，若无最大值，则实数的取值范围为______.

2．已知函数在点P处的导数值为3，则P点的坐标为__________．

3．曲线在点处的切线方程是______.

4．已知实数a，b，c，d，满足（其中e是自然对数的底数），那么的最小值为______；

5．曲线在点处的切线方程为________．

6．函数在处的切线方程为____________.

7．曲线在处的切线方程为______.

8．函数f（x）＝﹣2ex+3的图象在点（0，f（0））处的切线方程为_____.

9．若曲线在点处的切线与直线垂直，则________．

10．设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是______.

11．已知函数.曲线在点处的切线方程______.

12．已知，则曲线在点处的切线方程是______．

13．曲线在点处的切线的倾斜角为__________.

14．曲线过原点的切线方程为______.

15．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为___________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：画出函数和的图象，利用导数分析函数的图象的特征和关系，得到的图象，利用数形结合思想考察图象，得到无最大值的条件，解得的取值范围.

详解：解：画出函数和的图象，,, 函数和的图象在处相切，由三次函数和一次函数的性质可知，在时,当时，,

令=0，得,

当时，取得极大值为,

结合图象观察可知，当且仅当时函数f(x)没有最大值，

解得，

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导函数研究函数的图象和图象间的关系，涉及分段函数，三次函数的性质，关键是数形结合思想的运用，属中高档题.

2．【答案】

【解析】分析：利用求得点的横坐标，进而求得点的坐标.

详解：令，解得，而，所以点的坐标为.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查根据导数值求坐标，属于基础题.

3．【答案】

【解析】分析：先求出函数的导数，再求出，再根据直线方程的点斜式即可求出结果.

详解：设，所以

所以，

所以点处的切线方程为，即，整理可得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于基础题.

4．【答案】

【解析】分析：根据，得到，，可知点的轨迹方程为：，点的轨迹方程为：，故的几何意义为，结合导数的几何意义及应用计算可得结果.

详解：∵

∴，，

即点的轨迹方程为：，点的轨迹方程为：

则的几何意义为，

设斜率为的直线与曲线相切且切点为，

由，则，解得，，

由点到直线的距离公式得，

即，

故答案为：

【点睛】

本题考查了的几何意义及利用导数求函数切线的切点坐标，属难度较大的题型.

5．【答案】.

【解析】分析：本题先求导函数，再求切线的斜率，最后求切线方程.

详解：解：∵，

∴，，

∴在点处的切线方程：，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查求在曲线上一点处的切线方程，是基础题.

6．【答案】

【解析】分析：首先求函数的导数，以及，然后利用导数的几何意义求切线方程.

详解：求导得，得，切点为，

所以切线方程为:，化简为：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查利用导数的几何意义求切线方程，重点考查计算能力，属于基础题型.

7．【答案】

【解析】分析：首先求出切点坐标，再利用导数求出切线的斜率，最后利用点斜式求出切线方程；

详解：解：因为，当时，，所以切点坐标为,

所以

所以切线方程为，整理得

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，属于基础题.

8．【答案】

【解析】分析：求出f（0）的值，对函数求导，再求出的值就是切线的斜率，然后利用点斜式求出切线方程即可

详解：解：由题意得，，，

则，

所以所求的切线方程为，即，

故答案为：

【点睛】

此题考查导数的几何意义的应用，考查过曲线上一点的切线方程的求法，属于基础题

9．【答案】

【解析】分析：求得函数的导数，得出在点处的切线得斜率，根据切线与直线垂直，列出方程，即可求解.

详解：由题意，函数，则，

所以点处的切线得斜率，

由题可知直线的斜率，

又因为切线与直线垂直，所以，解得.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义及其应用，其中解答中熟记导数的意义，结合斜率的关系列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于简单题.

10．【答案】

【解析】分析：首先根据极限的运算法则，对所给的极限进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的值，即可得到函数在这一个点处的切线的斜率

详解：解：因为，

所以，所以，

所以，

所以曲线在点处的切线的斜率为，

故答案为：

【点睛】

此题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，属于基础题

11．【答案】

【解析】分析：根据函数的解析式求出的值和导函数，把代入导函数中可得，根据导数的几何意义可知即为切线的斜率，根据点斜式即可求出切线方程．

详解：由题意可知，

又，所以，

所以曲线在点处的切线方程，即.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义，和曲线在某点处切线方程的求法，属于基础题.

12．【答案】

【解析】分析：求出函数的导数，求出，即得切线斜率，即可求切线方程.

详解：，

，可知，

切线方程为，即.

故答案为：.

【点睛】

本题考查切线方程的求法，属于基础题.

13．【答案】45°

【解析】分析：欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k＝y′|x＝1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．

详解：y′＝3x2﹣2，切线的斜率k＝3×12﹣2＝1.故倾斜角为45°．

故答案为45°．

【点睛】

本题考查了导数的几何意义，以及利用斜率求倾斜角，本题属于基础题．

14．【答案】

【解析】分析：求出导函数，设切点为，写出切线方程，由切线过原点求出值，得切线方程．

详解：设切点为，，，

所求切线方程为，

代入点可得，得，

所求切线方程为，整理得.

故答案为：．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，解题时要注意在求曲线在某点处的切线还是求过某点的切线，在某点处切线，该点是切线，该点导数值即为切线斜率，而过某点的切线，则需设出切点坐标，写出切线方程，由切线所过点求出切点坐标后得结论．

15．【答案】

【解析】分析：求导数，得切线斜率即，由同角关系得，由二倍角公式得，再由两角和的余弦公式计算．

详解：由已知，∴，∴是锐角，∴，，

∴，

．

∴．

故答案为：

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查同角间的三角函数关系，两角和的余弦公式二倍角公式，属于中档题．